邱建昌，袁昌茂

（1.惠州建昌測繪有限公司，廣東 惠州 516100； 2. 廣西地理信息測繪院，廣西 柳州 545000）

基于小波預處理的基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的最小二乘估計

邱建昌1，袁昌茂2

（1.惠州建昌測繪有限公司，廣東 惠州 516100； 2. 廣西地理信息測繪院，廣西 柳州 545000）

利用小波變換特有的低通濾波屬性和有效抑制測量噪聲的能力,將傳統(tǒng)的最小二乘估計與之相結(jié)合,提出了一種基于小波預處理的最小二乘估計新方法,并針對具體基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù),驗證了該方法的有效性。

小波變換; 最小二乘估計; 噪聲; 擬合

研究基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的估計理論中,常采用最小二乘法。傳統(tǒng)的最小二乘法在估計精度要求比較高的情況往往不能滿足要求。 由于監(jiān)測數(shù)據(jù)不可避免地存在噪聲，嚴重影響變形監(jiān)測數(shù)據(jù)模型的質(zhì)量。近幾年出現(xiàn)的小波分析是一種相當好的數(shù)據(jù)預處理方法，它通過對采集數(shù)據(jù)的多尺度分解，最大限度地提取信號中各種有用信息，在預處理的過程中通過小波變換的低通濾波效應(yīng)分析并找出各部分中的“異常”部位并去除可能的噪聲部分，實現(xiàn)監(jiān)測數(shù)據(jù)發(fā)展規(guī)律的本質(zhì)還原。

1 小波分析基本理論[1,2]

小波變換就是在平方可積空間（f（t）∈L2（R））中，有Ψ（t），當其Fourier變換Ψ^（ω）滿足允許條件：

有小波函數(shù)為：

式中，a為伸縮(尺度)因子；b為平移(位移)因子；a,b?R。顯然，當a>0時，伸縮因子才有直觀的物理意義。

函數(shù)簇是基本小波函數(shù)通過伸縮和平移得到的。小波變換的基底為：

由于選擇不同的參數(shù)a、b，就能構(gòu)造不同尺度的小波基，在實際應(yīng)用中，靈活選擇函數(shù)因子，就能對真實信號形成良好的逼近，這不僅能對信號進行有效分解和提取，還能進行信號的分離和消噪。

多分辨率分析[3]：多分辨分析在函數(shù)空間L2（R）(一維平面平方可積)內(nèi)，將函數(shù)描述為一系列近似函數(shù)，每個近似函數(shù)的極限都能恒等于該分量。多分辨分析實際上就是多尺度函數(shù)逼近，從某個子空間L2（R）出發(fā)，建立起可變化的基底，通過變換，再把基底擴充到能夠覆蓋整個L2（R），通過這樣實現(xiàn)有效地逼近函數(shù)，實質(zhì)上就是把整個平方可積的實變函數(shù)空間通過剖分轉(zhuǎn)化成一系列的函數(shù)子空間。即是把L2（R）按一定的分辨率先分解成一串嵌套的閉子空間序列{Vj}j∈Z，然后通過正交補的塔式分解再將L2（R）分解為一串正交小波子空間序列{Wj}j∈Z，各函數(shù)空間關(guān)系如下：

從上面的式子可以看出，小波變換能形成一系列不同尺度的序列，它的靈活變化可以提取包括從低頻到高頻信號的所有頻譜數(shù)據(jù)，并且不重疊，所以有相當好的連通適應(yīng)性。

2 最小二乘估計的原理

估計從數(shù)據(jù)和函數(shù)的整體考慮。估計函數(shù)p（x）同監(jiān)測數(shù)據(jù)點（xi，yi）（i=0,1,…,m）誤差ri=p（xi）-yi（i=0,1,…,m）的大小，通常有以下3種方法[4]：第1種是取誤差絕對值的最大值為估計準則，即誤差向量r=（r0,r1,…,rm）T的∞-范數(shù)；第2種是取誤差絕對值的和為估計準則，即誤差向量r的1-范數(shù)；第3種是取誤差平方和的算術(shù)平方根為估計準則，即誤差向量r的2-范數(shù)。前面2種方法雖然簡單、容易構(gòu)造，但不便于微分運算 ，第3種方法相當于考慮 2-范數(shù)的平方，因此在最小二乘估計中常用來度量誤差估計模型ri（i=0，

1，…，m）的整體大小。

3 小波分析結(jié)合最小二乘估計的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析模型

變形監(jiān)測最常用的數(shù)據(jù)分析模型[5]為：

式中，yi為實際觀測數(shù)據(jù)；xi為實際變形的信號；ni為噪聲信號。實際上，觀測數(shù)據(jù)的小波分析主用是利用小波分解的良好的逼近特性實現(xiàn)對觀測數(shù)據(jù)的噪聲消除，找出實際觀測值y(i)中的實際變形信號xi。然后再利用最小二乘估計求出xi最佳逼近模型。具體做法是：對觀測數(shù)據(jù)（xi'，yi'）（i=0,1,…，m），通過采用小波基底函數(shù)伸縮成不同的小波基對觀測數(shù)據(jù)的逼近，然后形成{Vj}j∈Z和{Wj}j∈Z兩串嵌套小波子空間序列，對蘊藏噪聲的高頻序列{Wj}j∈Z采用靈活的方法實現(xiàn)對噪聲的消除，把低頻部分{Vj}j∈Z和已經(jīng)閾值處理過后的高頻部分進行小波重構(gòu)，得到去噪后的變形信號xi'，最小二乘估計就是對xi'的估計。在取定的函數(shù)空間Φ中，求p（x）∈Φ，使誤差ri=p（xi）-xi'（i=0,1,…,m）的平方和最小，即

從幾何意義上講，就是尋求與去噪后的數(shù)據(jù)點（xi'，yi'） （i=0,1,…，m）的距離平方和為最小的曲線y=p（x）（如圖1）。函數(shù)p（x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)p（x）的方法稱為觀測數(shù)據(jù)擬合的最小二乘估計。

圖1 最小二乘擬合

曲線擬合函數(shù)的構(gòu)造。設(shè)M=span{x1，x2，…，xn}為內(nèi)積空間U的n維線性子空間，x∈U。又設(shè)為x在M中的最佳逼近，則根據(jù)投影性質(zhì)，應(yīng)有：

可由下面方程式求出：

由于x1, x2,…, xn線性無關(guān)，所以，

故方程組有唯一解，

從而可求出x在M中的最佳逼近元，即

基于小波變換預處理的最小二乘估計的步驟：

1）變形觀測數(shù)據(jù)的小波分解。信號的小波分解，先確定分解所用的小波函數(shù)（根據(jù)數(shù)據(jù)的平滑需要和噪聲模型的適應(yīng)性），確定分解的層數(shù)，然后按要求對變形觀測數(shù)據(jù)進行分解。

2）閾值處理。選擇合適的閾值，對第一層到第m層的細節(jié)信號進行閾值處理以去噪。在閾值處理中，最主要的是閾值的選取，它直接關(guān)系到信號和噪聲的降噪質(zhì)量，閾值選取不恰當會把有用的信號消除或者達不到去噪的目的。因此，要根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的噪聲類型選擇閾值范圍。同時，選擇理想的小波函數(shù)，以達到去噪的最優(yōu)效果[6]。

3）小波重構(gòu)。把低頻部分和已經(jīng)閾值處理過的高頻部分進行重構(gòu)，就得到去噪后的真正變形信號。

4）利用去噪后的變形觀測數(shù)據(jù)進行最小二乘估計的模型構(gòu)造。

4 實例分析

某地鐵工程中的一個基坑，共觀測了19期數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)精度足夠，各基坑點布設(shè)如圖2。本文小波預處理采用具有緊支集正交小波基的Daubechies小波，2層分解與重構(gòu)，采用最大最小閾值去噪模式。

圖 2 基坑點布設(shè)圖

其原始觀測的累計變形如圖3。

圖 3 累計變形圖

經(jīng)過小波去噪后，各基坑變形點累積變形圖如圖4。

圖4 小波去噪后累積變形圖

不同的變形點，其變形階段不同，發(fā)展趨勢線也不同，在最小二乘估計時也應(yīng)采取不同的函數(shù)進行逼近擬合[7]。下面以L(3)點、M(2)點作為典型進行分析。

L(3)點的變形曲線和擬合曲線見圖5。最后求得最小二乘擬合函數(shù)為：

為判斷擬合的準確度，我們采取比較通用的數(shù)據(jù)估計均方差的評判標準：去噪后數(shù)據(jù)與最小二乘擬合數(shù)據(jù)的均方差為0．350 195，原始數(shù)據(jù)與最小二乘擬合數(shù)據(jù)的均方差為1．053 584，各點擬合均方差平方見圖6。從數(shù)據(jù)標準差的角度看，去噪后最小二乘估計不僅提高了估計的精度，還取得比采用原始觀測數(shù)據(jù)擬合高很多的數(shù)據(jù)均方差。

圖5 變形曲線和擬合曲線圖

圖6 擬合均方差圖

M(2)點的變形曲線和擬合曲線如圖7。

最后擬合函數(shù)為：

y=-0.003 8x3+0.210 2x2-3.657 8x+2.923 4

小波去噪后數(shù)據(jù)與最小二乘擬合數(shù)據(jù)的均方差為0．449 202，原始數(shù)據(jù)與最小二乘擬合數(shù)據(jù)的均方差為0．916 409，各點擬合均方差平方如圖8。

圖7 變形曲線和擬合曲線圖

圖8 擬合均方差圖

[1] 文鴻雁．基于小波理論的變形分析模型研究[D]．武漢：武漢大學,2004

[2] 張正祿，黃全義，文鴻雁，等．工程的變形監(jiān)測分析與預報[M]．北京：測繪出版社,2007

[3] 林東，袁昌茂,文鴻雁． 小波多時間尺度分析在變形分析中的應(yīng)用[J]． 地理空間信息,2010,8(2):143-147

[4] 魯鐵定．總體最小二乘平差理論及其在測繪數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[D]．武漢：武漢大學,2010

[5] 莫穎軍,袁昌茂,文鴻雁． 形變監(jiān)測數(shù)據(jù)的多尺度濾波[J]．城市勘測,2010(4):154-156

[6] 袁昌茂,文鴻雁． 變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理的小波去噪方法[J]． 地理空間信息,2009,7(4):136-138

[7] 鄒積亭,江恒彪,趙西安．基于小波去噪的地鐵沉降監(jiān)測分析[J]．測繪科學，2007 (3)：102-103

P207

B

1672-4623（2014）06-0135-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2014.06.047

邱建昌，工程師， 研究方向為工程測量。

2013-12-19。

項目來源：廣西自然科學基金資助項目（0991023）。