原玉昌 袁國寶 崔曉 暴占軍
摘要灰色系統(tǒng)模型在貧信息、小樣本的非線性系統(tǒng)建模中具有明顯優(yōu)勢,適合對時間序列較短時的需水量進行預測。針對基本灰色預測模型背景值構(gòu)造不合理,及未充分利用新信息的缺點,采用重構(gòu)背景值和等維遞補原理對基本GM(1,1)模型進行改進,并利用改進模型對安陽市小南海泉的涌泉量進行擬合和預測,結(jié)果表明,改進模型預測精度更高。
關(guān)鍵詞涌泉量預測;灰色預測;重構(gòu)背景值GM(1,1);等維遞補GM(1,1)
中圖分類號S181.3文獻標識碼A文章編號0517-6611(2014)22-07574-03
小南海泉出露于洹河河谷之中,是河南省的名泉,年均涌水量1.3億m3,相當于一座大型水庫的庫容。小南海泉水經(jīng)過下游的彰武水庫調(diào)節(jié),擔負著安陽市區(qū)用水量近一半的供水任務(wù),是安鋼、電廠、安化集團及萬金灌區(qū)的主要水源,也是市區(qū)生活用水的重要后備水源地,在安陽市國民經(jīng)濟和社會發(fā)展中占有舉足輕重的地位,被稱為安陽市的“生命泉”。近年來,隨著安陽市社會經(jīng)濟的快速發(fā)展,城市水資源供需矛盾日益突出,嚴重制約了城市經(jīng)濟的發(fā)展。及時準確地預測小南海泉的涌泉量是城市供水系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度的基礎(chǔ),對保護、合理開發(fā)小南海泉域地下水資源、實現(xiàn)區(qū)域水資源的合理配置、緩解城市水資源供需矛盾、保障安陽市經(jīng)濟、社會的可持續(xù)發(fā)展,有重要意義。
目前,常規(guī)的預測多采用回歸分析法和時間序列分析方法[1],這些方法雖然簡單、直觀,但必須建立在大量數(shù)據(jù)樣本之上。而影響涌泉量的因素眾多,難以一一確定,導致建模困難,且進行涌泉量預測時受實測數(shù)據(jù)時間系列較短、可靠性低等條件的限制,預測結(jié)果往往難以令人滿意?;疑到y(tǒng)模型在貧信息、小樣本的非線性系統(tǒng)建模中具有明顯優(yōu)勢,適合對信息不完全、時間序列較短時的數(shù)據(jù)進行預測。該研究即把受各種因素影響的涌泉量視為在一定范圍內(nèi)變化的與時間有關(guān)的灰色量,從其自身的數(shù)據(jù)列中挖掘有用信息,從而預測小南海泉的涌泉量?;净疑A測模型進行預測時之所以在某些時候出現(xiàn)預測精度較差的現(xiàn)象,主要原因有兩點:①常采用傳統(tǒng)公式來構(gòu)造參數(shù)a、b的背景值,對數(shù)據(jù)變化急劇的序列預測精度較低;②且只考慮過去的全體數(shù)據(jù),未充分利用新信息,精度較高的僅僅是最近的幾個數(shù)據(jù),導致越往未來發(fā)展,預測意義就越弱。因此,筆者采用重構(gòu)背景值和等維遞補原理對灰色預測模型進行改進,并用改進的模型對小南海泉的涌泉量進行擬合和預測。
1 GM(1,1)模型及其改進
1.1GM(1,1)模型灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的[1],是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息的不確定性問題的新方法。其實質(zhì)是基于灰色系統(tǒng)分析原理對含有不完全信息的研究對象的發(fā)展規(guī)律進行預估,其核心為GM(1,1)模型,基本的GM(1,1)模型的建模步驟如下[2]。
①對無規(guī)律的、隨機的、有明顯擺動的原始數(shù)據(jù)X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}進行一次累加,生成累加序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)},其中:x(1)(k)=∑k1i=1x(0)(i)(k=1,2,…,n)。新生成的數(shù)據(jù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,增加了原始數(shù)據(jù)列的規(guī)律性。
②由X(1)構(gòu)造背景值序列Z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)),其中z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)(k=2,3,…,n),一般取α=112,做緊鄰均值生成z(1)(k)=x(1)(k)+x(1)(k-1)12(k=2,3,…,n)。
③對累加生成序列建立微分方程:
dx(1)1dt+ax(1)=b (1)
④該方程的離散解為:
x(1)(k+1)=[x(0)(1)-b1a]e-ak+b1ak=0,1,2,…,n (2)
式(1)的發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b由下述方法確定:
α=(a,b)T=(BTB)-1BTY (3)
其中,B=-z(1)(2)11
-z(1)(3)11
…1…
-z(1)(n)11,Y=x(0)(2)
x(0)(3)
…
x(0)(n)。
⑤GM(1,1)數(shù)列預報模型為:
x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k)=(1-ea)[x(0)(1)-b1a]e-akk=1,2,…,n (4)
模型規(guī)定x(0)(1)=x(0)(1)。
GM(1,1)模型中系數(shù)a稱為發(fā)展系數(shù),它反映系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢,當a為負值時,其絕對值越小,系統(tǒng)發(fā)展就越慢;反之,則越快。參數(shù)b稱為灰作用量,它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系。
1.2 重構(gòu)背景值的GM(1,1)模型由公式(2)可知,GM(1,1)模型預測和擬合精度取決于發(fā)展系數(shù)a、灰色作用量b,而a、b的求解依賴于背景值的構(gòu)造形式。因此,背景值z(1)(k+1)的構(gòu)造公式成為直接影響GM(1,1)模型精度和適應性的關(guān)鍵因素[3]。
由建模機理可知GM(1,1)模型擬合曲線是指數(shù)曲線,設(shè)圖1中曲線x(1)(t)為擬合指數(shù)曲線,傳統(tǒng)方法取背景值z(1)(k)=x(1)(k)+x(1)(k+1)12,即圖中的梯形abcd面積,但在區(qū)間[k,k+1]上指數(shù)曲線x(1)(t)對應的面積總是小于梯形abcd的面積,會出現(xiàn)誤差Δs。序列數(shù)據(jù)變化越大,指數(shù)曲線曲率越大,模型誤差Δs越大。GM(1,1)模型無論是數(shù)據(jù)變化平緩的低增長指數(shù)序列,還是數(shù)據(jù)變化急劇的高增長指數(shù)序列,都采用傳統(tǒng)公式來構(gòu)造參數(shù)a、b的背景值是不盡合理的,對數(shù)據(jù)變化急劇的序列預測精度往往較差。