丁明杰

新課標明確指出：數(shù)學教育的基本目標之一是提高學生的數(shù)學思維能力.然而，在實際高三一輪復習教學的過程中，回歸課本將原題原做，炒冷飯的現(xiàn)象卻比較常見，加之各種高密度、高強度的解題訓練.使得學生只是機械地模仿解題，反而阻礙了學生思維能力的培養(yǎng)，加大了學生的疲勞學習，削弱了學生的學習興趣.事實上，我們只要在課本原題的基礎(chǔ)上進行追加、追問，將思維背景進行拓展，將問題進行再延伸，就能有效培養(yǎng)學生思維的深度和廣度，激活學生的思維，幫助學生構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成知識板塊，促進學生數(shù)學思維能力的提高和發(fā)展.

圖1例如：普通高中課程標準實驗教科書P124頁第10題：如圖1，將矩形紙片的右下角折起，使得該角頂點落在矩形的左邊上，那么折痕長度l取決于角θ的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并導出用θ表示l的函數(shù)表達式.

解 如圖1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因為0<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因為AB=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本題放在三角函數(shù)習題部分，基于高一，就當時的目的而言：（1）讓學生學會選用角作為變量建立函數(shù).（2）讓學生熟練掌握三角公式，進行化簡.而對于高三經(jīng)過一輪復習的學生而言，本題就不應到建立函數(shù)，化簡三角函數(shù)為止了，也不應再局限在三角函數(shù)章節(jié)了.我們可以進一步追問所建函數(shù)的性質(zhì)等.如本題就可進一步追問：當θ為何值時，l的值最小，最小值為多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，則t∈（0，22）.

因為u=t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）.

因為l=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

當sinθ=33時，l的值最小，最小值為332.

這樣通過追加追問折痕的最值問題，在三角函數(shù)部分就解決不了了，自然引發(fā)了學生的思維過渡、換元轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的思想方法，進而促使學生聯(lián)系求導步驟、反比例函數(shù)的圖象等基本方法、基本技能去求解最值問題.將知識貫穿聯(lián)通，提高效率事半功倍.如此，回歸課本決不是原題原做，炒冷飯，而是讓學生活用思想方法，轉(zhuǎn)化問題，解決問題.構(gòu)建各知識之間的聯(lián)系，融會貫通.當然，為了求得最小值，我們也不應該將本題再局限在三角函數(shù)部分了，還可以讓學生將思維背景進行拓展.例如本題就還可以從解析幾何為思維背景出發(fā).

圖2解 如圖，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立直角坐標系，設(shè)C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D關(guān)于直線CE對稱

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

這樣，通過思維背景的拓展，催生了學生的靈活思維，開拓了學生的思維角度.使學生自然地將各章節(jié)融會貫通，形成完整的知識體系.當然，將思維背景拓展到解析幾何，我們就又可以進一步延伸到圓錐曲線.

圖3解 如圖3，以直線AB為y軸，以AB的中垂線為x軸，建立直角坐標系，過D作DM∥AB交CE于點M，連結(jié)BE，由題意可得DM=MB，DM⊥AD，由拋物線的定義可知：M點的軌跡是以AD為準線，B為焦點的拋物線弧.折痕與拋物線相切.M點的軌跡方程為x2=-12y，l是以M（m，n）為切點的拋物線y=-112x2的切線，切線的斜率為k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例題是在高三學生回歸課本時的處理，這個階段恰是高三一輪復習剛結(jié)束，學生對各知識段已經(jīng)基本掌握，但是還沒有形成完整的知識體系，各知識之間、各章節(jié)之間的關(guān)系還沒有得到很好的聯(lián)系和融合.此時的學生迫切需要將高中知識融為一體，構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識體系.此時，將課本原題進行追問、拓展、延伸，恰到好處地成為載體，有效地達成培養(yǎng)數(shù)學思維的目標.

心理學研究表明：數(shù)學教學要適應學生的認知發(fā)展水平， 數(shù)學素質(zhì)與人的心理發(fā)展水平密切相關(guān)，這些素質(zhì)是在長期的數(shù)學學習過程中潛移默化地養(yǎng)成的.因此在新授課時未能和不宜追問、拓展、延伸的問題，在一輪復習之后，及時對課本回歸，對課本的題目進行追問、拓展、延伸是必要的，也是符合心理認知發(fā)展規(guī)律的.

數(shù)學問題的解題策略是指探求數(shù)學問題的答案時所采取的途徑和方法.上述例題中利用設(shè)角減少未知量的個數(shù)，利用函數(shù)求最值，建立直角坐標系解圖形問題，折疊聯(lián)系到解析幾何中的對稱問題，再由折痕聯(lián)系到拋物線的軌跡等等，這些想法、思路、途徑和方法都在不斷地培養(yǎng)學生的解題方法、解題策略和數(shù)學思維.因此，高三一輪復習后的回歸課本，將課本原題進行追問、拓展、延伸也正是培養(yǎng)解題策略和數(shù)學思維的具體實戰(zhàn).

將上述課本原題進行的追問、拓展、延伸后，囊括了高中數(shù)學的函數(shù)、三角、解幾、導數(shù)等重要知識板塊.在解決問題的過程中，學生所涉及到的不再是單一的、標準的、模式化了的問題，那么，就需要另辟蹊徑，創(chuàng)造性的思維，就需要思考解決問題的新方法和新策略.而方法和策略的獲得及證明正確的過程，恰恰又被認為是創(chuàng)造的過程或培養(yǎng)思維能力的過程.

因此，在高三一輪復習中，應該將課本原題進行追問、拓展、延伸到底，立足課本回歸，著力培養(yǎng)數(shù)學思維，凸顯高效課堂.

新課標明確指出：數(shù)學教育的基本目標之一是提高學生的數(shù)學思維能力.然而，在實際高三一輪復習教學的過程中，回歸課本將原題原做，炒冷飯的現(xiàn)象卻比較常見，加之各種高密度、高強度的解題訓練.使得學生只是機械地模仿解題，反而阻礙了學生思維能力的培養(yǎng)，加大了學生的疲勞學習，削弱了學生的學習興趣.事實上，我們只要在課本原題的基礎(chǔ)上進行追加、追問，將思維背景進行拓展，將問題進行再延伸，就能有效培養(yǎng)學生思維的深度和廣度，激活學生的思維，幫助學生構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成知識板塊，促進學生數(shù)學思維能力的提高和發(fā)展.

圖1例如：普通高中課程標準實驗教科書P124頁第10題：如圖1，將矩形紙片的右下角折起，使得該角頂點落在矩形的左邊上，那么折痕長度l取決于角θ的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并導出用θ表示l的函數(shù)表達式.

解 如圖1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因為0<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因為AB=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本題放在三角函數(shù)習題部分，基于高一，就當時的目的而言：（1）讓學生學會選用角作為變量建立函數(shù).（2）讓學生熟練掌握三角公式，進行化簡.而對于高三經(jīng)過一輪復習的學生而言，本題就不應到建立函數(shù)，化簡三角函數(shù)為止了，也不應再局限在三角函數(shù)章節(jié)了.我們可以進一步追問所建函數(shù)的性質(zhì)等.如本題就可進一步追問：當θ為何值時，l的值最小，最小值為多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，則t∈（0，22）.

因為u=t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）.

因為l=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

當sinθ=33時，l的值最小，最小值為332.

這樣通過追加追問折痕的最值問題，在三角函數(shù)部分就解決不了了，自然引發(fā)了學生的思維過渡、換元轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的思想方法，進而促使學生聯(lián)系求導步驟、反比例函數(shù)的圖象等基本方法、基本技能去求解最值問題.將知識貫穿聯(lián)通，提高效率事半功倍.如此，回歸課本決不是原題原做，炒冷飯，而是讓學生活用思想方法，轉(zhuǎn)化問題，解決問題.構(gòu)建各知識之間的聯(lián)系，融會貫通.當然，為了求得最小值，我們也不應該將本題再局限在三角函數(shù)部分了，還可以讓學生將思維背景進行拓展.例如本題就還可以從解析幾何為思維背景出發(fā).

圖2解 如圖，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立直角坐標系，設(shè)C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D關(guān)于直線CE對稱

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

這樣，通過思維背景的拓展，催生了學生的靈活思維，開拓了學生的思維角度.使學生自然地將各章節(jié)融會貫通，形成完整的知識體系.當然，將思維背景拓展到解析幾何，我們就又可以進一步延伸到圓錐曲線.

圖3解 如圖3，以直線AB為y軸，以AB的中垂線為x軸，建立直角坐標系，過D作DM∥AB交CE于點M，連結(jié)BE，由題意可得DM=MB，DM⊥AD，由拋物線的定義可知：M點的軌跡是以AD為準線，B為焦點的拋物線弧.折痕與拋物線相切.M點的軌跡方程為x2=-12y，l是以M（m，n）為切點的拋物線y=-112x2的切線，切線的斜率為k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例題是在高三學生回歸課本時的處理，這個階段恰是高三一輪復習剛結(jié)束，學生對各知識段已經(jīng)基本掌握，但是還沒有形成完整的知識體系，各知識之間、各章節(jié)之間的關(guān)系還沒有得到很好的聯(lián)系和融合.此時的學生迫切需要將高中知識融為一體，構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識體系.此時，將課本原題進行追問、拓展、延伸，恰到好處地成為載體，有效地達成培養(yǎng)數(shù)學思維的目標.

心理學研究表明：數(shù)學教學要適應學生的認知發(fā)展水平， 數(shù)學素質(zhì)與人的心理發(fā)展水平密切相關(guān)，這些素質(zhì)是在長期的數(shù)學學習過程中潛移默化地養(yǎng)成的.因此在新授課時未能和不宜追問、拓展、延伸的問題，在一輪復習之后，及時對課本回歸，對課本的題目進行追問、拓展、延伸是必要的，也是符合心理認知發(fā)展規(guī)律的.

數(shù)學問題的解題策略是指探求數(shù)學問題的答案時所采取的途徑和方法.上述例題中利用設(shè)角減少未知量的個數(shù)，利用函數(shù)求最值，建立直角坐標系解圖形問題，折疊聯(lián)系到解析幾何中的對稱問題，再由折痕聯(lián)系到拋物線的軌跡等等，這些想法、思路、途徑和方法都在不斷地培養(yǎng)學生的解題方法、解題策略和數(shù)學思維.因此，高三一輪復習后的回歸課本，將課本原題進行追問、拓展、延伸也正是培養(yǎng)解題策略和數(shù)學思維的具體實戰(zhàn).

將上述課本原題進行的追問、拓展、延伸后，囊括了高中數(shù)學的函數(shù)、三角、解幾、導數(shù)等重要知識板塊.在解決問題的過程中，學生所涉及到的不再是單一的、標準的、模式化了的問題，那么，就需要另辟蹊徑，創(chuàng)造性的思維，就需要思考解決問題的新方法和新策略.而方法和策略的獲得及證明正確的過程，恰恰又被認為是創(chuàng)造的過程或培養(yǎng)思維能力的過程.

因此，在高三一輪復習中，應該將課本原題進行追問、拓展、延伸到底，立足課本回歸，著力培養(yǎng)數(shù)學思維，凸顯高效課堂.

新課標明確指出：數(shù)學教育的基本目標之一是提高學生的數(shù)學思維能力.然而，在實際高三一輪復習教學的過程中，回歸課本將原題原做，炒冷飯的現(xiàn)象卻比較常見，加之各種高密度、高強度的解題訓練.使得學生只是機械地模仿解題，反而阻礙了學生思維能力的培養(yǎng)，加大了學生的疲勞學習，削弱了學生的學習興趣.事實上，我們只要在課本原題的基礎(chǔ)上進行追加、追問，將思維背景進行拓展，將問題進行再延伸，就能有效培養(yǎng)學生思維的深度和廣度，激活學生的思維，幫助學生構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成知識板塊，促進學生數(shù)學思維能力的提高和發(fā)展.

圖1例如：普通高中課程標準實驗教科書P124頁第10題：如圖1，將矩形紙片的右下角折起，使得該角頂點落在矩形的左邊上，那么折痕長度l取決于角θ的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并導出用θ表示l的函數(shù)表達式.

解 如圖1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因為0<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因為AB=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本題放在三角函數(shù)習題部分，基于高一，就當時的目的而言：（1）讓學生學會選用角作為變量建立函數(shù).（2）讓學生熟練掌握三角公式，進行化簡.而對于高三經(jīng)過一輪復習的學生而言，本題就不應到建立函數(shù)，化簡三角函數(shù)為止了，也不應再局限在三角函數(shù)章節(jié)了.我們可以進一步追問所建函數(shù)的性質(zhì)等.如本題就可進一步追問：當θ為何值時，l的值最小，最小值為多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，則t∈（0，22）.

因為u=t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）.

因為l=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

當sinθ=33時，l的值最小，最小值為332.

這樣通過追加追問折痕的最值問題，在三角函數(shù)部分就解決不了了，自然引發(fā)了學生的思維過渡、換元轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的思想方法，進而促使學生聯(lián)系求導步驟、反比例函數(shù)的圖象等基本方法、基本技能去求解最值問題.將知識貫穿聯(lián)通，提高效率事半功倍.如此，回歸課本決不是原題原做，炒冷飯，而是讓學生活用思想方法，轉(zhuǎn)化問題，解決問題.構(gòu)建各知識之間的聯(lián)系，融會貫通.當然，為了求得最小值，我們也不應該將本題再局限在三角函數(shù)部分了，還可以讓學生將思維背景進行拓展.例如本題就還可以從解析幾何為思維背景出發(fā).

圖2解 如圖，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立直角坐標系，設(shè)C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D關(guān)于直線CE對稱

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

這樣，通過思維背景的拓展，催生了學生的靈活思維，開拓了學生的思維角度.使學生自然地將各章節(jié)融會貫通，形成完整的知識體系.當然，將思維背景拓展到解析幾何，我們就又可以進一步延伸到圓錐曲線.

圖3解 如圖3，以直線AB為y軸，以AB的中垂線為x軸，建立直角坐標系，過D作DM∥AB交CE于點M，連結(jié)BE，由題意可得DM=MB，DM⊥AD，由拋物線的定義可知：M點的軌跡是以AD為準線，B為焦點的拋物線弧.折痕與拋物線相切.M點的軌跡方程為x2=-12y，l是以M（m，n）為切點的拋物線y=-112x2的切線，切線的斜率為k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例題是在高三學生回歸課本時的處理，這個階段恰是高三一輪復習剛結(jié)束，學生對各知識段已經(jīng)基本掌握，但是還沒有形成完整的知識體系，各知識之間、各章節(jié)之間的關(guān)系還沒有得到很好的聯(lián)系和融合.此時的學生迫切需要將高中知識融為一體，構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識體系.此時，將課本原題進行追問、拓展、延伸，恰到好處地成為載體，有效地達成培養(yǎng)數(shù)學思維的目標.

心理學研究表明：數(shù)學教學要適應學生的認知發(fā)展水平， 數(shù)學素質(zhì)與人的心理發(fā)展水平密切相關(guān)，這些素質(zhì)是在長期的數(shù)學學習過程中潛移默化地養(yǎng)成的.因此在新授課時未能和不宜追問、拓展、延伸的問題，在一輪復習之后，及時對課本回歸，對課本的題目進行追問、拓展、延伸是必要的，也是符合心理認知發(fā)展規(guī)律的.

數(shù)學問題的解題策略是指探求數(shù)學問題的答案時所采取的途徑和方法.上述例題中利用設(shè)角減少未知量的個數(shù)，利用函數(shù)求最值，建立直角坐標系解圖形問題，折疊聯(lián)系到解析幾何中的對稱問題，再由折痕聯(lián)系到拋物線的軌跡等等，這些想法、思路、途徑和方法都在不斷地培養(yǎng)學生的解題方法、解題策略和數(shù)學思維.因此，高三一輪復習后的回歸課本，將課本原題進行追問、拓展、延伸也正是培養(yǎng)解題策略和數(shù)學思維的具體實戰(zhàn).

將上述課本原題進行的追問、拓展、延伸后，囊括了高中數(shù)學的函數(shù)、三角、解幾、導數(shù)等重要知識板塊.在解決問題的過程中，學生所涉及到的不再是單一的、標準的、模式化了的問題，那么，就需要另辟蹊徑，創(chuàng)造性的思維，就需要思考解決問題的新方法和新策略.而方法和策略的獲得及證明正確的過程，恰恰又被認為是創(chuàng)造的過程或培養(yǎng)思維能力的過程.

因此，在高三一輪復習中，應該將課本原題進行追問、拓展、延伸到底，立足課本回歸，著力培養(yǎng)數(shù)學思維，凸顯高效課堂.