馮東敏

在人教版的各冊數(shù)學(xué)教材中，編者均有針對(duì)性地設(shè)置了課后拓展材料。主要有 “你知道嗎”和思考題兩種形式。第一種形式主要包含四個(gè)方面：數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)知識(shí)介紹、生活中的數(shù)學(xué)以及生活常識(shí)與信息；第二種形式是數(shù)學(xué)思考題。這些思考題一般出現(xiàn)在課后鞏固練習(xí)題或練習(xí)課之中，主要是對(duì)書本知識(shí)的拓展與提高。這些拓展材料豐富了教材內(nèi)容，增加了知識(shí)容量，擴(kuò)大了學(xué)生的知識(shí)面，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生能力上，起到了不可小視的作用。但由于教材篇幅有限，涉及的內(nèi)容較少，只能起到一種導(dǎo)引的作用，因此，就需要教師在面上加以補(bǔ)充，在量上適度增加，在深度上加以拓展。

那么，教師如何在課堂教學(xué)中創(chuàng)造性地使用課后材料，并進(jìn)行有效的拓展，使課堂因拓展而流光溢彩呢？筆者結(jié)合自己平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，談一些具體做法。

一、溯根追源，豐富學(xué)生的情感與視野

數(shù)學(xué)是一門有著悠久歷史的學(xué)科，它的好多知識(shí)往往有著其特有的背景知識(shí)。課后的“你知道嗎”就是試圖通過讓學(xué)生接觸有關(guān)數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣題與數(shù)學(xué)史料，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展。但由于教材的篇幅有限，教師不可能長篇介紹。那么，這些課后材料該以怎樣的形式走進(jìn)課堂與學(xué)生對(duì)話，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感受數(shù)學(xué)呢？

（一）融于新知教學(xué)

“你知道嗎”通常安排在教材的“做一做”或練習(xí)的最后部分，因?yàn)橐话悴蛔鳛榭疾榈膬?nèi)容，所以在實(shí)際教學(xué)中往往被一帶而過，這樣，它所肩負(fù)的數(shù)學(xué)史教育價(jià)值功能就無法落到實(shí)處。其實(shí)，有相當(dāng)一部分的“你知道嗎”可以結(jié)合新知教學(xué)，作為新知的引入，也可以穿插在新知教學(xué)過程中，幫助學(xué)生對(duì)新知的理解。如在“年、月、日”一課的教學(xué)中，學(xué)生在認(rèn)識(shí)時(shí)間單位年、月、日時(shí)，可利用手頭的年歷探究平年、閏年，得出一般規(guī)律。

例如，教師可用課件出示相關(guān)資料：

我們現(xiàn)在用的日歷叫陽歷，也叫太陽歷，把地球繞太陽一周的時(shí)間定為一年，而地球繞太陽一周的時(shí)間是365天5小時(shí)48分46秒，這樣按365天來計(jì)算的話，每年將近多出6小時(shí)，積4年就加1天在2月份。這樣平年一年365天，4年一閏年，這年是366天。但是每年如果均按多6小時(shí)計(jì)算，這樣就多算了11分14秒，為了避免積累的誤差，就規(guī)定碰到整百年時(shí)，只有除以400沒余數(shù)的才是閏年。概括起來說，就是：“四年一閏，百年不閏，四百年又一閏?！?/p>

在鞏固練習(xí)小結(jié)后再出示資料：

我們現(xiàn)在用的陽歷，是從西方傳來的。最早采用陽歷的是羅馬。每年12個(gè)月，大月31天，小月30天，是人定的，2月有時(shí)28天、有時(shí)29天也是人定的，這人就是羅馬皇帝。他們不喜歡2月，2月要?dú)⒎溉耍蕴鞌?shù)少一些。7月、8月都是大月，那是因?yàn)樗鼈兪莾蓚€(gè)皇帝出生的月份。只有一年365天5小時(shí)48分46秒是大自然定的。

全課總結(jié)時(shí)出示：

聰明的人總是善于利用時(shí)間，愚昧的人則善于消磨時(shí)間。

勤奮的人抓緊時(shí)間，懶惰的人浪費(fèi)時(shí)間。

嚴(yán)律的人珍惜時(shí)間，散漫的人虛度時(shí)間。

在上述的教學(xué)中，筆者就是把課后材料“你知道嗎”有機(jī)整合到教學(xué)中，并補(bǔ)充羅馬歷與惜時(shí)教育，整個(gè)教學(xué)過程有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，也使課堂更具有啟迪智慧與傳承文化的意蘊(yùn)。

（二）另辟閱讀時(shí)空

看書閱讀，似乎與數(shù)學(xué)課八竿子打不著，但數(shù)學(xué)作為科學(xué)的皇后，她有著深厚的歷史背景、文化底蘊(yùn)。課堂中進(jìn)行拓展材料的閱讀只是微微打開一扇通往數(shù)學(xué)世界的窗口，而倡導(dǎo)課外閱讀，能讓學(xué)生真正在數(shù)學(xué)世界中遨游。

要開展數(shù)學(xué)閱讀，首先需要解決閱讀材料的問題。但教材中出現(xiàn)的閱讀材料次數(shù)可以說是屈指可數(shù)，因此可根據(jù)學(xué)生所處的年級(jí)段，訂閱相匹配的數(shù)學(xué)雜志或報(bào)紙，如《數(shù)學(xué)大王》《數(shù)學(xué)小靈通》《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》等；也可向?qū)W生推薦數(shù)學(xué)的專著與書籍，如《小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)教材的新數(shù)學(xué)課資料大王》、張景中院士的《數(shù)學(xué)家的眼光》《幫你學(xué)數(shù)學(xué)》《新概念幾何》和李毓佩教授的《愛克斯探長》《荒島歷險(xiǎn)》《奇妙的數(shù)王國》等等。有了閱讀材料，學(xué)生會(huì)自覺地、饒有趣味地利用課余時(shí)間進(jìn)行閱讀。同時(shí)，結(jié)合閱讀開展一些展示活動(dòng)，如展示自編的“數(shù)學(xué)小報(bào)”“數(shù)學(xué)剪貼本”，在每期黑板報(bào)中開辟數(shù)學(xué)專欄“我+數(shù)學(xué)=聰明”等，也可每一學(xué)期安排幾節(jié)數(shù)學(xué)閱讀課，組織學(xué)生進(jìn)行專題閱讀和主題交流，使數(shù)學(xué)閱讀的資源更加豐富。

二、題組推進(jìn)，拓展思維的廣度與深度

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，這些課后材料往往是所學(xué)知識(shí)與能力的拓展與提升。倘若讓學(xué)生就題解題，那估計(jì)有多數(shù)學(xué)生找不到北，一部分學(xué)生雖能解答，但對(duì)“為什么這么做”還模模糊糊。如果教師能把握教材，善于利用觀察和聯(lián)想，引領(lǐng)學(xué)生從一個(gè)點(diǎn)生發(fā)出去，連點(diǎn)成線，那在整合的過程中，學(xué)生的思維將變得更加縝密與深刻。

（一）溝通聯(lián)系，拓展廣度

挖掘習(xí)題中隱含的思維價(jià)值，做到以一題帶出一片，盡可能讓練習(xí)價(jià)值得到最大化的發(fā)揮，使學(xué)生儲(chǔ)存在大腦中休眠的知識(shí)被激活，得到有效的融合。如五年級(jí)上冊“多邊形的面積”課后設(shè)計(jì)了這么一道題：

你能在一組平行線間畫出與△ABC面積相等的三角形嗎？

拿到這類題，學(xué)生首先想到的就是同底等高、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。這時(shí)，教師只要順勢引導(dǎo)，學(xué)生就不難想到的是圖1、圖2兩種。

這個(gè)時(shí)候，教師還可將習(xí)題中隱含的思維價(jià)值加以挖掘：“要是讓你畫一個(gè)形狀、大小相同的三角形，你有哪些方法可以做到？”這樣就打開了學(xué)生的思路。在教師的進(jìn)一步引導(dǎo)下，學(xué)生還會(huì)想到利用學(xué)過的平移、對(duì)稱等知識(shí)來解決出現(xiàn)的新問題，這樣就打通了各知識(shí)點(diǎn)之間的通路。

（二）開放改編，拓展深度

拓展題往往帶有一定開放性，如果把其中的條件或問題稍加改編，便可改造出一組由易到難、由淺入深的習(xí)題，達(dá)到以點(diǎn)帶面、循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生思維的目的。如五年級(jí)下冊第37頁帶“﹡”的題。endprint

“如何把這個(gè)長方體木塊分成兩個(gè)棱長為4厘米的正方體？兩個(gè)棱長為4cm的正方體總表面積與這個(gè)長方體的表面積相等嗎？”

改編1：計(jì)算長方體的表面積與體積。

改編2：將“如何把這個(gè)長方體木塊分成兩個(gè)棱長為4厘米的正方體”改為“切一刀，把這個(gè)長方體分成兩個(gè)完全相同的小長方體，有幾種切法？哪種切法表面積增加得最多，是多少”。

改編3：將教材中把長方體木塊分成兩個(gè)完全相同的正方體，求表面積增加了多少，改編成“兩個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長方體，表面積有什么變化”，這樣一正一反、一增一減，學(xué)生的發(fā)散性思維得到了很好的鍛煉。

改編4：如果在這個(gè)長方體木塊上挖去一個(gè)小正方體，表面積會(huì)有什么變化？

改編5：至少要拿幾塊這樣的長方體才能拼成一個(gè)較大的正方體？

像這樣，將一道題經(jīng)過改造帶出了一組題。并且這組題，不同思維層次的學(xué)生均能找到屬于他的那片天空，通過層層演練，思維被誘向縱深地帶。

三、深度挖掘，滲透數(shù)學(xué)的思想與方法

思考題往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和解題技巧，其核心價(jià)值在于引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。實(shí)際教學(xué)中，往往需要教師“借題發(fā)揮”，巧妙改編，適度引申，開啟學(xué)生的思考之門，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

如人教版新教材一年級(jí)上冊有這樣一道思考題：在○里分別填上3、4、5、6、7，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加都得12。

師：對(duì)呀！因?yàn)槿切蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都要用到兩次，因此，填數(shù)時(shí)先確定三個(gè)角上的數(shù)就比較方便。

師：剛才，同學(xué)們都很棒，闖過了第一關(guān)，現(xiàn)在到了第二關(guān)：如果每條線上的三個(gè)數(shù)相加和是13，你會(huì)填嗎？

因?yàn)橛辛藙倓偟慕?jīng)驗(yàn)，學(xué)生也知道先確定頂點(diǎn)上的三個(gè)數(shù)，邊上的數(shù)再進(jìn)行微調(diào)，不久就得出了答案。

師：要是不固定2的位置，只要每條線上的三個(gè)數(shù)相加和都相等，你還能想出幾種辦法？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生經(jīng)過嘗試、討論、交流、觀察、概括等過程，發(fā)現(xiàn)三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)無非有這么幾種情況：一是放開頭或結(jié)尾的三個(gè)數(shù)，即2、3、4或5、6、7；二是三個(gè)連續(xù)的雙數(shù)或單數(shù)，即2、4、6或3、5、7。每條線中間的那個(gè)數(shù)需要根據(jù)頂點(diǎn)上那兩個(gè)數(shù)來放，如果頂點(diǎn)上的數(shù)是兩個(gè)比較小的，那中間就放剩下數(shù)中最大的那一個(gè)；頂點(diǎn)上兩個(gè)數(shù)比較大的就放剩下數(shù)中最小的那一個(gè)。

一開始，因?yàn)閿?shù)據(jù)較小，加上又是教材中的題，學(xué)生可能事先就已經(jīng)進(jìn)行過多次嘗試，所以基本上都能得出正確答案?？墒呛枚鄬W(xué)生基本上處于湊數(shù)的階段，他們在不斷的失敗中方才獲得成功。除了訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力外，思維層面還沒有得到很好的鍛煉。隨著問題的一個(gè)個(gè)推進(jìn)，學(xué)生靠湊數(shù)已經(jīng)很難解決問題，必須尋找題目中隱含的規(guī)律。最終，在學(xué)生建立了模型后，教師再提出“把3～8分別填入……”這樣的練習(xí)，從而進(jìn)一步鞏固剛剛建立的模型思想。像這樣，將函數(shù)、模型、推理等思想融入習(xí)題中，學(xué)生從簡單的數(shù)學(xué)問題中探索出一般數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，習(xí)題的價(jià)值將更加彰顯，學(xué)生的思維水平將得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悅。

總之，教材中的每一個(gè)拓展材料的安排都有一定的目的和意圖。只要教師多思考它對(duì)豐富學(xué)生的情感、提升學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值，在教學(xué)中根據(jù)材料特點(diǎn)和內(nèi)容靈活處置，再通過一定的教學(xué)手段，就使課后材料中的隱性內(nèi)容顯性化，嵌入到學(xué)生的認(rèn)知體系中，真正為學(xué)生所領(lǐng)悟。

（浙江省臨海市汛橋鎮(zhèn)中心校 317024）endprint

“如何把這個(gè)長方體木塊分成兩個(gè)棱長為4厘米的正方體？兩個(gè)棱長為4cm的正方體總表面積與這個(gè)長方體的表面積相等嗎？”

改編1：計(jì)算長方體的表面積與體積。

改編2：將“如何把這個(gè)長方體木塊分成兩個(gè)棱長為4厘米的正方體”改為“切一刀，把這個(gè)長方體分成兩個(gè)完全相同的小長方體，有幾種切法？哪種切法表面積增加得最多，是多少”。

改編3：將教材中把長方體木塊分成兩個(gè)完全相同的正方體，求表面積增加了多少，改編成“兩個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長方體，表面積有什么變化”，這樣一正一反、一增一減，學(xué)生的發(fā)散性思維得到了很好的鍛煉。

改編4：如果在這個(gè)長方體木塊上挖去一個(gè)小正方體，表面積會(huì)有什么變化？

改編5：至少要拿幾塊這樣的長方體才能拼成一個(gè)較大的正方體？

像這樣，將一道題經(jīng)過改造帶出了一組題。并且這組題，不同思維層次的學(xué)生均能找到屬于他的那片天空，通過層層演練，思維被誘向縱深地帶。

三、深度挖掘，滲透數(shù)學(xué)的思想與方法

思考題往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和解題技巧，其核心價(jià)值在于引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。實(shí)際教學(xué)中，往往需要教師“借題發(fā)揮”，巧妙改編，適度引申，開啟學(xué)生的思考之門，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

如人教版新教材一年級(jí)上冊有這樣一道思考題：在○里分別填上3、4、5、6、7，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加都得12。

師：對(duì)呀！因?yàn)槿切蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都要用到兩次，因此，填數(shù)時(shí)先確定三個(gè)角上的數(shù)就比較方便。

師：剛才，同學(xué)們都很棒，闖過了第一關(guān)，現(xiàn)在到了第二關(guān)：如果每條線上的三個(gè)數(shù)相加和是13，你會(huì)填嗎？

因?yàn)橛辛藙倓偟慕?jīng)驗(yàn)，學(xué)生也知道先確定頂點(diǎn)上的三個(gè)數(shù)，邊上的數(shù)再進(jìn)行微調(diào)，不久就得出了答案。

師：要是不固定2的位置，只要每條線上的三個(gè)數(shù)相加和都相等，你還能想出幾種辦法？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生經(jīng)過嘗試、討論、交流、觀察、概括等過程，發(fā)現(xiàn)三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)無非有這么幾種情況：一是放開頭或結(jié)尾的三個(gè)數(shù)，即2、3、4或5、6、7；二是三個(gè)連續(xù)的雙數(shù)或單數(shù)，即2、4、6或3、5、7。每條線中間的那個(gè)數(shù)需要根據(jù)頂點(diǎn)上那兩個(gè)數(shù)來放，如果頂點(diǎn)上的數(shù)是兩個(gè)比較小的，那中間就放剩下數(shù)中最大的那一個(gè)；頂點(diǎn)上兩個(gè)數(shù)比較大的就放剩下數(shù)中最小的那一個(gè)。

一開始，因?yàn)閿?shù)據(jù)較小，加上又是教材中的題，學(xué)生可能事先就已經(jīng)進(jìn)行過多次嘗試，所以基本上都能得出正確答案?？墒呛枚鄬W(xué)生基本上處于湊數(shù)的階段，他們在不斷的失敗中方才獲得成功。除了訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力外，思維層面還沒有得到很好的鍛煉。隨著問題的一個(gè)個(gè)推進(jìn)，學(xué)生靠湊數(shù)已經(jīng)很難解決問題，必須尋找題目中隱含的規(guī)律。最終，在學(xué)生建立了模型后，教師再提出“把3～8分別填入……”這樣的練習(xí)，從而進(jìn)一步鞏固剛剛建立的模型思想。像這樣，將函數(shù)、模型、推理等思想融入習(xí)題中，學(xué)生從簡單的數(shù)學(xué)問題中探索出一般數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，習(xí)題的價(jià)值將更加彰顯，學(xué)生的思維水平將得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悅。

總之，教材中的每一個(gè)拓展材料的安排都有一定的目的和意圖。只要教師多思考它對(duì)豐富學(xué)生的情感、提升學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值，在教學(xué)中根據(jù)材料特點(diǎn)和內(nèi)容靈活處置，再通過一定的教學(xué)手段，就使課后材料中的隱性內(nèi)容顯性化，嵌入到學(xué)生的認(rèn)知體系中，真正為學(xué)生所領(lǐng)悟。

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“如何把這個(gè)長方體木塊分成兩個(gè)棱長為4厘米的正方體？兩個(gè)棱長為4cm的正方體總表面積與這個(gè)長方體的表面積相等嗎？”

改編1：計(jì)算長方體的表面積與體積。

改編2：將“如何把這個(gè)長方體木塊分成兩個(gè)棱長為4厘米的正方體”改為“切一刀，把這個(gè)長方體分成兩個(gè)完全相同的小長方體，有幾種切法？哪種切法表面積增加得最多，是多少”。

改編3：將教材中把長方體木塊分成兩個(gè)完全相同的正方體，求表面積增加了多少，改編成“兩個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長方體，表面積有什么變化”，這樣一正一反、一增一減，學(xué)生的發(fā)散性思維得到了很好的鍛煉。

改編4：如果在這個(gè)長方體木塊上挖去一個(gè)小正方體，表面積會(huì)有什么變化？

改編5：至少要拿幾塊這樣的長方體才能拼成一個(gè)較大的正方體？

像這樣，將一道題經(jīng)過改造帶出了一組題。并且這組題，不同思維層次的學(xué)生均能找到屬于他的那片天空，通過層層演練，思維被誘向縱深地帶。

三、深度挖掘，滲透數(shù)學(xué)的思想與方法

思考題往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和解題技巧，其核心價(jià)值在于引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。實(shí)際教學(xué)中，往往需要教師“借題發(fā)揮”，巧妙改編，適度引申，開啟學(xué)生的思考之門，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

如人教版新教材一年級(jí)上冊有這樣一道思考題：在○里分別填上3、4、5、6、7，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加都得12。

師：對(duì)呀！因?yàn)槿切蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都要用到兩次，因此，填數(shù)時(shí)先確定三個(gè)角上的數(shù)就比較方便。

師：剛才，同學(xué)們都很棒，闖過了第一關(guān)，現(xiàn)在到了第二關(guān)：如果每條線上的三個(gè)數(shù)相加和是13，你會(huì)填嗎？

因?yàn)橛辛藙倓偟慕?jīng)驗(yàn)，學(xué)生也知道先確定頂點(diǎn)上的三個(gè)數(shù)，邊上的數(shù)再進(jìn)行微調(diào)，不久就得出了答案。

師：要是不固定2的位置，只要每條線上的三個(gè)數(shù)相加和都相等，你還能想出幾種辦法？你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生經(jīng)過嘗試、討論、交流、觀察、概括等過程，發(fā)現(xiàn)三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)無非有這么幾種情況：一是放開頭或結(jié)尾的三個(gè)數(shù)，即2、3、4或5、6、7；二是三個(gè)連續(xù)的雙數(shù)或單數(shù)，即2、4、6或3、5、7。每條線中間的那個(gè)數(shù)需要根據(jù)頂點(diǎn)上那兩個(gè)數(shù)來放，如果頂點(diǎn)上的數(shù)是兩個(gè)比較小的，那中間就放剩下數(shù)中最大的那一個(gè)；頂點(diǎn)上兩個(gè)數(shù)比較大的就放剩下數(shù)中最小的那一個(gè)。

一開始，因?yàn)閿?shù)據(jù)較小，加上又是教材中的題，學(xué)生可能事先就已經(jīng)進(jìn)行過多次嘗試，所以基本上都能得出正確答案?？墒呛枚鄬W(xué)生基本上處于湊數(shù)的階段，他們在不斷的失敗中方才獲得成功。除了訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力外，思維層面還沒有得到很好的鍛煉。隨著問題的一個(gè)個(gè)推進(jìn)，學(xué)生靠湊數(shù)已經(jīng)很難解決問題，必須尋找題目中隱含的規(guī)律。最終，在學(xué)生建立了模型后，教師再提出“把3～8分別填入……”這樣的練習(xí)，從而進(jìn)一步鞏固剛剛建立的模型思想。像這樣，將函數(shù)、模型、推理等思想融入習(xí)題中，學(xué)生從簡單的數(shù)學(xué)問題中探索出一般數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，習(xí)題的價(jià)值將更加彰顯，學(xué)生的思維水平將得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悅。

總之，教材中的每一個(gè)拓展材料的安排都有一定的目的和意圖。只要教師多思考它對(duì)豐富學(xué)生的情感、提升學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值，在教學(xué)中根據(jù)材料特點(diǎn)和內(nèi)容靈活處置，再通過一定的教學(xué)手段，就使課后材料中的隱性內(nèi)容顯性化，嵌入到學(xué)生的認(rèn)知體系中，真正為學(xué)生所領(lǐng)悟。

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