范仁忠

圓錐曲線綜合題因其多樣的思路及繁難的運(yùn)算讓很多學(xué)生望而生畏.近年高考，“關(guān)注解題方向的選擇及計算方法的合理性，靈活利用曲線的定義和性質(zhì)簡化計算”成為圓錐曲線綜合題的命題趨勢.教學(xué)中，如何貫徹“多思少算”的理念、如何引導(dǎo)學(xué)生選擇合理的解題方向、如何運(yùn)用“設(shè)而不求”、“整體代換”的方法以簡化運(yùn)算，是不可忽視的問題.本文以河南省開封市2014屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理科第20題第（Ⅱ）問的解法探析為例，談?wù)労喕瘓A錐曲線綜合試題運(yùn)算量的幾點(diǎn)認(rèn)識，希望對解題教學(xué)有所幫助.

題目

已知橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）過點(diǎn) 3 ， 3 2 ，離心率e= 1 2 ，若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N x0 a ， y0 b 稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”，直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的“橢點(diǎn)”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若橢圓C右頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為E，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明.

常規(guī)解法：

（I）橢圓C的方程為 x2 4 + y2 3 =1.

（Ⅱ）討論直線l斜率存在與否，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合“OP⊥OQ”及原點(diǎn)到直線l

的距離，探究得△OAB面積與△ODE面積相等.

點(diǎn)評 本題（Ⅱ）解法利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，通過構(gòu)建面積目標(biāo)函數(shù)及整體代換得到定值.本題的難點(diǎn)在于對△OAB面積表達(dá)式的構(gòu)建，對學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算能力都是極大的挑戰(zhàn).如何另辟蹊徑？

探析一由變化條件尋找聯(lián)系，巧用“整體代換”

分析：△OAB的面積由A，B兩點(diǎn)的位置來確定，利用點(diǎn)A，B在橢圓上及對應(yīng)的橢點(diǎn)P，Q，A，B的關(guān)系式進(jìn)行“整體代換”.