楊豐赫　楊帆

【摘要】所謂整點(diǎn)就是各坐標(biāo)分量都為整數(shù)的點(diǎn)，也可以叫作格點(diǎn)平面及空間上的直線以及空間平面的延伸范圍是無限的，本文將給出其過整點(diǎn)的充要條件以及找出所有整點(diǎn)的方法.

【關(guān)鍵詞】整點(diǎn)；直線；平面

文中{a，b}表示a，b的最大公約數(shù)，a|b表示a整除b.

（一）xOy平面上的直線

1.對于和x軸或y軸平行的直線，即x=x0或y=y0，當(dāng)且僅當(dāng)x0，y0

取整數(shù)是直線通過整點(diǎn)且過無數(shù)個整點(diǎn)，否則直線不過任何整點(diǎn).

2.對于直線y=kx+b，（k≠0）.

[1]當(dāng)k是無理數(shù)時，只想至多通過一個整點(diǎn).

證假設(shè)此時直線過兩個整點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則有k=y2-y1[]x2-x1，即k=p[]q，其中p，q∈Z，所以k是有理數(shù)，與條件矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.

推論1當(dāng)k∈R＼＼Q，b∈Z時，直線只過一個整點(diǎn)（0，b）

推論2當(dāng)k∈R＼＼Q，b∈Q＼＼Z時，直線不過任何整數(shù)點(diǎn).

推論3當(dāng)k∈R＼＼Q，b∈R＼＼Q時，當(dāng)且僅當(dāng)b=mk+n，（m，n∈Z）時，過一個整點(diǎn)（-m，n）.

[2]當(dāng)k是有理數(shù)時直線或者不過任何整點(diǎn)，或者經(jīng)過無數(shù)個整點(diǎn).（此時直線y=kx+b可寫作y=p[]qx+b，其中p，q∈Z，q>0且p與q互質(zhì)，下文此形式的直線都是這個含義，特別的，當(dāng)b也是有理數(shù)時，記作y=p[]qx+p1[]q1，其中p1，q1∈Z，q1>0且p1與q1互質(zhì)）

證首先找出一個例子，直線y=x+1[]2，它一定不過任何整點(diǎn)，否則有2y=2x+1，這顯然是不可能的，即直線可能不經(jīng)過任何整點(diǎn).若直線y=kx+b經(jīng)過一個整點(diǎn)（x0，y0），則：當(dāng)x=x1=x0+kq（k∈Z）時，y1=p[]q（x0+kq）+b=p[]qx0+b+kp=y0+kp∈Z，即整點(diǎn)（x1，y1）在直線y=kx+b上，當(dāng)k取得不同值時，將得到無數(shù)個整點(diǎn).

推論4若已知直線過一個整點(diǎn)（x0，y0），則其上的所有整點(diǎn)可表示為：（x0+kq，y0+kp），（k∈Z）.

推論5當(dāng)k∈Q，b∈R＼＼Q時，y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn).

所以現(xiàn)在就可以討論最一般的情況k，b∈Q.

此時y=p[]qx+p1[]q1=bx+c[]a（a，b，c是通分后產(chǎn)生的整數(shù)，即有b[]a=p[]q，c[]a=p1[]q1，下文出現(xiàn)的a，b，c均是這個含義）.

當(dāng)b=0時，可以找到整點(diǎn)（q，p），再由推論2就可確定所有整點(diǎn).

當(dāng)b≠0時，對于y=p[]qx+p1[]q1：

結(jié)論1若其在區(qū)間＼[x0，x0+q-1＼]（x0∈Z）上無整點(diǎn)，則其不過任何整點(diǎn).

證假設(shè)其過整點(diǎn)（x1，y1），且有mq≤x1-x0<（m+1）q，

則x0≤x1-mq

當(dāng)x=x2=x1-mq時，y2=p[]qx1+p1[]q1-mp=y1-mp∈Z，

即該直線在＼[x0，x0+q-1＼]上有整點(diǎn)（x2，y2），與條件矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.

結(jié)論2其在區(qū)間＼[xo，x0+q-1＼]上至多只能有一個整點(diǎn).

證假設(shè)有整點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在該直線上，

且x1，x2∈＼[xo，x0+q-1＼]，x1≠x2，不妨設(shè)x1>x2，

則p[]q=y1-y2[]x1-x2，但x1-x2，y1-y2∈Z，且0

由此，對于a，b較小的直線，可以通過有限次驗證的方法來找出其上的整點(diǎn).可以取區(qū)間＼[1，q＼]上的所有整數(shù)作為x的值，看相應(yīng)的y是否為整數(shù)，若所有y都不是整數(shù)，由（1）知其上無整點(diǎn).一旦找到了一個整數(shù)y，由（2）知即可停止尋找，并通過推論4將其上所有的整點(diǎn)表示出來.

例如直線y=3x+4[]13，可以在＼[1，13＼]上找，但不妨將其改寫為x=13y-4[]3，在＼[1，3＼]上找，取y=1得x=3，于是得整點(diǎn)（3，1），所以其上所有整點(diǎn)可表示為（3+13k，1+3k），（k∈Z）.

但是對于a，b很大的情況不可能逐一嘗試，必須將其簡化.

結(jié)論3直線L1：y=bx+c[]a上有整點(diǎn)的充要條件是直線L2：y=ax-c[]b-ak上有整點(diǎn)，其中k∈Z且b-ak≠0.

證必要性：設(shè)整點(diǎn)（x1，y1）∈L1，則有

ay1=bx1+c，即ay1-akx1=bx1-akx1+c，其中k∈Z且b-ak≠0.

即a（y1-akx1）=（b-ak）x1+c，x1=a（y1-kx1）-c[]b-ak，所以存在整點(diǎn)（y1-kx1，x1）∈L2.

充分性：設(shè)整點(diǎn)（x2，y2）∈L2，則有by2-aky2=ax2-c，

即ky2+x2=by2+c[]a，所以整點(diǎn)（y2，ky2+x2）∈L1.證畢.

有了這個結(jié)論，可以將復(fù)雜的直線不斷簡化，仿照求最大公約數(shù)的歐幾里得法來化簡是一種快速的方法，不妨設(shè)b>a，（b≤a時可以將ay-c轉(zhuǎn)化到分子上）因為{b，a}={a，b-ak}，取k為a除b的商，當(dāng)?shù)趎次化簡后，bn-ank=0，即an={b，a}時，記an[]bn=m∈Z，則等價的問題是直線y=m[]1x+c[]an是否過整點(diǎn)，由結(jié)論1知，代入x=0看y是否為整數(shù)即可判定，即c[]an是否為整數(shù).

推論6直線y=bx+c[]a過整點(diǎn)的充要條件是{a，b}|c，特別的，當(dāng){a，b}=1，即a，b互質(zhì)時，其一定過整點(diǎn).

推論7直線y=p[]qx+p1[]q1過整點(diǎn)的充要條件是q1|q.

有了以上內(nèi)容，可通過xn=yn+1，yn=kn+1yn+1+xn+1的方法迭代來求x0，y0.

例如，對于直線y=283x-6[]789，轉(zhuǎn)化為x=789y+6[]283，由{789，283}=1，知該直線一定過整點(diǎn).

所以x=789y+6[]283過（x0，y0）

x=283y-6[]223過（x1，y1）k1=2，y0=x1，x0=2x1+y1

x=223y+6[]60過（x2，y2）k2=1，y1=x2，x1=x2+y2

x=60y-6[]43過（x3，y3）k3=3，y2=x3，x2=3x3+y3

x=43y+6[]17過（x4，y4）k4=1，y3=x4，x3=x4+y4

x=17y-6[]9過（x5，y5）k5=2，y4=x5，x4=2x5+y5

x=9y+6[]8過（x6，y6）k6=1，y5=x6，x5=x6+y6

x=8y-6[]1過（x7，y7）k7=1，y6=x7，x6=x7+y7

顯然可以找到一個x7=2，y7=1，往回迭代可得到

x0=237，y0=85，所以直線y=283x-6[]789上的所有整點(diǎn)可表示為（237+789k，85+283k）（k∈Z）.

例如對于直線y=114x+4[]69，因為{114，69}=3，但3不能整除4，所以該直線不過任何整點(diǎn).

上述對于xOy平面上直線的研究其實(shí)就是對兩未知量關(guān)系的研究，所以空間直線和空間平面的問題可以向它轉(zhuǎn)化.

（二）空間坐標(biāo)系O-xyz下的直線

空間直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x-x0[]A=y-y0[]B=z-z0[]C.（*）

可以將其看成一個含兩個獨(dú)立方程的線性方程組：

Bx-Ay=Bx0-Ay0，（1）Cx-Az=Cx0-Az0.（2）

利用（一）中的相關(guān)結(jié)論和方法來處理（1）式，若沒有整數(shù)x，y使（1）式成立，則空間直線上無整點(diǎn)，因為方程組（*）的解必是（1）的解.若找出了整數(shù)x1，y1是（1）的解，當(dāng)x1，y1唯一時，直接把x1代入（2）式，若解得z是整數(shù)z1，則該空間直線上僅有一個整點(diǎn)（x1，y1，z1）；當(dāng)有無窮多個整數(shù)x，y滿足（1）時，由（一）知，可寫作x=x1+kq，y=y1+kp，k∈Z，將x=x1+kq代入（2）式，即得qCk-Az=C（x0-x1）-Az0（3），于是問題就變?yōu)檎页稣麛?shù)k，z滿足（3）式，即又變?yōu)閮勺兞康膯栴}.

（三）空間坐標(biāo)系O-xyz下的平面

空間平面的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0.

（A，B，C）為平面的一個法向量，不妨設(shè)A=1（A=0時即可轉(zhuǎn)化為二維問題），此時x +By+Cz+D=0，

1.當(dāng)B，C不都是無理數(shù)時，不妨設(shè)B為有理數(shù)，可寫作x=py+（C1z+D1）[]q（p，q∈Z），由（一）中的結(jié)論知當(dāng)且僅當(dāng)C1z+D1=k{p，q}（k∈Z）時有整點(diǎn)，問題就轉(zhuǎn)化為k，z的二元問題.

2.當(dāng)B，C都是無理數(shù)時

[1]當(dāng)C=mB+n（m，n∈Q）時，簡化為kx+B（ky+m1z）+kn+kD=0，（k，m1∈Z），令y′=ky+m1z.（1）

即將問題簡化為x，y′的二元問題，再通過將得出的整數(shù)y′代入（1），即可解決.

[2]當(dāng)C≠mB+n（m，n∈Q）時，若D∈Z時，可得唯一的整點(diǎn)（-D，0，0）在平面上；若D∈Q＼＼Z，平面上不存在整點(diǎn)；若D∈R＼＼Q，當(dāng)且僅當(dāng)D=Bm1+Cm2+t，（m1，m2，t∈Z）時，平面過一個整點(diǎn)（-t，-m1，-m2）.

例如，平面6x+28y-13z-9=0，屬于情況1，化為x=-28y+13z+9[]6，{-28，6}=2，所以13z+9=2k，k∈Z，由此解出z=2k1+1，k=13k1+11，再代回原式得x=-10k1-11，y=51k1+55，所以平面上所有的整點(diǎn)可表示為（-10k1-11+3k2，51k1+55-14k2，2k1+1）（k1，k2∈Z）.

例如，平面x-3y+3z-8=0，屬于情況2中的[1]，化為x=3（y-z）+8=3y′+8，得x=8，y′=0，即y-z=0，所以平面上所有的整點(diǎn)可表示為（8，k，k）（k∈Z）.

上文中唯一還不太好確定的是無理數(shù)之間的線性表示問題，這屬于數(shù)論的問題，一般情況下，這種線性關(guān)系較為明顯，如3+22可以由3，2線性表示，不能由5，7線性表示.至此，直線和平面上的整點(diǎn)問題已基本解決.