馬劍飛

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的精髓所在.掌握了數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)才能有更多的感悟.在平時(shí)的教學(xué)過程中，要適時(shí)地讓學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)思想方法﹒

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法；感悟

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的精髓所在.在我們的教學(xué)中，我們力求讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法，那么怎樣讓學(xué)生更強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)思想方法呢？在三角函數(shù)的一節(jié)復(fù)習(xí)課中，學(xué)生經(jīng)歷了一題多解和遇到困惑等情況，筆者進(jìn)行多種解法的剖析與比較，讓學(xué)生感受方法的難易及得出的由來.在這個(gè)過程中及時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，起到了“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的效果.

片段1

例1（2011蘇州三模15改編）如圖，以O(shè)x為始邊作角α，β（0<β<α<π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P，Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為-35，45，若OP·OQ=0，則sin（α+β）=﹒

展示學(xué)生的解題過程：

生1：設(shè)Q（x，y），則x2+y2=1-35x+45y=0，解得x=45y=35，所以Q45，35.

則sinβ=35，cosβ=45，又sinα=45，cosα=-35，

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=45×45+-35×35=725.

在展示完生1的解題過程后，筆者請(qǐng)生1給大家講述一下思維過程.生1從題中的條件得出本題與三角函數(shù)的定義有聯(lián)系，看出角α，β的函數(shù)，所以從定義出發(fā)研究本題.

在生1解釋結(jié)束后，筆者指出生1應(yīng)用了三角函數(shù)的定義解決本題，其實(shí)就是函數(shù)思想，兩個(gè)角就構(gòu)造兩個(gè)函數(shù).

筆者繼續(xù)詢問是否還有其他方法.此時(shí)生2給出了另一種解法：

生2：因?yàn)镺P·OQ=0，所以∠POQ=π2，即α-β=π2，

則sin（α+β）=sin2α-π2=-cos2α=-（2cos2α-1）=725

生2也給出了自己的思維過程，本題中求sin（α+β）的值，由條件可以得到α的三角函數(shù)值，但β的三角函數(shù)值較難，所以想把β轉(zhuǎn)化為α.

筆者此時(shí)指出生2的方法也是函數(shù)思想，其中還涉及消元的思想方法.求sin（α+β）的值可以看成研究函數(shù)y=sin（α+β），而此函數(shù)含有兩個(gè)自變量，而我們只會(huì)研究一個(gè)自變量的函數(shù)，所以必須進(jìn)行消元化歸為一個(gè)自變量.由此可以發(fā)現(xiàn)需要尋找兩個(gè)元α，β的相互關(guān)系，結(jié)合條件向量數(shù)量積與向量圖形的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合得出α-β=π2.

在給出兩種方法后，筆者與學(xué)生一起比較這兩種方法，學(xué)生感覺生1的解法好理解，生2的方法簡潔.至此學(xué)生就會(huì)感受到在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)解題會(huì)更簡潔，同時(shí)對(duì)函數(shù)、不等式等知識(shí)有了更好的理解.

片段2

例2（2013重慶9改編）4cos50°-tan40°=.

本題學(xué)生均化簡到2sin80°-sin40°cos40°，接下來大部分學(xué)生就不知道該怎么辦.最后有一名學(xué)生給出了自己的解答：

生3：

2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos10°-sin（30°+10°）cos（30°+10°）=32cos10°-32sin10°32cos10°-12sin10°=3.

看了生3的解答過程，學(xué)生都很驚嘆，此時(shí)都要求生3給大家講講怎么想到的，生3不好意思地說自己也是湊巧得到的.本題雖然有了解答，但是卻沒有理解其本質(zhì).

筆者與大家一起分析生3的解答過程，生3的關(guān)鍵步驟在于“40°=30°+10°”，該式子體現(xiàn)了消元的思想.在式子2cos10°-sin40°cos40°中主要涉及兩個(gè)元：10°和40°，不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)元之間滿足關(guān)系：40°-10°=30°，由此消去一元即可.

此時(shí)筆者讓學(xué)生思考還有哪些方法可以解決該問題.

生4：由40°-10°=30°得10°=40°-30°，消去10°，計(jì)算明顯減少.

生5：直接由式子2sin80°-sin40°cos40°中的兩元80°和40°，由80°+40°=120°消去一元80°即可得到結(jié)果.

在這個(gè)過程中，學(xué)生明白了方法的本質(zhì)，通過運(yùn)用，體會(huì)了數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，真正意義上地提高了能力.

古語有云：授之以魚，只供一飯之需，授之以漁，則一生受用.我們所做的就是授之以魚的同時(shí)更要授之以漁，讓學(xué)生在會(huì)學(xué)中樂學(xué).