戴小駒

【摘要】幾何應用型問題圖文并茂，貼近生活實際，頗引人注目，而幾何最優(yōu)化問題又是其中的一朵奇葩.這類問題涉及的知識面廣，需要學生具有扎實的幾何知識基礎，同時要有較強的分析能力和一定的生活經驗.學生解這類題，往往有一定的困難.本文通過剖析典型例題，介紹怎樣從實際問題背景看問題的實質，抓住圖形的幾何性質，獲取最優(yōu)化解決問題的信息，從而探求解決問題的最優(yōu)化途徑和方法.

【關鍵詞】幾何；模型；數(shù)學

一、有關站址的選取問題

例1如圖1，某汽車公司所營運的公路AB段有四個車站，依次為A，C，D，B，且AC=CD=DB.現(xiàn)想在AB段建一個加油站M，要求使A，B，C，D站的各一輛汽車到加油站M所花費的總時間最少，試找出M的位置.

圖1

分析本題實際上是在線段AB間找一點M，使S=AM+CM+DM+BM最小.可就M在AC間、CD間（含C，D）、DB間三種情況分別求出S，再進行比較，找出符合要求的M點.

解若加油站選在AC間，設為M′，則S1=（AM′+BM′）+（CM′+DM′）=AB+CD+2CM′.

若加油站選在CD間（包括C，D），設為M″，則S2=（AM″+BM″）+（CM″+DM″）=AB+CD.

若加油站選在DB間，設為M，則S3=AB+CD+2DM，

可見S1，S2，S3中S2最小，并且S2是一個固定的值.所以加油站M選在CD段（包括C，D）任一點均可.

說明此題通過分類討論并加以計算比較的代數(shù)方法解決了幾何的最優(yōu)選址問題.

例2長江的同側有A，B兩個工廠，它們有垂直于江邊的小路，長度分別為m千米和n千米.設兩條小路相距l(xiāng)千米.現(xiàn)在要在江邊建一個抽水站，把水送到A，B兩廠去，欲使供水管線最短，抽水站應建在哪里？