于風(fēng)宏

【摘要】針對(duì)變限積分函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)的現(xiàn)狀，給出了5個(gè)變限積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)定理，并依次對(duì)其求導(dǎo)方法進(jìn)行了深入探究.

【關(guān)鍵詞】變限積分函數(shù)；求導(dǎo)方法；被積函數(shù)

引言

變限積分函數(shù)是高校高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，與其他函數(shù)不同，它不但由定積分定義，而且自變量多出現(xiàn)在積分上限或下限.變限積分函數(shù)具有產(chǎn)生新函數(shù)的功能，可用以表示非初等函數(shù)，也能夠?qū)崿F(xiàn)積分學(xué)到微分學(xué)的轉(zhuǎn)化，在諸多領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用.然而實(shí)際教學(xué)中，由于函數(shù)自身過于抽象，求導(dǎo)方法不好掌握，令許多學(xué)生都覺得十分困難.為此結(jié)合實(shí)例對(duì)其求導(dǎo)方法進(jìn)行深入研究.

一、變限積分函數(shù)求導(dǎo)定理及實(shí)例分析

1.定理Ⅰ

假設(shè)有函數(shù)f（x），且該函數(shù)在區(qū)間＼[a，b＼]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ（x）=∫xaf（t）dt是被積函數(shù)f（x）的一個(gè)原函數(shù)，從而可求得Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x），或dΦ（x）=d∫xaf（t）dt=f（x）dx.

例1若Φ（x）=∫xa2tdt，求Φ′（x）.

解題思路：顯然該題的被積函數(shù)難度較小，可根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式先計(jì)算出有關(guān)x的表達(dá)式，然后求導(dǎo)；更簡便的方法就是利用定理Ⅰ直接求導(dǎo).

解法①：

Φ（x）=∫xa2tdt =t2xa =x2-a2，

∴Φ′（x）=（x2-a2）′=（x2）′-（a2）′=2x.

解法②：

根據(jù)以上定理，用自變量x替換被積函數(shù)中的積分變量t，可直接求出結(jié)果Φ′（x）=2x.

2.定理Ⅱ

假設(shè)有函數(shù)f（x），且該函數(shù)在區(qū)間＼[a，b＼]上連續(xù)，積分下限函數(shù)Ψ（x）=∫2xf（t）dt可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為Ψ′（x）=ddx∫bxf（t）dt=-f（x），或dΨ（x）=d∫bxf（t）dt.

例2若Ψ（x）=∫bx2tdt，求Ψ′（x）.

解法①：