冀常鵬 ，姬紅紅 ，郭偉平

JI Changpeng1，2,JI Honghong1,GUO Weiping1

1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 研究生院，遼寧 葫蘆島 125105

2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105

1.Institute of Graduate,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

2.School of Electronic and Information Engineering,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

1 引言

隨著視頻會議、語音通信技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展以及人們生活水平的日益提高，對通信方式和通信質(zhì)量的要求也在不斷提高。仿射投影算法在無線信道均衡器、回聲抵消、噪聲消除和語音增強(qiáng)[1]等方面有著廣泛的應(yīng)用。由于通信環(huán)境的多樣性、復(fù)雜性和自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)，對所采用的仿射投影算法（APA）的性能要求也很高。

歸一化最小均方誤差（NLMS）僅僅根據(jù)當(dāng)前的遞歸方程更新權(quán)重而APA是根據(jù)最新的K個遞歸值和觀察值更新權(quán)值，所以APA可以看成是NLMS的規(guī)范化[2]。對于經(jīng)典的APA，步長同時(shí)控制著算法的收斂速率和穩(wěn)態(tài)誤差。由文獻(xiàn)[3-4]可知，為了滿足收斂速度快和穩(wěn)態(tài)誤差小這對相互矛盾的要求，已根據(jù)不同的應(yīng)用要求提出了許多變步長的改進(jìn)方法。然而，在這些APA中秩虧矩陣需要求逆。為了避免秩虧矩陣求逆需要引入正則化因子，它為算法數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性提供了保證。文獻(xiàn)[5]中，提出了變正則化的仿射投影算法。相對于傳統(tǒng)的APA假設(shè)后驗(yàn)誤差為0，文獻(xiàn)[5]考慮了噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，為了減小自適應(yīng)濾波器的真實(shí)值與估計(jì)值之間的誤差，文中假設(shè)后驗(yàn)誤差等于噪聲方差。因此將噪聲的統(tǒng)計(jì)特性考慮到自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)中，利用瞬時(shí)估計(jì)推導(dǎo)出最佳的正則化因子。通過逐漸調(diào)整正則化因子可以改善收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，正則化因子的應(yīng)用使得APA對外界擾動和模型不確定性具有魯棒性。文獻(xiàn)[6]提出可變階數(shù)的APA即E-APA，文中利用穩(wěn)態(tài)誤差的瞬時(shí)值，通過比較輸出均方誤差與閾值的大小來自動調(diào)整當(dāng)前的階數(shù)。E-APA不僅可以很可觀地改善穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度之間相互矛盾的現(xiàn)狀，而且由于輸入矢量的數(shù)目減少故其整體計(jì)算量減小。另外在無法獲得確切的噪聲方差對噪聲進(jìn)行評估和抑制的情況下，E-APA也具有很強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[7]的不定階變步長仿射投影算法在調(diào)整投影階數(shù)時(shí)，通過不斷減小迭代步長的方式，改善了收斂速率和穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能，同時(shí)還能降低算法復(fù)雜度。由于階數(shù)越大收斂越快復(fù)雜度也越大，步長越大收斂越快穩(wěn)態(tài)誤差也越大。

APA通過重復(fù)利用信號樣值的方法，在輸入數(shù)據(jù)相關(guān)性較高時(shí)有很快的收斂速度。然而，APA在迭代過程中計(jì)算復(fù)雜度較高，穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能也比NLMS算法要差。變階數(shù)和變步長的相互調(diào)節(jié)難以達(dá)到最佳匹配狀態(tài)，所以對算法性能改善程度不高。而對于單純變步長算法的復(fù)雜度很高[8]。本文將從變階和變正則化因子兩方面出發(fā)推導(dǎo)出一種新的仿射投影算法，并驗(yàn)證其性能的優(yōu)越性。

2 傳統(tǒng)的APA模型

自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)為 w(n)=[w0(n)，w1(n)，…，wL-1(n)]T，n時(shí)刻的輸入信號向量為 x(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-L+1)]T，期望響應(yīng)信號為 d(n)=[d(n)，d(n-1)，…，d(n-K+1)]T，K為濾波器的投影階數(shù)，L代表FIR系統(tǒng)的階數(shù) A(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-K+1)]T。 wopt是待估計(jì)的未知矩陣，設(shè)w(n)為n時(shí)刻對wopt的估計(jì)值，v(n)為噪聲信號。則仿射投影算法的基本公式[5-7]如下：

經(jīng)典的濾波器權(quán)系數(shù)的更新公式為：

其中I為K×K的單位矩陣。誤差公式為：

(·)T為矩陣的轉(zhuǎn)置。μ為步長因子，e(n)為信號誤差，后文中也稱為先驗(yàn)誤差。δ為正則化因子，它不僅可以有效避免秩虧矩陣AT(n)A(n)的倒置，也對傳統(tǒng)仿射投影算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的調(diào)節(jié)發(fā)揮著重要的作用。

3 算法的優(yōu)化

一般傳統(tǒng)算法的后驗(yàn)誤差認(rèn)為為零，即忽略噪聲的存在。在此將噪聲的統(tǒng)計(jì)特性考慮到自適應(yīng)過程中。而且通過調(diào)節(jié)正則化因子來盡量減小穩(wěn)態(tài)誤差以增加收斂的穩(wěn)定性[9]。通過調(diào)節(jié)投影階數(shù)來加快算法的收斂速度、適時(shí)地減少計(jì)算的復(fù)雜度。雖然算法階數(shù)越大，收斂速度越快，但此時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差也越大，而通過變正則化因子和可變階數(shù)的協(xié)同調(diào)節(jié)，使改進(jìn)的算法具有較好的性能。

為了增加此算法的穩(wěn)定性，減小穩(wěn)態(tài)誤差，用可變的δ(n)來修正正則化因子[5]，所以式（2）就可以表示為：

w(n)=w(n-1)+μA(n)(AT(n)A(n)+δ(n)I)-1e(n)（4）其中步長為1，設(shè) S(n)=(AT(n)A(n)+δ(n)I)-1，所以 w(n)=w(n-1)+A(n)S(n)e(n)，設(shè) e(n)為先驗(yàn)誤差矢量，ε(n)為后驗(yàn)誤差矢量，其表達(dá)式為ε(n)=d(n)-AT(n)w(n)。由式（4）可得先驗(yàn)誤差和后驗(yàn)誤差的關(guān)系為ε(n)=(I-AT(n)·A(n)S(n))e(n)。把e(n)代入ε(n)可得到后驗(yàn)誤差的表達(dá)式為ε(n)=AT(n)(wopt-w(n))+v(n)。理想情況下后驗(yàn)誤差應(yīng)該為零，事實(shí)上，噪聲信號是存在的，很明顯只有wopt-w(n)=0，即wopt=w(n)才能使后驗(yàn)誤差最小。因此有ε(n)=v(n)。對其求一階范數(shù)的平方再求期望得E{||ε(n)||2}=E{||v(n)||2}。即

利用特征值的分布化簡式（5），把格拉姆矩陣寫成特征值分布的矩陣形式：

Λ(n)是由AT(n)A(n)的特征值組成的對角矩陣，U(n)是AT(n)A(n)的特征向量。所以

設(shè)一矩陣的第 k 個對角元素為(δ(n)/(λk(n)+ δ(n)))2，則該矩陣的對角矩陣為：

把式（6）～（8）代入式（5）可得后驗(yàn)誤差與噪聲的關(guān)系為：

上式的推導(dǎo)是建立在后驗(yàn)誤差和噪聲矢量相等的基礎(chǔ)上的，它高度依賴于矩陣AT(n)A(n)的特征值分布。因此不可能利用這種方法來獲取可變的正則化因子。但可以用一些簡單易行的方法進(jìn)行逼近。由于AT(n)A(n)的第k個對角元素是輸入信號的二階范數(shù)[5]，通過近似推理可以得到：

由式（11）可知，在自適應(yīng)算法的開始階段，先驗(yàn)誤差e(n)的值很大，而此時(shí)起主要作用的是E{||e(n)||2}，所以E{||e(n)||2}的值也很大，使得δ(n)值很小，所以收斂速度很快。而在自適應(yīng)進(jìn)程中隨著算法逐漸地趨于穩(wěn)定E{||e(n)||2}的影響逐漸減小，而E{||v(n)||2}的改變量增大，所以此時(shí)δ(n)的值主要受 E{||v(n)||2}的影響，所以δ(n)不斷增加，自適應(yīng)濾波器的系數(shù)開始緩慢調(diào)節(jié)，收斂速度趨于穩(wěn)定。

一般情況下，由于 ||e(n)||＞||v(n)||，所以 δ(n)≥0 。當(dāng)算法開始收斂時(shí)，||v(n)||和||e(n)||之間的差距越來越小，δ(n)將會出現(xiàn)負(fù)值[10]。為了避免 δ(n)＜0 ，可取 δ(n)=δ(n-1)。且在實(shí)際計(jì)算中可用瞬時(shí)逼近的方法來計(jì)算和其中為矩陣的跡，α 是遺忘因子為一常數(shù)，取值為0.998，且有了變正則化因子的保證，穩(wěn)態(tài)誤差方面可以有所緩解，而快速的收斂速度是算法收斂性能恒久不變的追求，所以本文繼續(xù)探討收斂速度的問題。在仿射投影算法中，投影階數(shù)越大，收斂速度越快，但穩(wěn)態(tài)誤差越大，計(jì)算復(fù)雜度越高?？勺冸A數(shù)的仿射投影算法根據(jù)穩(wěn)態(tài)均方誤差來調(diào)整當(dāng)前階數(shù)，不僅能有效解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)失調(diào)的矛盾[11]，還可以有效地降低算法的計(jì)算量。

采用文獻(xiàn)[6]的方法求取其階數(shù)Kn，式中ηn是第n次迭代過程中的誤差上限，θn是第n次迭代過程中的誤差下限。Kn的取值范圍1≤Kn≤Kmax，Kmax為最大投影階數(shù)，Kmax≤L。在算法計(jì)算過程中，ηn和θn的計(jì)算公式采用文獻(xiàn)[6]中的表達(dá)式計(jì)算，即2)/(2-μ(n-1))。但是此算法要求步長始終為1，所以可得

由式（12）可以看出，在迭代的初始階段系統(tǒng)誤差很大，使得正則化因子較大，而且初始階數(shù)較高，因此收斂速度較快；當(dāng)濾波算法收斂后，階數(shù)隨著需要有所降低，失調(diào)量較小，誤差降低算法較穩(wěn)定。在迭代過程中本文算法的階數(shù)與傳統(tǒng)APA算法相比更具靈活性，使得在開始階段計(jì)算量稍大但也低于傳統(tǒng)APA，但在收斂后該算法的計(jì)算量將伴隨著階數(shù)的減少而大大降低。傳統(tǒng)的仿射投影算法迭代一次的計(jì)算量是Ο(K2L)，本文的計(jì)算復(fù)雜度為Ο(K2L)，而且階數(shù)是適時(shí)調(diào)整，所以改進(jìn)的算法更有優(yōu)越性。

4 仿真結(jié)果

圖1所示為利用語音信號模擬的回聲路徑，其沖擊響應(yīng)階數(shù)為64階。

圖1 模擬的回聲路徑

圖2和圖3分別顯示的是AR（0.8）和ARMA（2，2）的收斂曲線，為方便仿真結(jié)果容易比較，均取SNR=25 dB，步長為1，α=0.998。由圖2可知本文算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差均優(yōu)于文獻(xiàn)[5-6]。而圖3顯示了本文算法具有較快的收斂速度，穩(wěn)態(tài)誤差比文獻(xiàn)[6]的算法稍低但明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[5]。綜合上述兩種仿真可知本文算法的優(yōu)越性，而且下面會繼續(xù)討論。

圖2 AR（0.8）過程的三種算法收斂性曲線圖

圖3 ARMA（2，2）過程的三種算法收斂性曲線圖

圖4顯示了文獻(xiàn)[5-7]以及本文算法的收斂曲線。該實(shí)驗(yàn)是在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中進(jìn)行的，其環(huán)境模擬的回聲路徑如圖1所示。在文獻(xiàn)[5]、[7]中 SNR=25 dB，α=0.998；在文獻(xiàn)[6]中設(shè)初始階數(shù)為30，步長為1。從收斂速度方面來看，在收斂曲線的初始階段，通過調(diào)節(jié)投影階數(shù)來加快算法的收斂速度，總體來說圖中三種算法均表現(xiàn)了較快的收斂速度，但文獻(xiàn)[5]的變正則化因子的APA收斂速度相比較而言較慢，本文提出的算法和文獻(xiàn)[7]中算法的收斂速度相當(dāng)，且比文獻(xiàn)[6]的變階數(shù)的APA略有優(yōu)勢但三者都比文獻(xiàn)[5]中的算法收斂速度快；在收斂的穩(wěn)定階段，階數(shù)減小算法整體收斂速度趨于穩(wěn)定，主要顯示了通過調(diào)節(jié)正則化因子來盡量減小穩(wěn)態(tài)誤差的性能，由圖可知變正則化因子的APA的收斂幅度要大于變階數(shù)的APA但遠(yuǎn)低于本文算法的收斂幅度。從穩(wěn)態(tài)誤差方面看，在整個收斂過程中文獻(xiàn)[7]的不定階變步長算法穩(wěn)態(tài)誤差最大，本文所提算法的穩(wěn)態(tài)誤差即失調(diào)量最小，算法整體變化也相對穩(wěn)定。即在算法收斂穩(wěn)定后，在相同的條件下本文改進(jìn)算法失調(diào)量明顯優(yōu)于單純的變階或變正則化和不定階變步長算法的失調(diào)量，對應(yīng)于回聲抵消的過程中系統(tǒng)的穩(wěn)定性能更好，則回聲抵消系統(tǒng)很穩(wěn)定，效果也更好。

圖4 四種算法失調(diào)函數(shù)的曲線圖

5 結(jié)論

現(xiàn)如今隨著人們對通話質(zhì)量要求的不斷提高，回聲抵消的性能也越來越受到人們的重視。而APA在回聲抵消中具有非常重要的地位。針對已有的APA算法收斂速度慢和穩(wěn)態(tài)誤差大等問題，本文提出了一種可變階數(shù)和可變正則化因子相結(jié)合的算法。仿真結(jié)果表明通過變階數(shù)可調(diào)節(jié)算法的收斂速度，加快算法收斂，與此同時(shí)變正則化因子的引入可在快速收斂的基礎(chǔ)上減小穩(wěn)態(tài)誤差，使算法更穩(wěn)定。改善了回聲抵消中快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)誤差不能兼得的現(xiàn)狀。該算法與已有的算法相比在收斂速度、失調(diào)性能以及計(jì)算量方面都有很好的表現(xiàn)，更能滿足人們對通話質(zhì)量的需求。

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