宋祖平

中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)具有復(fù)習(xí)時(shí)間緊、內(nèi)容多、任務(wù)重等特點(diǎn)。如何在中考前這一段寶貴的時(shí)間里高效地做好復(fù)習(xí)工作是廣大師生和家長(zhǎng)都非常關(guān)心的問(wèn)題。作為教師，在復(fù)習(xí)中，一方面要把課本中所涉及的概念、公式、公理、定理、法則等重要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行必要的梳理和歸納，讓學(xué)生理解各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在其頭腦中形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；另一方面筆者認(rèn)為中考復(fù)習(xí)要重抓典型例題的解析，提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力。在典型例題解析的過(guò)程中讓學(xué)生拓寬解題思路，學(xué)會(huì)一題多解，不僅要對(duì)每一種方法的實(shí)質(zhì)及它所適應(yīng)的題型，包括解題步驟應(yīng)熟練掌握，還要學(xué)會(huì)選擇最優(yōu)解法。同時(shí)重視對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解及運(yùn)用，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，努力做到讓學(xué)生懂一題，知一類(lèi)。

一、典型例題解析

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn).求證：CE⊥BE

圖1 圖2 圖3

分析：本題要證明CE⊥BE，實(shí)質(zhì)上要證明∠CEB=90°。雖然是要求得∠CEB=90°，但題目已知給的是梯形三邊的長(zhǎng)。故本題的證明思路應(yīng)從“邊”出發(fā)，而不應(yīng)從“角”出發(fā)。

思路一：用勾股定理的逆定理。

若能證出CE2+BE2=BC2，則此題得證。問(wèn)題轉(zhuǎn)為求線(xiàn)段CE和BE的長(zhǎng)，線(xiàn)段CE和BE的長(zhǎng)分別在Rt△CDE與Rt△BAE中，用勾股定理求，那么必須求得線(xiàn)段AD的長(zhǎng)，自然想到做如圖1的輔助線(xiàn)CF，從而在Rt△CFB中求得CF長(zhǎng)，由AD=CF，即可解決問(wèn)題。

證明：如圖1，過(guò)C做CF⊥AB交AB于F點(diǎn)，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，

則AD=CF，AF=CD=1，由AB=2有BF=AB-AF=1；

∴CE2+BE2=BC2；∴∠CEB=90°；∴CE⊥BE

思路二：用等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)。

考慮到在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中點(diǎn)，所以可做如圖2的輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)。易證得△CDE≌△FAE，得到CE=FE，F(xiàn)A=CD=1，由BF=BC和等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)易證CE⊥BE。

證明：如圖2，延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)。在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中點(diǎn)，∴DE=AE，∠AEF=∠CED，∴△CDE≌△FAE，∴CE=FE，F(xiàn)A=CD=1，BF=FA+AB=1+2=3=BC

∴BE⊥CF，即CE⊥BE。

思路三：用直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)的逆定理來(lái)證明。

可做如圖3的輔助線(xiàn)：取BC中點(diǎn)F點(diǎn)，連接EF?？紤]到在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中點(diǎn)，也可這樣做輔助線(xiàn)：過(guò)E點(diǎn)做EF∥AB交CB于F點(diǎn)。由梯形中位線(xiàn)定理易到EF=2.5=CF=BF，由直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)的逆定理易證△CEB為Rt△且∠CEB=90°，可證CE⊥BE。

證明：如圖3，取BC中點(diǎn)F點(diǎn)，連接EF。則FB=FC=BC÷2=2.5

在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD中點(diǎn)，

∴EF是梯形ABCD的中位線(xiàn)，∴EF=（CD+AB）÷2=（1+2）÷2=2.5，EF=FB=FC

∴△CEB為Rt△且∠CEB=90°，∴CE⊥BE

二、典型例題變換

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CE平分∠BCD，BE平分∠ABC.

問(wèn)法一：求證：CE⊥BE；

問(wèn)法二：求證：DE=AE；

問(wèn)法三：求證：E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)。

圖a

分析：雖然題目已知給的是梯形的角和相關(guān)的角平分線(xiàn)。但本題的證明思路，不論是上述的哪一種問(wèn)法，我們都可通過(guò)：即可從“邊”出發(fā)，也可從“角”出發(fā)，來(lái)達(dá)到解題目的。

如問(wèn)法一：由梯形AB∥CD，易知∠ABC+∠BCD=1800，由CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，易知∠EBC+∠BCE=900可得到∠CBE=900，即證得：CE⊥BE；

如問(wèn)法二：如圖a，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，因?yàn)镃E平分∠BCD，BE平分∠ABC，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理，可得ED=EF=EA。顯然，問(wèn)法三，也可如此解得。

總之，中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)中，要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)其實(shí)是不難的，只是理論性較強(qiáng)，不要害怕數(shù)學(xué)，更不要太緊張。讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，熟記公式，多思考，多挖掘多做題。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中通過(guò)知識(shí)的積累和方法的頓悟達(dá)到數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提高，每個(gè)學(xué)生的基礎(chǔ)不同，學(xué)習(xí)態(tài)度也不同，所以要采用的方法也就不同。教師要根據(jù)自己的特點(diǎn)找到適合自己的復(fù)習(xí)方法，制訂科學(xué)合理的復(fù)習(xí)策略，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

編輯 王愛(ài)芳