蔡耀中，吳立群，楊賢龍

（杭州電子科技大學 機電工程學院，浙江 杭州 310018）

0 引言

超聲變幅桿是連接換能器和工具的過渡元件，在不考慮工具負載的情況下，變幅桿的振動問題實際上是在換能器輸出端機械信號諧響應下的受迫振動問題。根據(jù)振動理論，要得到工具端面最大的振動幅值，應使得設計的變幅桿固有頻率和工作頻率相同，也即使得變幅桿在工作中達到諧振狀態(tài)［1］。目前，超聲變幅桿的設計主要采用解析法，這種方法雖然物理意義明確，但是這種方法設計出來的變幅桿往往需要修正，以往確定變幅桿的固有頻率通常采用試驗的方法，比較費時費力。有限元法是把具有無限多自由度的彈性連續(xù)體離散為只有有限個自由度的單元幾何體，使問題簡化為適合于數(shù)值解法的結構型問題，這樣只需要通過有限元分析就能發(fā)現(xiàn)設計是否合理，同樣也可以驗證解析法設計的是否可靠。本文利用ANSYS Workbench 12.1對某一應用的階梯型超聲變幅桿進行了模態(tài)分析，提取了變幅桿的固有頻率，并比較了其與設計頻率的差值，利用諧響應分析對變幅桿的輸出位移和應變情況進行了分析，以進一步驗證其可靠性。

1 階梯型變幅桿解析法設計

本文主要研究的是來源于某課題中的一種階梯型變幅桿，變幅桿的材料為40Cr鋼，主要參數(shù)為：彈性模量E＝200 GPa，泊松比γ＝0.3，密度ρ＝7 800 kg／m3，疲勞極限［σ］＝300 MPa。變幅桿工作頻率為f＝30 k Hz，放大系數(shù)為Mp＝3.24，大、小端半徑分別為R1＝20 mm、R2＝11 mm。選擇變幅桿中點處為節(jié)點，考慮固定需要，在節(jié)點附近設計了厚為2 mm的法蘭盤，變幅桿中部的Φ3 mm小孔是為了課題需要。經(jīng)解析法［2］計算得到的變幅桿尺寸如圖1所示。

2 用Workbench12.1對變幅桿進行模態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析

在Workbench12.1模型樹中選擇Model分析模塊［3］，導入用Solid Works建立的變幅桿模型，新建變幅桿的材料為40Cr，并添加給模型。網(wǎng)格劃分尺寸采用默認設置，得到的模型網(wǎng)格劃分結果如圖2所示。在分析求解設置過程中，設置求解頻率區(qū)間為15 k Hz～35 k Hz［4］，求解的階數(shù)為10階，考慮具體情況在法蘭盤處施加完全約束，進行模態(tài)分析，共得到8階頻率，如圖3所示。

圖1 解析法設計的變幅桿結構尺寸

圖3 模態(tài)分析得到的各階頻率

圖2 模型網(wǎng)格劃分結果

選擇與設計頻率相接近的5，6，7階進行分析，得到如圖4所示的對應階數(shù)的振型圖。從圖4可以看出：與諧振頻率最接近的固有頻率為29 550 Hz，在此固有頻率時變幅桿的變化為縱向的振動，符合設計的需要，同時此時變幅桿頻率設計的誤差為Δf／f＝1.8%，即與目標值的相對偏差僅為1.8%，能滿足實際應用需求；而在22 971 Hz和31 523 Hz時的振型均為彎曲振動。

2.2 變幅桿的諧響應分析

諧響應分析用于確定變幅桿在承受隨時間按正弦規(guī)律變化的激勵位移時的穩(wěn)態(tài)響應，目的是計算出變幅桿的動力響應，得到位移對頻率的幅頻特性曲線及其他結果隨頻率變化的情況。對于諧響應分析，峰值響應發(fā)生在激勵頻率和固有頻率相等時，只有當變幅桿的工作頻率與其固有頻率相等時，變幅桿的端面才能達到最大位移。

圖4 各階頻率對應的振型

在Workbench中選擇諧響應分析模塊，導入變幅桿的幾何模型圖，選擇變幅桿的材料為40Cr，在變幅桿法蘭盤附近添加完全約束，在變幅桿的大端面施加正弦的位移激勵［5］，幅值為9μm，諧響應分析采用Full法，它是采用完整的系統(tǒng)矩陣計算響應。模型建立和網(wǎng)格劃分與模態(tài)分析相同，設定強制頻率范圍為29 000 Hz～30 500 Hz，選擇頻率響應的幾何體為變幅桿的小端面，得到的小端面位移－頻率響應見圖5。從圖5中可以看出：在諧振頻率為29 550 Hz時小端面的位移約為28.1μm，計算放大系數(shù)Mp＝3.12，放大系數(shù)的設計誤差ΔMp／Mp為3.9%，適合實際的需要。

圖5 小端面位移－頻率響應分布圖

為了檢驗變幅桿所選材料是否能滿足諧振需要，所以分析了整個變幅桿在諧振頻率為29 550 Hz時的應力分布情況，得到此時變幅桿的應力分布，見圖6。由圖6可以看出：階梯變幅桿的最大應力將在過渡面附近出現(xiàn)，這是比較符合設計的；最大應力為229.11 MPa＜［σ］。所以，本文設計的變幅桿所選的材料也是滿足需要的。

圖6 諧振頻率為29 550 Hz時變幅桿應力分布圖

3 結束語

解析法設計變幅桿是近似的，存在一定的誤差，只能作為變幅桿的初始設計，針對是否還需要進一步修正設計，我們可以利用有限元法來進行驗證，省去通過激振試驗進行測量修改的過程。本文利用 Workbench模態(tài)分析法計算出變幅桿固有頻率與工作頻率之間的相對誤差，再利用諧響應分析法分析變幅桿固有頻率時變幅桿的放大系數(shù)和最大應力是否滿足實際需要，以此來評價解析法設計的可靠性，為變幅桿的進一步修正提供了可供參考的科學依據(jù)。

［1］ 愈載道.結構動力學基礎［M］.上海：同濟大學出版社，1987.

［2］ 霍樹青.耦合式超聲復合加工裝置的設計研究［D］.南京：南京航空航天大學，2009：26－34.

［3］ 許京荊.ANSYS 13.0 Workbench數(shù)值模擬技術［M］.北京：中國水利水電出版社，2012.

［4］ 萬德安，劉春節(jié).超聲變幅桿的模態(tài)分析［J］.機械與電子，2004（4）：10－12.

［5］ 原豐霞，張慧君，朱國良.基于ANSYS的超聲變幅桿的優(yōu)化設計［J］.機械工程師，2004（11）：24－26.