謝金良，劉澤宇

(東北電力大學電氣工程學院，吉林吉林132012)

近半個世紀以來，世界各地已發(fā)生多起電壓失穩(wěn)事故，其所造成的損失也在不斷加深。如今隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴大，電壓穩(wěn)定問題變得尤為重要，并已成為國內(nèi)外專家學者們關(guān)注的焦點［1］。在眾多研究電壓穩(wěn)定性的方法中，分岔理論由于能夠揭示電壓失穩(wěn)的本質(zhì)因而得到了迅速的發(fā)展。靜態(tài)分岔是指系統(tǒng)的平衡點的數(shù)目及穩(wěn)定性隨著參數(shù)變化而發(fā)生的突然的變化。典型的靜態(tài)分岔有鞍結(jié)點分岔和極限誘導分岔。文獻［2-4］對鞍結(jié)點分岔進行了詳盡的闡述，文獻［5］對二者進行了比較，并從數(shù)學和物理學兩個方面揭示了二者的區(qū)別。

電力系統(tǒng)本質(zhì)上是一個非線性動態(tài)系統(tǒng)，但目前動態(tài)分岔理論在該領(lǐng)域的應用尚不成熟。所以針對Hopf分岔進行研究具有重要的意義。

1 Hopf分岔理論

Hopf分岔是當參數(shù)變化時從奇點產(chǎn)生極限環(huán)的分岔，是指方程x=f(x，μ)的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 J(x，μ)特征值中存在共軛復特征值，隨著分岔參數(shù)的變化，它們的實部由負變正時，在非雙曲平衡點附近發(fā)生的分岔。此時系統(tǒng)在(x0，μ0)處從平衡點分岔出一個非常量的周期解，即對應系統(tǒng)的極限環(huán)，系統(tǒng)發(fā)生振蕩失穩(wěn)，這種情況在超負荷運行時更加明顯［6、7］。

Hopf分岔主要分為超臨界Hopf分岔和亞臨界Hopf分岔，相較而言后者的危害更大。對于這兩種分岔類型的判定，文獻［8］指出，可以通過求解分岔點附近的曲率系數(shù)正負判斷發(fā)生分岔的類型。文獻［9］指出，在分岔點處，若第一李雅譜諾夫系數(shù)為負，則分岔出穩(wěn)定極限環(huán)，稱為超臨界Hopf分岔。如果該系數(shù)為正，則分岔出不穩(wěn)定極限環(huán)，稱為亞臨界Hopf分岔。

2 電壓穩(wěn)定領(lǐng)域的Hopf分岔應用

2.1 Hopf分岔邊界計算方法

首先，Hopf分岔應用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是分岔邊界的求取，其計算方法主要有3種，即直接法、連續(xù)法(延拓法)、非線性規(guī)劃法。

直接法即以系統(tǒng)當前運行狀態(tài)為起點直接搜尋分岔點的方法［10］，其優(yōu)點是思路簡便易懂，計算速度快，可直接求得目標，在線應用較廣。缺點是維數(shù)高，收斂性差，易于陷入維數(shù)災難，魯棒性不強，對初值要求高，難以計及不等式約束從而不能得到平衡解流型的全部信息。

文獻［11］針對原有直接法維度高和計算量大的特點，通過引入輔助變量簡化了原方程組，使得計算更加簡便快捷。文獻［12］通過增加標量方程構(gòu)造擴展系統(tǒng)使原來的2n+1維非線性方程組變?yōu)槎鄠€n+1維線性方程組，從而降低了系統(tǒng)方程的維數(shù)。然而文獻［12］中仍然存在一定的缺陷，如滿秩陣A的形成需要適當?shù)倪x取矩陣B和C，標量方程本身的計算又過于繁瑣，不宜編程實現(xiàn)等?；诖?，文獻［13］應用數(shù)值求解擴充系統(tǒng)的分解迭代技巧對Hopf分岔點進行降階求解，克服了由于需要適當進行矩陣選取所帶來的不確定因素，并使方程組的維數(shù)降低了近三分之二。

另一種常用的計算方法是連續(xù)法(延拓法)［14-15］，在電力系統(tǒng)中它是指首先追蹤給出的系統(tǒng)模型在參數(shù)變化時的平衡解曲線(流形)。延拓法的優(yōu)點在于能夠計及多種不等式約束，計算結(jié)果較精確，魯棒性強，收斂性好。同時其缺點也很明顯，如需逐點計算雅可比矩陣的所有特征值導致計算步驟繁瑣且計算量過大。根據(jù)Hurwitz判據(jù)，通過特征多項式系數(shù)構(gòu)成的一系列Hurwitz行列式符號的變化來搜尋Hopf分岔點，該系數(shù)構(gòu)造困難且不易編程實現(xiàn)，這些不足都限制了連續(xù)法的在線應用［16］。

文獻［17］將中心流形理論分別與直接求周期解法和后繼函數(shù)法相結(jié)合，搜索到系統(tǒng)的不穩(wěn)定點并判別其Hopf分岔類型。同倫連續(xù)法理論上對迭代初值的選取無任何限制，可利用其全局搜索能力提高解的收斂性。文獻［18］針對直接法對初值要求高的缺點，將同倫法與連續(xù)法結(jié)合求解文獻［12］構(gòu)造的拓展系統(tǒng)，利用該方法對初值要求不高的特點，提高了計算效率。文獻［19］在文獻［18］的基礎(chǔ)上采用割線法代替切線法，由于未涉及矩陣求逆運算，從而使得計算量進一步減小。同時運用自動步長控制策略，防止追蹤路線偏離解流形，保證了計算精度和速度并確保校正步有效執(zhí)行。第三種計算方法是非線性規(guī)劃法［20］，它是一種優(yōu)化算法。該算法的目標是在滿足系統(tǒng)各種約束的情況下如何確定電力系統(tǒng)負荷增量的最大值。其優(yōu)勢在于計及各種約束條件，考慮全面且符合實際，從而使結(jié)論更具說服力，缺點是計算量過大［21］。

文獻［22］在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上提出了一種基于2階段家族保護的遺傳算法。該算法考慮了諸如系統(tǒng)阻尼、PV節(jié)點無功出力、勵磁電壓、節(jié)點電壓等更為切合實際的不等式約束，以最小奇異值H為監(jiān)測指標，同樣克服了直接法對初值選取要求高的缺點。另一方面通過兩個階段即第一階段的家族內(nèi)部選擇和第二階段的家族間選擇進行逐層淘汰，選出家族內(nèi)部優(yōu)秀的個體，進而得到種群里最優(yōu)秀的家族。該優(yōu)化算法克服了傳統(tǒng)遺傳算法收斂速度慢和易早熟的缺點，使得其收斂速度和計算精度都得到了極大的提高。

對于三者的關(guān)系，文獻［23］指出，直接法中也用到了連續(xù)潮流，而直接法從本質(zhì)上講是非線性規(guī)劃法在不考慮各種約束條件下的一種特例。連續(xù)法與非線性規(guī)劃法相結(jié)合，既避免了常規(guī)非線性優(yōu)化算法無法說明如何由現(xiàn)狀運行點向最優(yōu)運行點過渡的缺陷，又克服了連續(xù)法固定發(fā)電機調(diào)度模式使計算結(jié)果偏于保守的不足。

3.2 Hopf分岔邊界參數(shù)分析

參數(shù)分析法的要點在于通過選取不同的參數(shù)從而得到不同情況下的平衡解曲線以及分岔邊界，分析不同參數(shù)對于系統(tǒng)電壓穩(wěn)定裕度的影響，進而為提高系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定裕度提供較為全面而合理的參考。參數(shù)分析法可分為單參數(shù)分析法和多參數(shù)分析法，其中前者最為常用。

文獻［24］以風電廠無功功率為參數(shù)，指出吸收過多的無功會使系統(tǒng)的動態(tài)電壓穩(wěn)定域大大降低。繼而又以風電廠的有功和無功為參數(shù)，在兩參數(shù)下得出結(jié)論:電廠吸收的無功增加，導致在發(fā)出較少的有功時就可能引發(fā)Hopf分岔。為避免該分岔的發(fā)生，應在無功消耗較大時限制有功輸出，即Hopf分岔的消失是以犧牲電廠有功出力為代價的。

文獻［25］研究了傳輸線路導納參數(shù)對系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響，指出該參數(shù)對系統(tǒng)電壓水平影響較小，系統(tǒng)分岔邊界電壓水平隨該參數(shù)的變化不大。傳輸線路導納的增加使得Hopf分岔延后，增加了系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定裕度。

靜止無功補償器(SVC)作為靈活的動態(tài)無功補償裝置，在實際應用中可有效控制分岔。文獻［26］運用了含SVC的兩參數(shù)分析法，并分別以SVC的放大倍數(shù)Kr和電廠有功功率P、SVC參考電壓Uref和電廠有功功率P為參數(shù)，研究它們對系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響并指出:隨著Kr和P以及Uref和P的同時增加，系統(tǒng)電壓U得到提高，Hopf分岔被延遲，SVC的補償能力提高，進而電廠有功輸出能力得到提高。同時又對二者做了比較:當Kr增加到一定程度時，P近似不變，說明通過放大倍數(shù)提高有功輸出的能力有限;而Uref和P近似成線性增長關(guān)系，說明增大參考電壓可大幅度提高有功輸出能力，從而指出參考電壓在提高電壓穩(wěn)定性方面的能力要優(yōu)于放大倍數(shù)。最后，將Uref、P和Kr三者共同作為分岔參數(shù)，進行了三參數(shù)分析，仿真表明三參數(shù)分析對于系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的提升效果更加明顯，有功功率的輸出能力較兩參數(shù)法有了顯著的提高，為今后開展2個以上更多參數(shù)分析方法的研究提供了參考和借鑒。

以上方法由于沒有充分考慮到負荷的多樣性所以存在一定的局限性［27］。文獻［28］和［29］則以負荷參數(shù)為分岔參數(shù)進行分析，計算平衡點對應的Hopf分岔面的近似法向量，作為負荷參數(shù)的調(diào)節(jié)方向?qū)ω摵蛇M行調(diào)節(jié)，用于修正負荷增長模式。該方法能夠有效調(diào)節(jié)負荷參數(shù)并檢查負荷穩(wěn)定邊界指標，對于前述方法而言是一個有效的補充。

3.3 Hopf分岔邊界控制實施

Hopf分岔先于鞍結(jié)點分岔發(fā)生［30］，所以通過對其實施有效的控制從而提升系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性就顯得尤為重要。實施控制的目的主要有以下3點:改變分岔類型、延遲分岔的發(fā)生以及對分岔進行消除。其主要方法有線性和非線性狀態(tài)反饋法［31］、高通濾波器法［32］、諧波平衡法、規(guī)范形法等。

由于亞臨界 Hopf分岔的危害更大，所以文獻［33］設(shè)計了二次非線性控制器，改變了非線性系統(tǒng)的分岔特性，從而改變了分岔類型，將亞臨界Hopf分岔控制為危害相對較小的超臨界Hopf分岔。

在眾多的分岔控制方法中，最為常用的是狀態(tài)反饋控制。該方法針對少數(shù)變量甚至單個變量，通過對參數(shù)的合理選擇，即可達到通過單一變量穩(wěn)定目標態(tài)，甚至控制分岔的目的。

文獻［9］采用線性狀態(tài)反饋控制，選取發(fā)電機轉(zhuǎn)子角速度為反饋變量，適當調(diào)節(jié)控制器的增益Ks能夠有效延遲或消除Q-V曲線上半支的亞臨界Hopf分岔現(xiàn)象。通過仿真得知，亞臨界Hopf分岔點的消除比其延遲需要消耗更多的能量，控制器的增益Ks繼續(xù)增大則可以徹底消除曲線上半支的Hopf分岔，從而使系統(tǒng)能夠運行至鞍結(jié)分岔點。文獻［8］在此基礎(chǔ)上對線性狀態(tài)反饋控制和靜止無功補償器(SVC)的作用進行了比較，指出SVC提高了電壓水平，延遲了Hopf分岔的發(fā)生，但不能消除該分岔;線性狀態(tài)反饋控制消除了Hopf分岔，但不能提高電壓水平。最后該文將二者結(jié)合，在消除Hopf分岔的同時，使系統(tǒng)的電壓水平得到提高。

文獻［34］和采用高通濾波器法對Hopf分岔進行控制，該方法是一種擴充的狀態(tài)反饋法，利用分岔反控制原理，引入新分岔，可應用于高維系統(tǒng)并具有一定的魯棒性。其優(yōu)勢在于能夠?qū)Σ粍狱c進行保持和自動跟隨，且易于設(shè)計控制器。該方法能有效消除Hopf分岔，使系統(tǒng)穩(wěn)定域有所增加，但負荷裕度卻減小了，即系統(tǒng)的載荷能力在一定程度上受到了影響。因此，如何在消除Hopf分岔的同時兼顧系統(tǒng)的負荷裕度還有待深入研究。

3.4 Hopf分岔理論實際應用

文獻［35］將Hopf分岔理論應用于小水電并網(wǎng)的電壓穩(wěn)定研究并指出:增大水輪機輸入機械轉(zhuǎn)矩可有效延遲鞍結(jié)點分岔，也可在一定程度上延遲Hopf分岔;增大勵磁系統(tǒng)增益對延遲鞍結(jié)點分岔效果甚微，對Hopf分岔基本上無影響。繼而指出，在豐水期使機組處于滿發(fā)狀態(tài)，有利于提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性。

文獻［36］將Hopf分岔理論應用于風電場電壓穩(wěn)定的評估并指出，因風速變化引起的風電輸送功率變化對系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響明顯，其主要影響因素是風電的波動隨機性和風電穿透功率極限(即電網(wǎng)接納風電輸送功率的極值)。風電穿透功率極限點又是分岔點，當輸出功率進一步增大穿越該點時，將導致系統(tǒng)電壓崩潰。

文獻［37］將Hopf分岔理論應用于HVDC的交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的分析中，指出直流系統(tǒng)的動態(tài)特性和動態(tài)負荷的動態(tài)特性相互作用可能引起交直流系統(tǒng)因發(fā)生Hopf分岔而失去電壓穩(wěn)定。該文還研究了直流控制系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的影響，進而指出比例環(huán)節(jié)的增益影響較大，而積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)影響較小。

文獻［38］研究不同的開關(guān)頻率對PWM控制升壓變換器中的Hopf分岔的影響并指出:隨著開關(guān)頻率的減小，PWM控制升壓變換器更易于發(fā)生Hopf分岔，并以低頻振蕩的形式表現(xiàn)出來。

4 結(jié)語

對Hopf分岔的定義、類型及判別方法進行了簡要介紹，并結(jié)合其在電壓穩(wěn)定領(lǐng)域的階段性研究成果，分別從計算方法、參數(shù)分析、控制實施和實際應用四個方面對其在該領(lǐng)域中的應用進行了詳盡的闡述和分析，展現(xiàn)出當今在這一領(lǐng)域所進行的研究的整體脈絡(luò)、最新動態(tài)及發(fā)展方向。

然而，在搜集資料的過程中發(fā)現(xiàn)目前對于該領(lǐng)域的研究尚且存在諸多問題，具體表現(xiàn)如下:

1)研究大多將靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔割裂開來，而電力系統(tǒng)是一個非線性動力系統(tǒng)，因而有必要把二者結(jié)合起來，以便更加深入的解釋電壓失穩(wěn)的本質(zhì)。

2)能夠兼顧在線實際應用并全面考慮各種條件約束的算法并不多見，今后應致力于對能夠兼顧這兩者的算法進行開發(fā)。

3)研究多集中于單參數(shù)分析法，所以多參數(shù)分析法是今后的一個重要發(fā)展方向。

4)研究多集中于線性/非線性反饋控制，且相應控制器的設(shè)計及其應用不夠廣泛，這也是值得改進之處。

5)動態(tài)分岔理論在電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定領(lǐng)域中的實際應用尚有諸多不足之處。今后應拓寬理論的應用范圍，并注重運用理論解決具體實際問題的能力。

［1］ Driesen J，Belmans R.Distriuted generation:challenges and possible solutions［C］//2006 IEEE Power Engineering Society General Meeting Montreal.Cannda，2006.

［2］ Dobson I.Observation on the geometry of saddle-node bifurcation and voltage collapse in electrical power systems［J］.IEEE Trans on Circuit and Systems，1992，39(3):240-243.

［3］ Dobson I，Lu L.New method for computing a closest saddlenode bifutcation and worst case load power margin for voltage collapse in electrical power systems［J］.IEEE Trans on Automatic Control，1993，8(3):905-913.

［4］ Dobson I，Lu Li-ming.Computing an optimum direction in control space to avoid saddle-node bifutcation and voltage collapse in electrical power systems［J］.IEEE Trans on Automatic Control，1992，37(10):1616-1620.

［5］劉麗霞，曹國云，劉樹勇，等.電壓穩(wěn)定分析中潮流方程鞍結(jié)點分岔與極限誘導分岔的比較研究［J］.華北電力技術(shù)，2010(10):1-4.

［6］ Tan C W，Varghese M，Varaiya P，et al.Bifurcation chaos，and voltage collapse in power syst-ems［J］.Proceeding of IEEE，1995(11):1484-1496.

［7］ Sedyel R.From equilibrium to chaos，practical bifurcation and stability analysis［M］.Amsterdam:Elsevier Science Publishing，Co.Inc.，1988.

［8］劉繼廣，王海洋，鐘利軍，等.風電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的Hopf分岔控制仿真［J］.吉林大學學報:理學版，2013，51(1):111-115.

［9］李 升，蔡克紅，丁 理.電力系統(tǒng)Hopf分岔反饋控制仿真研究［J］.華東電力，2011，39(10):1646-1650.

［10］ Roose D，Hlavacek L.A direct method for the computation of Hopf bifurcation points［J］.SIAMJ Applied Mathematics，1985，45，879-894.

［11］安瑋春，張慶靈，邢 偉.基于Moore-Spence擴展方程電力系統(tǒng)Hopf分岔點的降階新算法［J］.繼電器，2007，35:359-364.

［12］ Chiang H D，Jumeau R J.A more efficient formulation for compulation of the maximum loading in electric power system［J］.IEEE Trans on Power Systems，1995，10(2):635-646.

［13］莊慧敏，肖 建.直接計算動態(tài)電壓穩(wěn)定Hopf分岔點的方法［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2009，33(17):91-95.

［14］ Ajjarapu V.Application of bifurcation and continuation methods for the analysis of power system dynamics［C］//Proc.of 4th IEEE Conf on Control Applications，Albany:1995，52-56.

［15］ Hiskens I.A analysis tool for power systems contending with nonlinearities［J］.Proc.of the IEEE，1995，83(11):1973-1987.

［16］ Canizares C A，Alvarado F L.Point of callapse and continuation methods for large AC/DC sys-tems［J］.IEEE Trans on Power Systems，1993，7(1):1-8.

［17］李鵬松，陳書吉，呂 雪.基于解析方法電力系統(tǒng)的Hopf分岔類型［J］.吉林大學學報:理學版，2012，50(4):701-704.

［18］吳金龍，張 焰.一種求解電力系統(tǒng)動態(tài)電壓穩(wěn)定Hopf分岔點的新型混合方法［J］.東北電力大學學報，2008，28(4):18-24.

［19］柳 偉，顧 偉，徐荊州.基于預測-校正的同倫延拓法追蹤高維Hopf分岔點研究［J］.電力自動化設(shè)備，2009，29(9):65-69.

［20］ Jarjis J，Galiana F D.Quantitative analysis of state stability in power networks［J］.IEEE Transactions on power Apparatus and Systems，1981，100(1):318-326.

［21］ Lerm A P，Canizares A C.Multi-parameter bifurcation analysis of power systems［R］.Cleveland:North American Power Symposium.NAPS，1998.

［22］陳 剛，茍 旭，張繼紅.基于2階段家族保護遺傳算法的電壓穩(wěn)定霍普夫分岔控制［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2011，35(1):53-58.

［23］ Rene J J，Chiang H D.Parameterizations of load-flow equation for eliminating conditioning load flow solution［J］.IEEE Trans on Power Systems，1993，8(3):1004-1012.

［24］李 季，馬幼捷，周雪松.基于延拓法的風電系統(tǒng)電壓Hopf分岔研究［J］.沈陽農(nóng)業(yè)大學學報，2011，42(1):125-127.

［25］李 季，馬幼捷，周雪松.風電系統(tǒng)參數(shù)對Hopf分岔影響的仿真［J］.吉林大學學報:理學版，2012，50(5):998-1002.

［26］李 季，周雪松，馬幼捷.風電系統(tǒng)多參數(shù)霍普夫分岔分析［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2012，36(11):53-57.

［27］ Yuri V Makarov.A general method for small signal stability analysis［J］.IEEE Trans on Power System，1998，53(3):979-985.

［28］戴 博，張建華，劉 軍.動態(tài)電壓振蕩型失穩(wěn)邊界分析與算法研究［J］.中國電機工程學報，2008，28(25):44-49.

［29］王紹部，江全元，曹一家.多機電力系統(tǒng)Hopf分岔的在線控制［J］.電力系統(tǒng)自動化，2008，32(11):1-5.

［30］ Radunskaya A，Williamson R，Yinger R.A dynamic analysis of the stability of a network of induction generators［J］.IEEE Trans on Power Systems，2008，23(2):657-663.

［31］ Moiola J L，Colantonio M C，Donate P D.Analysis of static and dynamic bifurcation from a feedback systems perspective［J］.Dyn Stab Syst，1997，12(2):293-317.

［32］ Moiola J L，Desages A C，Romagnoli J A.Degenerate Hopf bifurcations via feedback system theory higher-order harmonic balance［J］.Chem Eng Sci，1991，46:1475-1490.

［33］李鵬松，陳書吉，呂 雪，等.單參數(shù)電力系統(tǒng)亞臨界Hopf分岔控制［J］.吉林大學學報:理學版，2013，51(4):618-622.

［34］馬幼捷，李小雙，李 季，等.基于高通濾波器技術(shù)的電力系統(tǒng)霍普夫分岔控制［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2011，35(7):76-80.

［35］李 升，王家華，王海雯，等.小水電并網(wǎng)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定分岔研究［J］.中國農(nóng)村水利水電，2013(1):152-155.

［36］趙義術(shù)，馬 樂，張 彥，等.基于分岔理論的風電場電壓穩(wěn)定性評估［J］.華北電力大學學報，2011，38(3):36-41.

［37］莊慧敏，肖 建.交直流系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的Hopf分岔分析［J］.高電壓技術(shù)，2009，35(3):699-704.

［38］王發(fā)強，馬西奎，閆 曄.不同開關(guān)頻率下電壓控制升壓變換器中的 Hopf分岔分析［J］.物理學報，2011，60(6):1-8.