班桂寧，許永峰，陳 倩，趙麗萍

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧 530004)

在有限群理論中，有限p-群是有限群最基本和最重要的分支之一，關(guān)于有限p-群的研究，已經(jīng)有了許多有意義的結(jié)果(見文獻(xiàn)［1～4］).對于有限p-群的自同構(gòu)群的階方面有一個非常著名的LA-猜想：階大于p2的有限非循環(huán)p-群的階是其自同構(gòu)群的階的因子.關(guān)于LA-猜想的研究俞曙霞、班桂寧等得到了一系列漂亮的結(jié)果.鑒于Rodney James 在文獻(xiàn)［5］中給出了階小于等于p6(p 為奇素數(shù))的有限p-群的完整分類，本文對p6階群Φ33家族的Φ33(16)進(jìn)行了推廣，得到一類新的p-群，然后利用Schreier 群擴(kuò)張理論和Van Dyek 自由群理論證明這類群的存在性，并且給出了所得群的一些性質(zhì)，最后通過計算群的階小于等于其自同構(gòu)群的正規(guī)子群的階，以此證明所得到的群為LA-群(滿足LA-猜想的群).文中所討論的群均為有限p-群，p 為奇素數(shù)，其余所有參數(shù)均為非負(fù)整數(shù)，相關(guān)符號若無特殊說明均是標(biāo)準(zhǔn)的，具體可參考文獻(xiàn)［5，7］.

1 相關(guān)引理

引理1.1［6］設(shè)G 是由生成元x1，x2，…，xr和關(guān)系fi(x1，x2，…，xr)=1，i∈I 所定義的群，H=＜a1，a2，…，ar＞(這些ai可能相同)，?i∈I，fi(a1，a2，…，ar)=1，則存在唯一的滿同態(tài)σ：G=Fr/N→H使得xi→ai，其中Fr=＜x1，x2，…，xr＞為自由群，Y=＜{fi(x1，x2，…，xr)│i∈I}＞，N=YFr(Y 在Fr中的正規(guī)閉包)，G=Fr/N.如果│G│≤│H│＜+∞，則上述的σ為群同構(gòu)(即H 是由生成元{a1，a2，…，ar}與定義關(guān)系fi(a1，a2，…，ar)=1，?i∈I所定義的群).

引理1.2［7］設(shè)G'是G 的全不變子群，并且若N?G，則G/N是交換群?N≥G'.

引理1.3［7］設(shè)G 是群，a，b，c∈G 則

(1)［a，b］-1=［a，b］；

(2)［ab，c］=［a，c］b［b，c］；

(3)［a，bc］=［a，c］［a，b］c.

引理1.4［7］設(shè)G 是有限p-群，若c(G)＜p，則G 正則.

引理1.5［7］設(shè)G 是有限群，則G 的全體中心內(nèi)自同構(gòu)組成的Aut(G)的子群，并且它和Z(G/Z(G))是同構(gòu)的.

引理1.6［8］設(shè)G 是PN-群，G/G'和Z(G)的不變型分別為1≤mi≤mi-1≤…≤m1和1≤ks≤ks-1≤…≤k1，則│Ac(G)│=Pa，其中

a=∑min{mj，ki}.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G＜α，α1，α2，β1，β2，γ│［α1，α］β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，α］=γ，αpt=α1pt1==1＞，則G 成為一個群的充要條件是r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t2}，s2≤min{t2，t}，進(jìn)一步，在G 成群的條件下有G=＜α，α1，α2，β1，β2，r│［α1，α］=β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，α］==1，是r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t2}，s2≤min{t2，t}＞，即其中所給的關(guān)系是群 G 的定義關(guān)系，且│G │=

證明(I)假設(shè)定理中所給的G 是一個群.由［α1，α］=β1［α2，α］=β2［α1，β1］=γ，［β2，α］=γ，得α1α=α1β1，αα1=αβ1-1，α2α=α2β2，=αα2=αβ2-1==β1γ-1β2α=β2γ，αβ2=αγ-1.進(jìn)而有α=，同理，由此可得因為，所以s1≤t1，r≤t1≤s2≤t2，r≤s2，s1≤t，r≤s1，s2≤t，r≤t.綜合上述條件可得r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t}，s2≤min{t2，t}.

(II)利用群的擴(kuò)張理論證明在定理所給的條件下群G 的存在性，分以下兩步完成：

(1)先證明G1=＜α1，α2，β1，β2，γ│［α1，β1］==1，r≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2＞的存在性，且G1中所給的關(guān)系即為群G1的定義關(guān)系.令，顯然，N 為型不變量的交換群.設(shè)F=＜a＞為階循環(huán)群.再設(shè)映射τ 如下作用在N 上γ'=γτ=γα1=γ.則根據(jù)條件r≤s1，有，此時，故τ∈Aut(N).顯然1τ=1.

下證τpt1=1.根據(jù)條件τ≤s1≤t1，有=γ，從而=1.若此時記擴(kuò)張函數(shù)f：F×F→N 和α：F →Aut(N)有如下形狀：f(ai，aj)=

α(ti)=τi，i=0，1，…，pt1-1，則由Schreier 擴(kuò)張理論得到N 被F 的一個擴(kuò)張且F≌G1/N.設(shè)在同構(gòu)σ：F→G1/N 之下a 的像為為陪集中選定的代表元，滿足，令=α1，則有G1=＜α1，α2，β1，β2，γ＞，即=1.因此G1是存在的，且

下面利用自由群理論證明G1中所給的關(guān)系即為群G1的定義關(guān)系.

設(shè)F={x1，x2，y1，y2，z}是一個自由群，S={z-1［x1，y1］，［x1，x2］，［x1，y2］，［x1，z］，［x2，y1］，［x2，y2］，［x2，z］，［y1，y2］，［y1，z］，［y2，z］，，則因此，且的子集于是，故由引理1.1 知所以G1=1，γ≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2.

(2)再證明G=〈α，α1，α2，β1，β2γ|［α1，α］=β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，α］==1，r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t}，s2≤{t2，t}〉的存在性，且G 中所給的關(guān)系即為群G 的定義關(guān)系.令

=1，r≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2}〉.設(shè)F=〈a〉為pt階循環(huán)群，再設(shè)映謝τ 如下的作用在N上，α1'=α1τ=α1α=α1β1，α2'=α2τ=α2α=α2β2，β1'γ，［α1'，β1'］=［α1β1，β1］=β1-1α1-1β1-1α1β1β1=根據(jù)條件r≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2，有此時有N=〈α1'=α2'，β1，'=β2'，γ〉，故τ∈Aut(N)，顯然1τ=1，

下證根據(jù)條件r≤min{s1，s2}，s1≤t，s2≤t，有從而τ pt=1.若此時記擴(kuò)張函數(shù)f：F×F→N 和α：F→Aut(N)，有如下形狀

1，則由Schrdier 擴(kuò)張理論得到N 被F 的一擴(kuò)張G=Ext(N，pt；1，τ)且F≌G/N.設(shè)在同構(gòu)σ：F→G/N 之下a 的像為為陪集中選定的代表元，滿足α，則有即即［α2，即［β2，α］=γ，因此G 是存在的，且

下面利用自由群理論證明G 中所給的關(guān)系即為群G 的定義關(guān)系.

設(shè)F={x，x1，x2，y1，y2，y2，z}是一個自由群，S={y1-1［x1，x］，y2-1［x2，x］，z-1［x1，y1］，z-1［y2，x］，［x，y1］，［x，z］，［x1，x2］，［x1，y2］，［x1，z］，［x2，y1］，因此且的子集于是|G|.由引理1.1 知所以G=〈α，α1，α2，β1，β2，γ|［α1，α］=β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，{s1，s2}，s1≤min{t1，t}，s2≤min{t2，t}〉.

定理2群G 有下列性質(zhì)：

(1)G'=G2=〈β1，β2，γ〉，G3=〈γ〉，G/G'=〈αG'，α1G'，α2G'〉，P(G)=〈gp|g∈G〉，Φ(G)=〈β1，β2，γ〉〈αp，α1p，α2p〉；

(2)G 為亞交換p-群；

(3)若p＞3，則G 為正則p-群；

(4)，且其中m=max{s1，s2}；

(6)若t=t1=t2=s1=s2=r=1，則G ≌Φ31(16).

證明(1)由G 的定義關(guān)系顯然〈β1，β2，γ〉≤G'，且〈β1，β2，γ〉?G'.令N=〈β1，β2，γ〉，則G/N=〈αN，α1N，α2N〉，因為［α1，α］=β1∈N，［α2，α］=β2∈N，［α1，α2］=1∈N，所以［α1N，αN］=［α2N，αN］=［α1N，α2N］=N，故G/N 為交換群，由引理1.2 知G'≤N，即G'=G2=〈β1，β2，γ〉，從而可得G/G'=〈αG'，α1G'，α2G'〉；又因為［α1，β1］=γ，［α，β2］=γ-1，從而G3=［G，G2］=〈γ〉；G4=［G，G3］=1，可得c(G)=3.由有限群G 的子群P(G)定義有P(G)=〈gp|g∈G〉，即P(G)=所以

(2)因為［β1，β2］=［β1，γ］=［β2，γ］=1，所以G″=［G'，G'］=1，故G 為亞交換P-群.

(3)當(dāng)p＞3 時，由(1)知c(G)=3＜p，所以G為正則群.

(4)?g∈Z(G)，設(shè)則同理由此可得pr|y2，ps2|x2，ps1|x1，pr|y1，ps1|x，ps2|x，pr|x1pr|x，這使得γ〉，即由g 的任意性可得Z(G)，于是γ〉.進(jìn)而，所以，其中m=max{s1，s2}.

(5)因為Z2(G)/Z1(G)=Z(G/Z1(G))，所以［Z2(G)，G］?Z1(G)=Z(G)，對任意的g=αxα1x1，由此可得pr|x1，pr|x2，pr|x，這使得β2，γ〉，即由g 的任意性可得于是，進(jìn)而Z2(G)=，所以|，所以|G/Z2(G)|=p3r.

(6)為直接驗證，見文獻(xiàn)［5］.

定理3在以下六種情形下群G 均為LA-群.情形1：t≤t1≤t2；情形2：t1≤t≤t2；情形3：t1≤t2≤t；情形4：t2≤t1≤t；情形5：t2≤t≤t1；情形6：t≤t2≤t1.

證明取Aut(G)的正規(guī)p 子群R=Inn(G)Ac(G)(Ac(G)為G 的中心自同構(gòu))，由引理1.5 有|R|(G)|·|G：Z2(G)|，于是只需證明|R|≥|G|，即可知G 為LA-群，而由定理2 知：G/G'=〈αG'，α1G'，α2G'〉=〈αG'〉×〈α1G'〉×〈α2G'〉，其不變型為(t，t1，t2)；，其不變型為(t-m，t1-s1，t2-s2，s1-r，s2-r，r)，其中m=max{s1，s2}；|G：Z2(G)|=p3r.下面只證明情形1 下群G 為LA-群，其他情形下可類似情形1 的證明過程來證明群G 為LA-群.

在情形1 t≤t1≤t2下，G/G'的不變型為t≤t1≤t2，需討論t，t1，t2，t-m，t1-s1，t2-s2，s1-r，s2-r，r 的大小關(guān)系.

(I)當(dāng)s1≤s2時，m=s2.

(i)不妨設(shè)Z(G)的不變型為r≤s1-r≤s2-r≤t-s2≤t1-s1≤t2-s2.

(1)當(dāng)t1-s1≤t2-s2≤t≤t1時，由引理1.6，a=min{t，t2-s2}+min{t，t1-s1}+min{t，t-s2}+min{t，s2-r}+min{t，s1-r}+min{t，r}+min{t1，t2-s2}+min{t1，t1-s1}+min{t1，t-s2}+min{t1，s2-r}+min{t1，s2-r}+min{t1，s1-r}+min{t1，r}+min{t2，t2-s2}+min{t2，t1-s1}+min{t2，t-s2}+min{t2，s2-r}+min{t2，s1-r}+min{t2，r}=3t+，故群G 為LA-群.

(2)當(dāng)t1-s1≤t≤t2-s2≤t1時，由引理1.6，a=4t+3t1+2t2-2s2-3r，因此＞|G|，故群G 為LA-群.

(3)當(dāng)t1-s1≤t≤t1-t2-s2≤t1時，由引理1.6，a=4t+4t1+t2-s2-3r，因此|R|=|G|，故群G 為LA-群.

(4)當(dāng)t≤t1-s1≤t1≤t2-s2時，由引理1.6，a=5t+3t1+t2+s1-s2-3r，因此|R|=|G|，故群G 為LA-群.

(5)當(dāng)t≤t1-s1≤t2-s2時，由引理1.6，a=5t+2t1+2t2+s1-2s2-3r，因此＞|G|，故群G 為LA-群.

(ii)同理，對于Z(G)的其它不奕型，類似于(i)的討論過程可以證群G 為LA-群.

(II)當(dāng)s2≤s1時，類似于(I)的討論過程可以證群G 為LA-群.

故在情形1 下群G 為LA-群；對于情形2 到情形6 做類似于情形1 同樣的討論，可以證明群G 為LA-群.