●焦麗

《財務(wù)管理》教學(xué)中使用插值法求解的思考

●焦麗

插值法是《財務(wù)管理》課程教學(xué)中對于求解不同時間點上資金之間的換算的一種重要方法，它利用了數(shù)學(xué)上相似三角形對應(yīng)邊長成比例的原理，巧妙地將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實際問題。但目前一些教材不分情況地對所有時間價值的問題都采用“插值法”解決，是一種教學(xué)的浪費。文章先分析插值法的數(shù)學(xué)原理與固有誤差，再對《財務(wù)管理》中是否適合使用插值法解決的問題進(jìn)行分類，最后列舉部分問題不使用插值法而使用公式算術(shù)法解決的優(yōu)勢。

插值法 財務(wù)管理 適用條件

在《財務(wù)管理》課程中，圍繞時間價值原理對不同時間點上資金之間的換算一直是課程教學(xué)中的重點，也是《財務(wù)管理》的研究基礎(chǔ)。在教學(xué)中，借鑒了數(shù)學(xué)上插值的思想，利用查表得到的幾組變量（通常是兩組），結(jié)合其他給定條件，來求解未知變量，被稱為“插值法”。插值法利用了數(shù)學(xué)上相似三角形對應(yīng)邊長成比例的原理，巧妙地將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實際問題。但目前一些教材和教學(xué)中，不分情況地對所有時間價值的問題統(tǒng)統(tǒng)采用“插值法”解決，是一種教學(xué)的浪費，使得一些本來不必大動干戈的題目小題大做。因而在何種情況下使用“插值法”是由題目的條件和求解變量的特點來決定的，在不必使用“插值法”的情況下，使用算術(shù)法更有優(yōu)勢。

一、插值法的幾何意義及固有誤差

在數(shù)學(xué)界，插入法最早是在1976年由兩位運籌學(xué)家提出，最初是為求解車輛路線問題所提出的解決方法?！敦攧?wù)管理》應(yīng)用中使用的“插值法”是指簡單的線性插值法，其幾何意義是相似三角形對應(yīng)邊長成比例的原理。下面舉一例來說明簡單線性插值法的幾何意義。

圖1

假如，這條曲線不是直線，這個求得的值就不是一個準(zhǔn)確值，這是使用插值法的一個問題。往往在《財務(wù)管理》中研究的圖像都不是線性的，故使用插值法求得的結(jié)果與真實結(jié)果之間必然有一個誤差存在。假如圖1中的曲線畫的稍微彎曲一些，便可以得到圖2。在圖2中，我們可以清楚地看到使用插值法求得的結(jié)果與真實結(jié)果之間的誤差△x0，所以在使用插值法解題之前，往往會有一個關(guān)于可接受的誤差范圍的假設(shè)，在這一假設(shè)前提下，可以將這個誤差忽略不計。但是，對于部分貨幣的時間價值問題，從精確和經(jīng)濟(jì)的角度來思考，完全可以不采用插值法，得到一個比插值法更精確的結(jié)果，而且也不比插值法復(fù)雜。要做到這一點，就要先對所求解的問題做一個分類。

圖2

二、按未知量在時間價值系數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)對所求問題的分類

分類之前，為方便下文分析，先明確兩個概念：公式算術(shù)式和公式算術(shù)法。所謂公式算術(shù)式，是指在《財務(wù)管理》中一般常見的貨幣時間價值問題，按照貨幣時間價值原理列出的，含有求解的未知變量的方程式。比如，已知現(xiàn)值P，終值F，折現(xiàn)率i，求期數(shù)n，可以得到的公式算術(shù)式F=P（1+i）n。公式算術(shù)法，是指通過公式算數(shù)式來求解未知量的方法。仔細(xì)觀察《財務(wù)管理》中最常見的時間價值系數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)。對于像求解復(fù)利終值系數(shù)、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題，所得到的公式算術(shù)式中折現(xiàn)率i或者期數(shù)n只出現(xiàn)一次或者容易變形公式算術(shù)式得到一個不含未知量的式子，通過一般的數(shù)學(xué)計算器可以得到一個精確結(jié)果。可對于像求解年金終值系數(shù)、年金現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題，所得到的公式算術(shù)式中折現(xiàn)率i或者期數(shù)n不只出現(xiàn)一次或者不容易變形公式算術(shù)式得到一個不含未知量的式子，通過一般的數(shù)學(xué)計算器往往也不容易得到一個精確結(jié)果。所以，按照上述的分類方法，可將求解復(fù)利終值系數(shù)、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題分為一類。將年金終值系數(shù)、年金現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題分為第二類。在《財務(wù)管理》教學(xué)中，對于第一類問題應(yīng)該使用簡單明晰的公式算術(shù)法來解決，第二類用公式算術(shù)法解決起來較為麻煩的問題，采用“插值法”更合適。

三、正確分類使用“差值法”的優(yōu)點

通過長期的實踐教學(xué)與關(guān)注大量的《財務(wù)管理》教材后，發(fā)現(xiàn)在很多書籍中凡遇到諸如前述四類基本貨幣時間價值理論相關(guān)的計算時，都不分情況地對所有的問題統(tǒng)統(tǒng)采用“插值法”解決。這種作法即是一種浪費，使得一些題目小題大做，又不利于學(xué)生正確理解時間價值的原意。因此，在實踐教學(xué)中，應(yīng)該按照以上所述的分類方法對求解變量僅在公式算術(shù)式中出現(xiàn)一次的題目不使用插入法而使用簡單的公式算術(shù)法，對求解變量在公式算術(shù)式中多次出現(xiàn)的題目使用插值法。這樣做的好處有以下三點。

1.使學(xué)生更好地理解插值法在財務(wù)管理學(xué)習(xí)中的意義。在財務(wù)管理的學(xué)習(xí)中引入插入法，只是一個工具的作用，目的是為了解決財務(wù)管理中貨幣的時間價值問題。部分教材在不分具體條件的情況下，對所有的貨幣時間價值問題都采用插值法解決，會讓學(xué)生陷入一種誤區(qū)之中，學(xué)生會以為學(xué)習(xí)的重心是使用插入法解題。其實不然，教師應(yīng)該將財務(wù)管理中貨幣時間價值的原理推到教學(xué)的中心，將理解貨幣時間價值作為教學(xué)的重點，而不單單是告訴學(xué)生們只要用插入法就可以解決所有問題。對于學(xué)生將來的學(xué)習(xí)工作都會造成不良后果，可能會讓很多人忽略掉問題的本質(zhì)——貨幣的時間價值，或者會讓他們?nèi)鄙賹τ诓逯捣ㄖ獾钠渌椒ǖ乃伎肌Ｒ虼?，在教學(xué)中，對問題適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，將會有利于學(xué)生更好地理解插值法在財務(wù)管理學(xué)習(xí)中的意義。

2.明晰考點，避免非必要的查表得數(shù)。這一優(yōu)勢緊承上一個優(yōu)勢。在考試中，如果過分強調(diào)使用插值法解題，考試的重心就成了考插值法，而偏離了原來的中心——考察對貨幣時間價值的理解。在考試中，對于適合使用公式算術(shù)法去解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生使用公式算術(shù)法來解答。這樣避免了不必要的查表得數(shù)，因為這個問題本身是不需要使用插值法這樣的較為“高端”的方法。而且這樣做還能避免學(xué)生產(chǎn)生一種誤區(qū)，查表得數(shù)是需要的時候自己查得的，而不是在任何時候都會給定的。這樣將會更有利于學(xué)生理解插值法在財務(wù)管理學(xué)習(xí)中的意義。由此，前兩個優(yōu)勢是相互聯(lián)系的。

3.結(jié)果更精確。在求解復(fù)利終值系數(shù)、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題中使用公式算術(shù)法，相比較使用插值法最直接的優(yōu)勢是結(jié)果更精確?，F(xiàn)舉例說明。

假設(shè)，已知現(xiàn)值P=84，終值F=100，期數(shù)n=4，求折現(xiàn)率i（保留三位有效數(shù)字）。另外，在n=4時，復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)PVIF=0.855，i=4%，復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)PVIF=0.823，i=5%。

四、結(jié)論

插值法是《財務(wù)管理》課程教學(xué)中對于求解不同時間點上資金之間的換算的一種重要方法。在教學(xué)中使用時應(yīng)該對所求問題分類后再決定是否使用。對于像求解復(fù)利終值系數(shù)、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題，所得到的公式算術(shù)式中折現(xiàn)率i或者期數(shù)n只出現(xiàn)一次或者容易變形公式算術(shù)式得到一個不含未知量的式子，使用公式算術(shù)法解決更加精確合理；對于像求解年金終值系數(shù)、年金現(xiàn)值系數(shù)中的折現(xiàn)率i或者期數(shù)n的這類問題，所得到的公式算術(shù)式中折現(xiàn)率i或者期數(shù)n不只出現(xiàn)一次或者不容易變形公式算術(shù)式得到一個不含未知量的式子，則適宜使用插值法。

[1] 呂紅.簡易插值法在財務(wù)管理實務(wù)中的應(yīng)用[J].大眾商務(wù)，2009（1）

[2] 劉高常，謝林海.利用斜率原理解析財務(wù)管理中的插值法[J].商場現(xiàn)代化，2009（2）

[3] 田笑豐.財務(wù)管理教學(xué)中插值法的快速理解和掌握[J].會計之友，2008（4）

（作者單位：太原理工大學(xué)陽泉學(xué)院管理工程系 山西陽泉 045000）

（責(zé)編：芝榮）

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