賀志華，董前民，王少雷，李 敏

(中國計量學院光學與電子科技學院，浙江 杭州 310018)

引言

隨著LED技術的發(fā)展，LED長壽命、環(huán)保和節(jié)能等優(yōu)點使得它的應用領域越來越廣，在道路照明上正逐步代替?zhèn)鹘y(tǒng)高壓鈉燈，具有巨大的發(fā)展?jié)摿1-2]?；贚ED的發(fā)光特性，如將其發(fā)出的光直接照在地面上，將形成照度極不均勻的大圓斑，不僅光能利用率低，還對遠處的行人和車輛易造成眩光，增加交通事故的發(fā)生率，因此在照明系統(tǒng)中進行必要的二次光學設計才能充分合理地利用LED發(fā)出的光。由于二次光學設計關注的是能量的分配問題，因此非成像光學是設計的理論基礎[3-5]。

從原理來看，自由曲面設計方法歸結(jié)為試錯法[6]和剪裁法[7]。試錯法多憑設計人員經(jīng)驗，耗時過長；剪裁法于2002年由H.Ries和J.Muschaweck[8]提出，但該方法仍有多限制，不僅不能形成所需高配光效果的面型，且計算時間很長。根據(jù)我國《城市道路照明設計標準》的要求[9]，為將光盡量均勻投射到路面上，道路所需的理想配光是蝙蝠翼的矩形配光。目前常見的“花生米”路燈透鏡?；诰W(wǎng)格法[3,10]建模，該法雖較直觀，但所得透鏡要使配光的均勻度保持0.8以上，前提條件必須是LED發(fā)光面尺寸相對透鏡本身尺寸小5倍以上，即點光源，若尺寸大了，其均勻度和有效照明區(qū)域均明顯變小，而現(xiàn)在大功率LED多芯片集成封裝多采用板上芯片封裝形式(COB)，其尺寸已不能忽視。本文將采用精度更高的偏微分方程法，為解決該方法的可解性問題，這里引入合適的差分格式數(shù)值求解自由曲面面型的偏微分方程，其配光范圍和尺寸大小可根據(jù)需要自由設定，且所得透鏡在對大尺寸面光源配光時仍能保持較好的配光效果，應用上采用模塊化陣列[11]，合理排列燈具，增加了其真實性。

1 自由曲面的構(gòu)建原理與求解

本文采用偏微分方程法求解自由曲面透鏡，其思路如下：首先推導光線與自由曲面間的相互關系，建立面型的偏微分方程，其次建立光源空間與被照面間的能量映射關系，進而化為一階擬線性偏微分方程，最后采用有限差分法數(shù)值求解透鏡面型，所得面型數(shù)據(jù)導入SolidWorks建立實體模型。

1.1 光線與自由曲面的偏微分方程推導

如圖1所示，T為所求透鏡表面上的任一點，φ為入射光線OT與z軸夾角，θ為OT在x-y平面上投影與x軸的夾角，因此入射光線的矢徑為：

OT=ρ(φ,θ)I=ρ(φ,θ)(sinφcosθ,sinφsinθ,cosφ)

(1)

式中ρ(φ,θ),I分別為矢徑OT的大小和方向。

圖1 折射原理圖Fig.1 Refraction schematics

由微分幾何原理，自由曲面在T點的法向的單位矢量應是OT分別在θ和φ方向上的切矢量的叉乘，即：

(2)

式中，ρθ,ρφ分別為矢徑大小在θ和φ方向上偏微分；Iθ,Iφ分別為矢徑方向在θ和φ方向上偏微分。

令出射光線的單位矢量為O=TM/|TM|,nI，nO為入射和出射環(huán)境介質(zhì)的折射率，再結(jié)合Snell定律的矢量式：

(3)

得到各分量間的關系式如下：

(4)

由式(1)、式(2)、式(4)化簡得:

(5)

1.2 能量映射關系的推導

為使光源發(fā)出的光投射到路面形成矩形光斑，需建立光源空間和照明面間的映射關系。設光源發(fā)出的總光通量為Ф，預形成的均勻矩形照明面的長(道路方向)為L，寬(垂直道路方向)為W。由能量守恒，理論上在照明面上的平均照度Ev=Ф/LW。如圖2所示，對光源輻射角和照明面的網(wǎng)格劃分建立相應的映射關系，即圖中的黑影的一一對應關系。因此要形成矩形光斑，經(jīng)相同φ角和矢徑大小下的環(huán)帶射出的光線應恰好落在一矩形的邊上。設該矩形在第一象限的頂點坐標為(X，Y)，且X/Y=W/L，則由能量守恒關系式

(6)

得到：

(7)

式中φm為光源最大半發(fā)光角。

圖2 LED光源與照明面能量映射關系Fig.2 Energy mapping between LED source and lighting surface

在第一象限內(nèi)，對路面上的點M有，當θ∈[0,π/4]時，光應投射到矩形的長上，即x=X，y/Y=θ/(π/4)；當θ∈[π/4,π/2]時，光應投射到矩形的寬上，即y=Y，x/X=[(π/2)-θ]/(π/4)。綜合得在第一象限內(nèi)LED發(fā)出的光線在投射到路面上點M的坐標為：

(8)

令f[φ,θ,ρ(φ,θ)]=ρφ+ρθ，則化成一階擬線性雙曲型偏微分方程：

(9)

將φ和θ分別劃分成J份和K份，組成(φj，θk)網(wǎng)格線，運用Runge-Kutta法和Lax-Wendroff[12]差分格式(其截斷誤差只有ο[Δθ2+Δφ2)]即可求得其余矢徑大小，再通過球坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)換便得到所求面型的數(shù)據(jù)。

2 仿真結(jié)果與分析

2.1 結(jié)果仿真

我國城市路燈的安裝為盡量避免眩光，一般采用12m左右的高桿燈。這里預在10m高下形成道路方向120°配光，垂直道路方向75°配光的均勻照明區(qū)域。根據(jù)以上原理，透鏡材料選用PMMA，經(jīng)matlab編程求出1/4路燈透鏡的面型(如圖3(a)所示)，計算時間低于1s。再通過SolidWorks三維建模軟件構(gòu)建透鏡的實體模型(如圖3(b)所示)，其長×寬×高的尺寸為28.1mm×14.8mm×10.6mm。

圖3 路燈透鏡模型Fig.3 Model of road lamp lens

將所得透鏡模型導入到Tracepro光學仿真軟件中進行系統(tǒng)仿真分析，采用朗伯體光源，發(fā)光面尺寸SLED=1.3mm×1.3mm，對該透鏡而言可視為點光源，光通量設為100lm，光線為50萬條進行追跡，仿真結(jié)果如圖4所示。

由仿真結(jié)果知，有效照明區(qū)域基本呈矩形分布，約37m×15m，即道路方向和垂直道路方向上配光角分別約122°和74°，且其照度均勻度分別U∥約為

圖4 基于1.3mm×1.3mm點光源的仿真照度圖和光強分布圖Fig.4 Illuminance distribution & Intensity distribution of the system based on 1.3mm×1.3mm point source

84%和U⊥約為92%，整個區(qū)域照度均勻度Uall也在85%以上，且被照面接收的光通量為89.2lm，即能量利用率E=89.2%。由于放樣和計算過程不可避免地帶入些許誤差，至其在對角方向上出現(xiàn)最大值，但其值僅僅比平均值高出約1%，對均勻度的影響幾乎可以忽略。

2.2 適用性分析

為比較本方法與網(wǎng)格法的優(yōu)劣，用圖3(b)透鏡和基于網(wǎng)格法的“花生米”透鏡(中心高10mm)分別對點光源系統(tǒng)(SLED=1.3mm×1.3mm)和面光源系統(tǒng)(SLED=6.5mm×6.5mm)配光，并比較前后的配光效果，效果如圖5所示。結(jié)果顯示，圖3(b)透鏡對于點光源和面光源系統(tǒng)配光后，照明效果均較好，二者有效照明區(qū)域前后變化較小，且Uall均在80%以上；而“花生米”透鏡對點光源和面光源系統(tǒng)配光后，盡管前者的配光效果也較好(Uall>80%)，但是，后者的有效照明區(qū)域明顯縮小(縮小近一半)，且Uall也明顯降低，效果明顯較差。因此，相對基于網(wǎng)格法而言，基于本文方法得到的透鏡對光源系統(tǒng)配光時，光源尺寸對配光效果的影響程度要小得多，這也使得基于此方法的透鏡，更具有實用價值。

圖5 與“花生米”透鏡的配光效果比較Fig.5 Compared with “peanuts”lens in the light distribution effect

2.3 照明方案分析

因單顆光源能量有限，這里燈具采用50顆5×10式透鏡模組〔圖6(a)〕，單顆光通量100lm的LED光源(1.3mm×1.3mm)，將上述光強分布的.ies文件導入場景仿真軟件DIALux中，設置雙柏油路面共有6機動車道、2非機動車道和中間隔離帶，共16m寬，路燈模組以雙列并排式安裝，安裝高度為10m，其模擬效果如圖6(b)所示。

圖6 透鏡模組及道路照明效果Fig.6 Lens modular and the road lighting effect

圖7等照度圖顯示路面最小照度、最大照度、平均照度分別為6.37lx、9.91lx、7.67lx，均勻度0.83，且路邊邊緣也有一定亮度，因此周邊照度系數(shù)為1，均符合《標準》要求。

圖7 路面的等照度圖Fig.7 Equiluminous on road surface

3 結(jié)論

本文運用偏微分方程法解決LED道路照明復雜的二次配光問題，充分利用光源空間和被照面間的能量映射關系，結(jié)合Snell定律和微分幾何原理建立透鏡模型的偏微分方程，基于Lax-Wendroff差分格式數(shù)值求解自由曲面面型，且所建透鏡配光范圍和尺寸可根據(jù)需要自由設定。建立的透鏡模型在Tracepro中對LED照明系統(tǒng)仿真。結(jié)果顯示，10m遠處得到的矩形照明區(qū)域，與預設范圍吻合度很高，且整體均勻度優(yōu)于0.85，能量利用率高達89.2%；在對LED擴展光源照明系統(tǒng)配光時，其被照區(qū)域和整體均勻度(>0.80)均未見明顯減小，較基于網(wǎng)格法的“花生米”透鏡，基于本文方法的透鏡對LED照明系統(tǒng)配光時，對光源尺寸要求要寬松得多，因此，可適用性更廣。用所得透鏡組成的5×10式模組路燈系統(tǒng)在DIALux中模擬實際道路照明情形，結(jié)果顯示路面的均勻度為0.83，周邊照度系數(shù)為1，均高于《城市道路照明設計標準》要求。因此，本方案在保持偏微分方程法精度高，速度快等優(yōu)勢的同時，也解決了偏微分方程法的可解性問題，且降低了設計難度和復雜度，增加了結(jié)果的通用性，這對提高LED在道路照明上的應用水平具有現(xiàn)實的參考意義。

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