宋顯華　王莘　牛夏牧

摘 要：量子圖像處理問題將是量子計(jì)算機(jī)時(shí)代媒體信息處理的一個(gè)主要問題。量子圖像處理包括一般的處理問題和安全方面的處理問題。本文介紹和分析了量子圖像表示方式和處理等問題的最新研究成果。首先給出了目前量子圖像處理的一般架構(gòu)，然后介紹了目前流行的量子圖像表示方法、并根據(jù)不同的量子圖像處理目的對(duì)現(xiàn)有的處理算法進(jìn)行了分類和分析，最后總結(jié)并展望了量子圖像處理領(lǐng)域的未來發(fā)展方向。

關(guān)鍵字：量子計(jì)算；量子圖像；量子圖像處理

中圖分類號(hào)：TP309；TN911.73 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：Problems in quantum image processing are main ones of multimedia information processing in quantum computer era. Quantum image processing includes general processing and security processing. This paper introduces and analyzes the newest researching fruits in quantum image representation and processing. Firstly， a general framework of quantum image processing is designed. Then， the existing quantum image representations are introduced and quantum image processing algorithms are categorized and analyzed based on different processing aims. Finally， the future development direction in quantum image processing is concluded and discussed.

Keywords：Quantum Computation； Quantum Image； Quantum Image Processing

0引 言

量子計(jì)算是應(yīng)用量子力學(xué)原理進(jìn)行有效計(jì)算的一種新穎的技術(shù)處理模式[1]。利用量子計(jì)算原理進(jìn)行圖像處理的方式主要有兩種：一種是利用量子力學(xué)性質(zhì)對(duì)圖像的經(jīng)典處理方法進(jìn)行優(yōu)化。例如許多量子計(jì)算的理論和方法即已引入到經(jīng)典圖像的處理中[2]。但這種處理方式實(shí)施的對(duì)象卻是經(jīng)典圖像，因此從本質(zhì)上仍屬于經(jīng)典圖像的處理問題。另一種方式是完全利用量子計(jì)算機(jī)的運(yùn)算方式對(duì)圖像進(jìn)行編碼、計(jì)算的演化以及結(jié)果的輸出，在此將這種方式稱為量子圖像的表示和處理[3]。

在量子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行量子圖像的處理面臨的問題主要有：

（1）如何在量子計(jì)算機(jī)上表示圖像信息。

（2）量子計(jì)算機(jī)上圖像的一般處理和安全處理問題，例如圖像的特征提取和匹配、圖像加密和水印等圖像處理技術(shù)，如何在量子計(jì)算機(jī)上執(zhí)行。

（3）怎樣評(píng)價(jià)量子圖像處理算法的質(zhì)量。

本文闡述了量子圖像和量子圖像處理的相關(guān)概念和應(yīng)用環(huán)境，給出了一般的量子圖像處理框架結(jié)構(gòu)，并介紹和分析了該領(lǐng)域的一些最新研究成果，最后給出了量子圖像處理問題未來的研究和發(fā)展方向。

1量子圖像問題綜述

1.1 量子圖像

量子圖像是量子計(jì)算機(jī)上圖像的存儲(chǔ)和表示方式，應(yīng)該遵循量子計(jì)算的基本理論和方法。而量子計(jì)算理論的發(fā)生則源起于量子力學(xué)原理。圖1給出了量子力學(xué)、量子圖像和經(jīng)典圖像的關(guān)系。在量子計(jì)算機(jī)中，可以用量子比特的疊加來表示圖像，而所需的量子比特?cái)?shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于經(jīng)典圖像所需要的比特?cái)?shù)量。由于當(dāng)前身處的世界是一個(gè)經(jīng)典的世界，因此，在顯示圖像和評(píng)價(jià)圖像時(shí)，就必然需要經(jīng)典計(jì)算機(jī)的輔助和支持。

進(jìn)一步，制備定理表明，該量子圖像表示可以用多項(xiàng)式數(shù)量的簡單量子操作將量子計(jì)算機(jī)從量子初態(tài)制備為 FRQI 態(tài)。FRQI 量子圖像表示大大減少了表示圖像所需的量子比特?cái)?shù)，對(duì)于一幅經(jīng)典的大小為的圖像，F(xiàn)RQI 模型所需要的量子比特?cái)?shù)已然減少為 2n + 1。此外，F(xiàn)RQI 方法首次較為完整地在理論層面上研究了從量子初態(tài)制備獲得一幅量子灰度圖像的方法及其計(jì)算復(fù)雜度。在 FRQI 算法提出以后，又陸續(xù)涌現(xiàn)了一批FRQI 的演化算法。主要有：針對(duì)彩色圖像的多通道表示方法（Multi-channel representation for quantum image，MCRQI）[10-13]。特別地，Zhang 等人提出了一種增強(qiáng)的量子圖像表示方法 NEQR （novel enhanced quantum representation）[14]。NEQR 表示所需要的量子比特?cái)?shù)增加為 2n+q，其中的q 則為編碼灰度值所需的二進(jìn)制比特?cái)?shù)。而且也由于灰度編碼類似于經(jīng)典的位平面編碼方式，就更易于將一些經(jīng)典圖像處理算法而在量子圖像上實(shí)現(xiàn)其功能運(yùn)行。仍需之處的是，Zhang 和 Wang 等又分別建立了極坐標(biāo)下圖像的量子表示[15-16]。

（4） 其他方法。相關(guān)工作中，Latorre研發(fā)了將圖像像素值投影到 Hilbert 空間中的實(shí)向量（Real Ket）的量子圖像表示等方法，并基于圖像Real Ket表示進(jìn)一步研究了量子圖像的壓縮算法[17]。而且，又有Srivastava提出了基于二維量子態(tài)（通過外積運(yùn)算的線性疊加得到）表來示像素，而以歸一化幅值來評(píng)定灰度的表示方法[18]。此外，Caraiman還隨之研究了基于三元量子計(jì)算的圖像表示和處理[19]。但總地來說，這幾種方法都沒沒能更佳完備地構(gòu)建一套制備圖像的理論方法，因此由其衍生的圖像處理方法也較為有限。

2量子圖像處理問題綜述

2.1量子圖像一般處理

Le 等在給出 FRQI 表示的同時(shí)，還探索性地研究了量子圖像幾何變換的一般框架，將量子圖像幾何變換操作劃定為三個(gè)類別，分別是：只變換顏色，只變換特殊位置的顏色和顏色位置均變換。而且又通過實(shí)驗(yàn)，運(yùn)行中即基于量子傅里葉變換（QFT）實(shí)現(xiàn)了簡單的量子圖像線檢測(cè)[9]。Le 等還在這一基礎(chǔ)上深入研究了量子圖像的快速幾何變換方法（GTQI）[20]。方法中，利用基本的量子門即非門（NOT）、控制非門（CNOT）和Toffoli門實(shí)現(xiàn)了量子圖像諸如兩點(diǎn)交換（swapping）、翻轉(zhuǎn)（flip）、坐標(biāo)變換（co-ordinate）和直角旋轉(zhuǎn)（orthogonal rotation）及其變體的快速幾何變換方法，并相應(yīng)地于理論上給出了這種幾何操作的運(yùn)算復(fù)雜度[21]。2010 年，Le 等再次基于 FRQI 表示和布爾表示最小化，研究開發(fā)了量子圖像壓縮算法[9]。2011年，Le 等進(jìn)一步給出了設(shè)計(jì)量子圖像幾何變換的三個(gè)策略，分別是：策略一是以量子圖像中子塊的變換為目標(biāo)，通過增加更多的控制來辨識(shí)子塊信息；策略二就是將經(jīng)典操作的可分離性擴(kuò)展到量子變換中，同時(shí)也定義了量子圖像的可分離幾何變換和完全可分離的幾何變換；策略三關(guān)注的則是變換的平穩(wěn)性，與此同時(shí)又指出了利用多層控制的循環(huán)移動(dòng)變換即是獲得平穩(wěn)性的主要技術(shù)[22]。2011年，Le 等仍是基于 FRQI，重點(diǎn)提出了單量子比特操作發(fā)生在量子圖像顏色內(nèi)容上的有效變換過程[23]。而經(jīng)此研究候和經(jīng)典計(jì)算機(jī)圖像顏色信息改變相比，量子圖像顏色改變的處理速度得到了顯著提高。其后的關(guān)鍵研究成果還有：2012年，Yan 等即利用 Z-strip 和概率分布的方法研究完善了圖像檢索方法[24]。2013年，Caraiman等則給出了一種基于直方圖的量子圖像分割算法[25]。Zhang 等又利用 NEQR 量子圖像表示方法推演了量子圖像直方圖的計(jì)算方法[26]。繼而，Yuan 等基于量子測(cè)量完整研究了量子圖像的邊緣檢測(cè)和中值濾波算法[27]。另有，基于NEQR表示，Zhang 等也隨即 給出了量子圖像特征提取的框架[28]。

2.2量子圖像安全處理

近幾年來，針對(duì)量子圖像安全方面的研究尚屬起步時(shí)期，因此可見性理論方法仍然較少。而與量子圖像的內(nèi)容認(rèn)證、版權(quán)保護(hù)和安全保密研究相關(guān)的成果主要有：

（1） 量子圖像水印。2011年，Iliyasu等基于 FRQI 表示和受限幾何變換，提出了一種安全、無密鑰的量子圖像盲水印嵌入和識(shí)別方案（Watermarking and authentication of quantum images，WaQI）[29]。但該方法的量子線路卻是利用水印圖像信息構(gòu)建設(shè)置的，因此，只有嵌入者才能根據(jù)水印信息進(jìn)行相應(yīng)提取，這就使得該水印方法的版權(quán)保護(hù)應(yīng)用范圍趨于偏狹。2012 年，Zhang 等主要基于FRQI 量子圖像表示方法，并利用量子傅里葉變換（QFT）設(shè)計(jì)了量子水印策略[30]。這是首個(gè)基于頻域的圖像水印方法，然而，該方法在嵌入水印的過程中，卻由于嵌入強(qiáng)度參數(shù)為定值而導(dǎo)致最終的圖像不再保有歸一化。在此基礎(chǔ)上，Zhang 等設(shè)計(jì)的另一種量子圖像水印方法則是將水印嵌入到載體圖像像素灰度值的 Taylor 級(jí)數(shù)中[31]。該方法是一種有效的水印方法，但是載體圖像的視覺質(zhì)量仍未臻優(yōu)秀。此外，還有Song 等基于量子變換設(shè)計(jì)提出了量子圖像水印算法[32，33]，視覺質(zhì)量較好，但卻仍然只是非盲水印。

（2） 量子圖像加密。2012年，Zhou 等提出了基于量子圖像幾何變換的加解密算法[34]。空域加密無需量子變換，計(jì)算較為簡單，但是由于單純應(yīng)用幾何變換的方法，就將導(dǎo)致密文圖像的像素相關(guān)性不會(huì)減小反而出現(xiàn)了增加，如此的加密效果將亟需完善。2013 年，Yang 等則提出了基于量子傅里葉變換和雙相位編碼的量子圖像加解密算法[35]。 2014年， Song 等又基于受控量子幾何和灰度變換實(shí)現(xiàn)了量子圖像的加密[36]，并因無需量子變換，解密效果達(dá)到了理想。而且，也于2014 年，Yang 等還基于量子傅里葉變換和雙相位編碼進(jìn)一步提出了量子彩色圖像的加密算法[37]?；陬l域的加密方法加密效果較好，但是卻需經(jīng)過量子變換，因此復(fù)雜度相對(duì)較大。

（3） 量子圖像秘密分享。2014年，Song等根據(jù)測(cè)量策略和量子帶針對(duì)灰度量子圖像提出了秘密分享的實(shí)現(xiàn)方案。該方法表現(xiàn)了諸如影子圖像具有視覺意義、無像素?cái)U(kuò)展和分享過程中沒有任何像素灰度值損失等眾多優(yōu)點(diǎn)。

3結(jié)束語

本文對(duì)現(xiàn)有的量子圖像處理相關(guān)的問題和方法進(jìn)行概述。未來量子圖像處理領(lǐng)域?qū)?huì)重點(diǎn)發(fā)展如下方法和技術(shù)：圖像一般處理如特征提取和匹配技術(shù)的量子算法實(shí)現(xiàn)，量子圖像的隱寫技術(shù)、秘密分享技術(shù)、簽名技術(shù)和哈希技術(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]EKERT A， JOZSA R. Quantum computation and Shors factoring algorithm[J]. Reviews of Modern Physics， 1996， 68（3）：733.

[2] CARAIMAN S， MANTA V. Image processing using quantum computing[C]// 2012 16th International Conference on System Theory， Control and Computing （ICSTCC）， 2012：1–6.

[3] ILIYASU A M. Towards realising secure and efficient image and video processing applications on quantum computers[J]. Entropy， 2013， 15（8）：2874–2974.

[4]VENEGAS-ANDRACA S E， BOSE S. Storing， processing， and retrieving an image using quantum mechanics[C]//Quantum Information and Computation，Proceedings of SPIE.： International Society for Optics and Photonics， 2003，5105：137–147.

[5] LI H S， QINGXIN Z， LAN S， et al. Image storage， retrieval， compression and segmentation in a quantum system[J]. Quantum information processing， 2013， 12（6）：2269–2290.

[6] YUAN S， MAO X， XUE Y， et al. SQR： a simple quantum representation of infrared images[J]. Quantum Information Processing， 2014：1–27.

[7] VENEGAS-ANDRACA S， BALL J. Processing images in entangled quantum systems[J]. Quantum Information Processing， 2010， 9（1）：1–11.

[8] 周日貴. 量子信息處理技術(shù)及算法設(shè)計(jì)[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2013：102-126.

[9] LE P Q， DONG F， HIROTA K. A flexible representation of quantum images for polynomial preparation， image compression， and processing operations[J]. Quantum Information Processing， 2011， 10（1）：63–84.

[10] SUN B， LE P Q， ILIYASU A M， et al. A multi-channel representation for images on quantum computers using the RGBα color space[C]//Intelligent Signal Processing （WISP）， 2011 IEEE 7th International Symposium on. Floriana， Malta： IEEE，2011：1–6.

[11] SUN B， ILIYASUA M， YAN F， et al. An RGB multi-channel representation for images on Quantum computers[J]. JACIII， 2013， 17（3）：404–417.

[12] LI H S， ZHU Q， ZHOU R G， et al. Multi-dimensional color image storage and retrieval for a normal arbitrary quantum superposition state[J]. Quantum Information Processing， 2013：1–21.

[13] SONG Xianhua， WANG Shen， NIU Xiamu. Multi-channel quantum image representation based on phase transform and elementary transformations[J]. Journal of Information Hiding and Multimedia Signal Processing， 2014， 5（4）： 574-585.

[14] ZHANG Y， LU K， GAO Y， et al. NEQR： a novel enhanced quantum representation of digital images[J]. Quantum information processing， 2013， 12（8）：2833–2860.

[15] Zhang Y， Lu K， Gao Y， et al. A novel quantum representation for log-polar images[J]. Quantum information processing， 2013， 12（9）：3103–3126.

[16] WANG M， LU K， ZHANG Y， et al. FLPI： representation of quantum images for log-polar coordinate[C]//Fifth International Conference on Digital Image Processing.Beijing： International Society for Optics and Photonics， 2013：88780H–88780H.

[17] LATORRE J I. Image compression and entanglement[J].arXiv preprint quant-ph/0510031， 2005.

[18] SRIVASTAVA M， PANIGRAHI P K.Quantum image representation through two-dimensional quantum states and normalized amplitude[J]. arXiv preprint arX-iv：1305.2251， 2013.

[19] Caraiman S， Manta V. Image Representation and Processing Using Ternary Quantum Computing[M].Adaptive and Natural Computing Algorithms.[S.l.]： Springer，2013：366–375.

[20] LE P Q， ILIYASU A M， DONG F， et al. Fast Geometric transformations on quantum images[J]. International Journal of Applied Mathematics， 2010， 40（3）.

[21] MASLOV D， DUECK G W， MILLER D M， et al. Quantum circuit simplification and level compaction[J]. Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems， IEEE Transactions on， 2008， 27（3）：436–444.

[22] LE P Q， ILIYASU A M， DONG F， et al. Strategies for designing geometric transformations on quantum images[J]. Theoretical Computer Science， 2011， 412（15）：1406–1418.

[23] LE P Q， ILIYASU A M， DONG F， et al. Efficient color transformations on quantum images.[J]. JACIII， 2011， 15（6）：698–706.

[24] YAN F， ILIYASU A M， FATICHAH C， et al. Quantum image searching based on probability distributions[J]. Journal of Quantum Information Science， 2012：55–60.

[25] CARAIMAN S， MANTA V. Histogram-based segmentation of quantum images[J]. The-oretical computer science， 2013：1–15.

[26] ZHANG Y， LU K， GAO Y h， et al.A quantum algorithm of constructing image histogram[C]//World Academy of Science， Engineering and Technology， 2013，3：714–717.

[27] YUAN S， MAO X， CHEN L， et al. Quantum digital image processing algorithms based on quantum measurement[J]. Optik-International Journal for Light and Electron Optics， 2013， 124（23）：6386–6390.

[28]ZHANG Yi， LU Kai， XU Kai， et. al.， Local featurepoint extraction for quantum images[J].Quantum Information Processing， 2014： 1-16.

[29] ILIYASU A M， LE P Q， DONG F， et al. Watermarking and authentication of quantumimages based on restricted geometric transformations[J]. Information Sciences，2012， 186（1）：126–149.

[30] ZHANG W W， GAO F， LIU B， et al. A watermark strategy for quantum imagesbased on quantum fouriertransform[J]. Quantum information processing， 2013，12（2）：793–803.

[31] ZHANG W W， GAO F， LIU B， et al. A quantum watermark protocol[J]. International Journal of Theoretical Physics， 2013， 52（2）：504–513.

[32]SONG Xianhua， WANG Shen， LIU Shuai， et al. A dynamic watermarking scheme for quantum images using quantum wavelet transform[J].Quantum Information Processing， 2013， 12（12）： 3689-3704.

[33]SONG Xianhua， WANG Shen， EL-LATIF A A A， et al. Dynamic watermarking scheme for quantum images based on Hadamardtransform[J]. Multimedia

Systems， 2014， 20（4）： 379-388.

[34] ZHOU R G， WU Q， ZHANG M Q， et al. Quantum image encryption and decryptionalgorithms based on quantum image geometric transformations[J]. International Journal of Theoretical Physics， 2013， 52（6）：1802–1817.

[35] YANG Y G， XIA J， JIA X， et al. Novel image encryption/decryption based on quantumFourier transform and double phase encoding[J]. Quantum information processing，2013， 12（11）：3477–3493.

[36]SONG Xianhua， WANG Shen， EL-LATIF. A A A， et al. Quantum image encryption based on restricted geometric and color transformations[J]. QuantumInformation Processing， 2014， 13（8）： 1765-1787.

[37] YANG Y G， JIA X， SUN S J， et al. Quantum cryptographic algorithm for color imagesusing quantum Fourier transform and double random-phase encoding[J]. InformationSciences， 2014.

[38]SONG Xianhua， WANG Shen， SANG Jianzhi， et.al.， Flexible quantum image secret sharing based on measurement and strip[C]// The tenth IEEEInternational Conference on Intelligent Information Hiding and Multimedia SignalProcessing （IIHMSP）， 2014.