宋楠

【摘要】本文以作者本人在做個人課題“高中數(shù)學機械學習的表現(xiàn)、成因及對策的調查研究”實施的過程中遇到的實際問題以及如何轉化數(shù)學機械學習以提高整體數(shù)學教學水平為背景，就自身在教學中嘗試著培養(yǎng)學生積極的學習態(tài)度，調動學生的內部學習動機，如何轉化機械學習為有意義學習為題材，淺談一些具體操作方法及其對相關學生的數(shù)學學習產(chǎn)生的實際影響，以此更好地優(yōu)化教學，幫助全體學生更好、更輕松地學習數(shù)學.

【關鍵詞】機械學習；數(shù)學機械學習；有意義學習；策略

背景：筆者所在是一所三星級普通中學，高一招收來的學生普遍為城鄉(xiāng)結合處的學生，成績普遍不夠理想，一個班有三分之一甚至更多的學生數(shù)學成績經(jīng)常不及格.加上初中數(shù)學具有的淺、少、易的特點，很多學生在經(jīng)過一段時間的學習后會發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學并非想象中那么簡單易學，而是非常抽象、晦澀，常常感到做題目時不知道如何下手.時間一長，一些學生就只會單純地記憶公式和解題方法，從而喪失學習數(shù)學的興趣和積極性，使得數(shù)學學習慢慢由有意義學習轉變?yōu)闄C械學習，到了高二，數(shù)學學科壓力的加大，使得一部分學生甚至放棄了數(shù)學.在這種背景下，筆者認為，學生學習能力的不足，是從小形成的.教師只能多進行調研，多動腦，多反思教育教學中存在的不足，及時轉變教育教學理念，改進教法學法，適當降低教學難度，改善師生關系，用我們的智慧、愛心、耐心和信心為學生撐起一片藍天，幫助他們克服高中數(shù)學學習中的困難，就能使機械學習轉化為有意義學習.

美國心理學家奧蘇伯爾根據(jù)學習材料與學習者認知結構中已有知識的關系，將學習分為機械學習和有意義學習.機械學習是一種單純依靠記憶學習材料，而避免理解其復雜內部和主題推論的學習方法.數(shù)學機械學習就是指學生對數(shù)學的概念、定理、公式、法則缺乏理解，單純重復式的、死記硬背式的學習.從學習心理學的觀點解釋，數(shù)學機械學習的本質就是當前所學的數(shù)學知識沒有納入到學生已有的認知結構當中去，新舊知識沒有融會貫通，沒有建立非人為的、實質性的聯(lián)系.比如在學習高中數(shù)學必修1“函數(shù)的概念”時，很多學生能背誦函數(shù)的定義，卻不知道y=f（x）=x與h=s（u）=u表示的是同一個函數(shù)；又如在高中數(shù)學必修4“三角函數(shù)”的學習中，大多數(shù)學生對兩角和與差的正弦公式記得相當牢固，做題時卻經(jīng)常記錯sinπ2+α等于多少，這就是數(shù)學機械學習.與機械學習相對的就是有意義學習，奧蘇貝爾認為有意義學習是指符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當概念建立非人為的，實質性的聯(lián)系的過程.為了幫助學生克服高中數(shù)學學習中的困難，作為教師就必須在自己的教學過程中引導學生逐步走向有意義學習.

歸納起來，在高中數(shù)學的教學過程中，我認為可以在以下幾方面來帶領學生逐步走向有意義學習.

1.培養(yǎng)學生積極的學習態(tài)度，化被動學習為主動學習.被動學習是一種因為外部壓力或者為了應付老師和家長而進行的學習.對于主動學習的學生而言，學習的過程是一種探究的過程，他們會處于高度集中的狀態(tài)，從而注意搜尋和分析新知識和過去已經(jīng)學過的知識之間的共同點和差異，新舊知識在他們的知識網(wǎng)絡里形成體系.而在被動學習的情景下，學生一般不會自覺運用已經(jīng)具備的經(jīng)驗去理解新的知識，而往往為了應付老師和家長，采用急功近利的、語文式的學習方式，把當前學習的數(shù)學知識點或者公式結論機械地背誦下來了事.筆者所在的學校學生數(shù)學基礎普遍較差，在全市處于中下等.在數(shù)學教學中，若按照全市統(tǒng)一的教學進度進行教學，學生的學習能力承受不了這樣的教學容量，久而久之，為了達到老師的要求，一些學生就放棄了了解知識的來龍去脈，機械地套用公式、解題方法，時間越長問題越多，再想趕上已經(jīng)力不從心，從而徹底淪為被動學習和機械學習.所以，針對這樣的教學現(xiàn)狀，適當?shù)胤啪徑虒W進度，給學生一個對新舊知識融會貫通的過程，對于培養(yǎng)學生積極的學習態(tài)度，化被動學習為主動學習是十分必要的.

2.重視知識形成過程的教學.在學習過程中，結論是學生獲得的知識，過程是學生獲得知識、形成技能的歷程.通俗地說，結論是學習了什么，過程是如何學習，數(shù)學機械學習就是只重視結論而忽視過程的學習.所以數(shù)學機械學習如何向有意義學習轉化的一個重要途徑就是重視知識發(fā)生過程的教學.比如在高中數(shù)學選修2-1“導數(shù)”的教學過程中，一些學生只會單純地記憶如何運用公式計算各種函數(shù)的導數(shù)，對于導數(shù)的概念和導數(shù)的幾何意義卻不知曉，是因為有的教師在教學過程中只重視導數(shù)的計算，而對發(fā)現(xiàn)導數(shù)概念的平均變化率、瞬時變化率、瞬時速度以及切線問題卻一筆帶過，導數(shù)的由來不清楚，只會套用公式求導，這就導致了數(shù)學機械學習的產(chǎn)生.若教師在教學中按部就班從瞬時變化率到導數(shù)的定義，就算學生忘記了某些函數(shù)的求導公式也可以通過定義來推導，不用單純地記憶公式，促使機械學習向有意義學習轉化.又如在高中數(shù)學選修1-1“利用導數(shù)研究函數(shù)單調性”教學中，設計如下過程：

問題1：導數(shù)f′（x0）的幾何意義是什么？

問題2：函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，觀察圖像探討下列問題：

（1）在A，B，C，D，E，F(xiàn)，G點出，哪些點處的導數(shù)大于0？等于0？小于0？為什么？

（2）函數(shù)f（x）的導數(shù)在哪些區(qū)間上為正，哪些為負？

（3）當導數(shù)為正時，圖像的變化趨勢是什么？

當導數(shù)為負時，函數(shù)的變化趨勢是什么？

問題3：通過上述問題的探討，你能說出函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性之間的關系嗎？

通過一系列問題的設置，讓學生對于函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性之間的關系的理解更加深刻，而不是單純地依靠記憶書上的結論來解題.對于定理、公式、規(guī)律的教學，必須要重視結論的由來，使學生知其然且知其所以然.在教學過程中，教師一定要挖掘出教材系統(tǒng)前后的本質聯(lián)系，讓學生經(jīng)歷知識形成的過程，為學生理解掌握知識打下深厚的思想基礎，化機械學習為有意義學習.

3.運用變式教學，突出數(shù)學概念的本質特征.變式是指變換問題的條件或表征，而不改變問題的實質，只改變其形態(tài).變式是通過變更對象的非本質特征而形成的表現(xiàn)形式.變更人們觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素，讓學生在變式中思維，從而掌握事物的本質和規(guī)律.數(shù)學概念是抽象的，沒有對各種具體材料的變形，將會導致學生把注意力固定在事物的表面特性上，并把非本質特征當作本質特征，所以，為了使學生正確理解并運用概念，必須讓學生具有各種不同的直觀經(jīng)驗.比如在高中數(shù)學選修1-1“橢圓的定義”的教學過程中設計如下變式：

定義：平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡是橢圓.

變式1：平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（等于|F1F2|）的點的軌跡是什么？

變式2：平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡是什么？

變式3：平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？

變式4： 平面內到一個定點的距離等于常數(shù)的點的軌跡是？

通過一系列變式的設計，讓學生對橢圓的形成過程和定義的理解更加深刻，同時對圓錐曲線有一個總體上的把握.

再如，在學習高中數(shù)學選修1-1“復數(shù)概念”時，若只列舉2+3i，2-5i，-6i之類的例子，學生會誤認為b≠0是復數(shù)a+bi （a，b∈R）的本質特征；倘若同時列舉4，3，0，1-3等例子，就能有效地排除此無關特征的干擾.通過變式的訓練，加深學生對概念和法則的理解，進一步促進有意義學習.

4.在教學中注意揭示數(shù)學知識前后間的邏輯關系，而不是孤立地呈現(xiàn)一些數(shù)學概念和法則.例如，在高中數(shù)學選修1-1“虛數(shù)”的教學過程中設計如下的問題串：

（1）是否存在兩數(shù)，其和為10，乘積為16？

（2）是否存在兩數(shù)，其和為10，乘積為-24？

（3）是否存在兩數(shù)，其和為10，乘積為754？

（4）是否存在兩數(shù)，其和為10，乘積為23？

（5）是否存在兩數(shù)，其和為10，乘積為40？

通過問題串的設置，并沒有直接引入虛數(shù)的概念，而是一步一步讓學生經(jīng)歷了引入虛數(shù)的歷程，充分體現(xiàn)了教材前后內容之間的邏輯關系.又如，在高中數(shù)學必修1“對數(shù)函數(shù)”的教學中，教師必須反復向學生指出對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)這對反函數(shù)之間的關系，而不是孤立地讓學生理解它們各自的圖像和性質，在具體運用中也需要向學生強調對數(shù)式和指數(shù)式之間的相互轉化.

全面實施素質教育，必須要求教育要面向全體學生，使每個班、每名學生得到全面而健康的發(fā)展.隨著義務教育的普及，初中升入高中之后，學生兩極分化現(xiàn)象越來越嚴重，面對這樣的現(xiàn)狀，數(shù)學機械學習的范圍不可避免地在擴大.如何避免機械學習，是全面素質教育的要求，也是當今數(shù)學教育的一個重要課題.

數(shù)學課程標準指出：“要關注數(shù)學知識之間的聯(lián)系，這包括同一領域內容之間的相互連接，也包括選擇若干具體內容，體現(xiàn)數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率之間的實質性關聯(lián)，展示數(shù)學的整體性；還應關注數(shù)學與現(xiàn)實世界、與其他學科之間的聯(lián)系.”可見，有意義學習不僅是數(shù)學課程標準的要求，同時也是全面實施素質教育的要求，因此，如何將數(shù)學機械學習轉化為有意義學習應該得到數(shù)學老師的普遍重視，特別是筆者所在的普通薄弱高中，而究竟如何在我們的數(shù)學教學中引導學生走出機械學習的誤區(qū)，實現(xiàn)有意義學習，值得我們每一個數(shù)學老師進行深入的思考和研究.

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