胡敬軒，商躍進(jìn)，王 紅

(蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

1 引言

我國鐵路貨車正在向高速、重載方向發(fā)展，車輛自重也隨之增加。車輛自重的增加必然會導(dǎo)致輪軌之間垂向作用的增加，盡量減少每個零件的重量一直是科研人員的研究方向。滿足使用要求同時能做到輕量化，是彈簧設(shè)計的新方向。馬金奎［2］在彈簧優(yōu)化過程中，沒有考慮疲勞強(qiáng)度約束條件，然而疲勞斷裂是彈簧斷裂的主要失效形式［3］;岳桂杰［4］通過Matlab來完成優(yōu)化，然而Matlab具有需要編程，可操作性差，人機(jī)交互差等缺點。為此，本文考慮了疲勞強(qiáng)度建立了重載貨車彈簧的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，并研究了利用Maple的優(yōu)化工具求解模型的方法。

2 彈簧優(yōu)化設(shè)計模型建立

2.1 設(shè)計變量

簧條直徑、彈簧工作圈數(shù)以及彈簧中徑是圓柱螺旋彈簧的最基本參數(shù)，其它參數(shù)均為導(dǎo)出參數(shù)。因此，將簧條直徑d、彈簧工作圈數(shù)n及彈簧中徑z這三個基本參數(shù)作為設(shè)計變量。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

分析可得圓柱螺旋彈簧的質(zhì)量計算公式如下:

式中:nz為彈簧支撐圈圈數(shù);ρ為彈簧材料密度，7.8×10-6kg/mm3。

2.3 約束條件

約束條件有:剛度、剪切強(qiáng)度、疲勞強(qiáng)度、穩(wěn)定性、不發(fā)生共振、不并圈、旋繞比。

2.3.1 剛 度

剛度是彈簧的重要指標(biāo)之一，根據(jù)現(xiàn)場與實際經(jīng)驗總結(jié)，要求剛度必須與理論剛度相一致。

式中:Kv為彈簧的剛度;G為彈簧鋼的剪切彈性模量，79.4 GPa［5］;［Kv］為許用剛度。

2.3.2 剪切強(qiáng)度

為了滿足彈簧的強(qiáng)度條件，要求彈簧的應(yīng)力必須小于許用切應(yīng)力。

彈簧的切應(yīng)力計算公式:

式中:τmax為最大切應(yīng)力;［τ］為許用切應(yīng)力;C是應(yīng)力修正系數(shù)或曲度系數(shù)，其中，m為旋繞比

2.3.3 疲勞強(qiáng)度條件

彈簧的破壞性試驗主要是疲勞折斷，為此，引入疲勞強(qiáng)度條件。由文獻(xiàn)［6-8］相關(guān)公式整理可得彈簧疲勞強(qiáng)度為:

式中:τmax為最大剪切應(yīng)力;［τ-1］為疲勞許用應(yīng)力。

2.3.4 穩(wěn)定性

為了保證彈簧的穩(wěn)定性，要求高徑比不超過許用值，即

式中:H0為彈簧自由高，即彈簧無載荷狀態(tài)下的高度;fmax為最大撓度;Kvd為彈簧撓度裕量系數(shù)。

2.3.5 不發(fā)生共振

在達(dá)到零件固有頻率附近時，會產(chǎn)生共振。為了保證彈簧不發(fā)生共振現(xiàn)象，需要對彈簧的固有頻率進(jìn)行約束。彈簧無共振約束為自振頻率大于兩倍工作頻率。則約束條件:

式中:f為彈簧自振頻率，f=3.56 ×105×d/nz2。

2.3.6 不并圈

保證彈簧在最大載荷作用下不會發(fā)生并圈現(xiàn)象，最大載荷時彈簧高度H1=H-h，并圈高度:

2.3.7 旋繞比

旋繞比，即彈簧指數(shù)，用m表示。鐵路車輛彈簧一般取m=4～7。

針對這種復(fù)雜的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，明顯地，已無法通過傳統(tǒng)方法來完成求解。一般地，這種問題需要借助數(shù)學(xué)軟件處理。

3 基于Maple的求解方法

Maple是一款強(qiáng)大的數(shù)學(xué)及工程軟件，它在全球擁有數(shù)百萬用戶，被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)、工程和教育等領(lǐng)域。其中，Matalab軟件也是基于Maple內(nèi)核的。在Maple17中可以通過優(yōu)化程序包求解優(yōu)化問題，通過該程序包可以求解線性規(guī)劃(LPs)、二次規(guī)劃(QPs)、非線性規(guī)劃(NLPs)、以及線性和非線性最小二乘問題。尤其，其中優(yōu)化助手使用交互式求解簡便易用［9］。

優(yōu)化助手允許通過點擊方式輸入、編輯和求解問題，無需輸入命令。如圖1所示，在Maple的優(yōu)化界面相應(yīng)位置輸入相應(yīng)參數(shù)，求解即可。另外，在Maple中可以凍結(jié)或解凍某一約束，看這一約束對優(yōu)化結(jié)果的影響，可以觀察出某一約束為強(qiáng)約束還是弱約束。

圖1 Maple的交互式優(yōu)化界面

4 算例

為了證明此優(yōu)化方法的可行性，下面對某型貨車彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。彈簧基本參數(shù)如表1所列。

表1 某型貨車彈簧的部分參數(shù)

將表1中的參數(shù)代入式(1)～(8)的貨車彈簧優(yōu)化設(shè)計模型如下:

如圖2所示，將式(9)輸入到目標(biāo)函數(shù)區(qū)域，式(10)～(16)輸入到約束區(qū)域，完成后求解，優(yōu)化結(jié)果如表2所列。

圖2 Maple的優(yōu)化結(jié)果

表2 彈簧優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

由表2可見，彈簧優(yōu)化后，相比優(yōu)化前質(zhì)量減少了33.87%，與現(xiàn)場使用彈簧優(yōu)化了5.56%，優(yōu)化效果良好。

另外，經(jīng)凍結(jié)部分約束，發(fā)現(xiàn)旋繞比、頻率、不并圈、剪切強(qiáng)度約束為弱約束;疲勞強(qiáng)度和剛度為強(qiáng)約束。由此可見，疲勞強(qiáng)度及剛度兩個指標(biāo)對于彈簧的重要性。

5 結(jié)語

通過彈簧的優(yōu)化計算過程可見，彈簧優(yōu)化后，相比優(yōu)化前質(zhì)量減少了33.87%，較現(xiàn)場使用彈簧質(zhì)量減少了5.56。且設(shè)計結(jié)果與現(xiàn)場使用彈簧基本一致，這證明了此方法的正確性與可行性。另外，經(jīng)凍結(jié)部分約束，發(fā)現(xiàn)旋繞比、頻率、不并圈、剪切強(qiáng)度約束為弱約束;疲勞強(qiáng)度和剛度為強(qiáng)約束。由此可見，疲勞強(qiáng)度及剛度兩個指標(biāo)對于彈簧的重要性。Maple優(yōu)化助手具有可操作性強(qiáng)，無需編程，變量可直接輸入，人機(jī)交互界面良好等優(yōu)點，操作均十分方便，可推廣用于解決同類問題。

［1］ 田福祥.圓柱螺旋壓縮彈簧的優(yōu)化設(shè)計［J］.機(jī)械設(shè)計與制造.1986(6):5-7.

［2］ 馬金奎.基于Matlab的彈簧優(yōu)化設(shè)計新方法［J］.機(jī)床與液壓.2004(12):99-101.

［3］ 商躍進(jìn).基于Matalab的圓柱螺旋彈簧優(yōu)化設(shè)計［J］.中國農(nóng)機(jī)化.2006(3):73-75.

［4］ 岳桂杰.圓柱螺旋壓縮彈簧的優(yōu)化設(shè)計［J］.煤礦機(jī)械.2012(3):23-25.

［5］ 嚴(yán)雋耄，傅茂海.車輛工程［M］.北京:中國鐵道出版社，2007.

［6］ 金 花.基于MATALAB的圓柱螺旋彈簧結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計［J］.內(nèi)燃機(jī)，2010(2):10-11

［7］ 張英會，劉輝航，王德成.彈簧手冊［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［8］ 趙洪倫.機(jī)車車輛彈簧疲勞性能線圖試驗研究［J］.鐵道車輛，2000，38(12):72-76.

［9］ 何 青，王 麗.Maple教程［M］.北京:科學(xué)出版社，2013.