趙玉杰

（廈門興才學(xué)院工學(xué)院，福建廈門 361024）

0 引 言

在永磁材料性能不斷提高以及電力電子技術(shù)不斷發(fā)展的推動下，擁有較高的能量密度、高可靠性和高效率等優(yōu)勢［1－2］的永磁直線同步電機(jī)（PMLSM）被廣泛地應(yīng)用到伺服系統(tǒng)中。但由于永磁直線同步電機(jī)去除了旋轉(zhuǎn)電機(jī)由旋轉(zhuǎn)運(yùn)動到直線運(yùn)動的機(jī)械傳動鏈的中間環(huán)節(jié)，外部擾動和負(fù)載的變化將直接作用于伺服系統(tǒng)。而直線電動機(jī)本身所存在的系統(tǒng)參數(shù)的變化、摩擦阻力的非線性變化、狀態(tài)的觀測噪聲、永磁體磁鏈諧波等產(chǎn)生推力紋波、端部效應(yīng)以及齒槽效應(yīng)等都會降低系統(tǒng)的伺服性能和機(jī)床的加工精度［3］。重復(fù)運(yùn)動方式在機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床等伺服系統(tǒng)應(yīng)用的很多場合都比較常見。在該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，一個(gè)重要的設(shè)計(jì)目標(biāo)就是要不斷減小位置跟蹤誤差，以及提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和位置跟蹤精度。

由于一些非線性因素和永磁同步直線電機(jī)的不精確數(shù)學(xué)模型，PID控制很難滿足永磁同步直線電機(jī)控制的運(yùn)動控制系統(tǒng)要求。而前饋－反饋控制器在重復(fù)的軌跡跟蹤系統(tǒng)的控制中得到了廣泛的應(yīng)用。一種基于PID反饋的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法在文獻(xiàn)［4］中被應(yīng)用到永磁同步直線電機(jī)的控制系統(tǒng)中，該方法在提高了直線伺服系統(tǒng)跟蹤精度的同時(shí)，還有效地降低了負(fù)載擾動以及參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。迭代學(xué)習(xí)控制由于其學(xué)習(xí)過程簡單和控制精確性高［5］，被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)控制領(lǐng)域。

文中提出了一種新型的前饋－反饋控制方法。迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)克服了軌跡跟蹤系統(tǒng)中存在的外部擾動和非線性的影響，提高了系統(tǒng)的跟蹤特性和控制精度。而IP反饋控制器的設(shè)計(jì)旨在提高系統(tǒng)的抵抗擾動特性。

1 永磁直線同步電機(jī)（PMLSM）簡單的數(shù)學(xué)模型

PMLSM的電壓方程和磁鏈方程為［6］：

式中：ud，uq——分別為PMLSM的d，q軸的電壓分量；

Ld，Lq——分別為d，q軸等效的電感，對于永磁體表面安裝的電機(jī)而言，Ld＝Lq；

id，iq——分別為d，q軸的等效永磁體電流；

p——微分算子；

λd，λq——分別為d，q軸磁鏈；

Rs——定子電阻；

λPM——定子永磁體產(chǎn)生的勵(lì)磁磁鏈。

電磁推力表達(dá)式為：

由式（5）可以看出，推力僅由iq決定，從而得到運(yùn)動方程為：

式中：v——動子的運(yùn)動速度；

s——動子位移；

KF——推力系數(shù)；

D——粘滯摩擦系數(shù)；

Fe——電磁推力；

FL——負(fù)載阻力；

M——動子質(zhì)量；

Fd——推力總量；

Fef——端部效應(yīng)。

永磁同步直線電機(jī)端部效應(yīng)的簡化波形為

式中：Fefm——端部效應(yīng)力波動的幅值；

τ——極距；

θ0——初始相位電角度。

將式（8）和式（9）寫成狀態(tài)方程的形式：

其中，

PMLSM的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PMLSM的結(jié)構(gòu)圖

2 前饋－反饋控制器的設(shè)計(jì)

將IP反饋和迭代學(xué)習(xí)前饋相結(jié)合，旨在提高具有重復(fù)性運(yùn)動特性系統(tǒng)的抗擾動能力和跟蹤精度?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如圖2可知，控制輸入

k——迭代學(xué)習(xí)的次數(shù)。

2.1 IP反饋控制器的設(shè)計(jì)

對參數(shù)變化和外部擾動具有強(qiáng)魯棒性以及快速而又準(zhǔn)確的跟蹤能力是高性能的伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)。前饋控制器保證了直線伺服系統(tǒng)的跟蹤特性，系統(tǒng)對擾動和參數(shù)變化的魯棒性由反饋控制器來完成。通過設(shè)計(jì)較高積分增益的IP控制器來提升系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抑制負(fù)載擾動的影響。具體設(shè)計(jì)方法見文獻(xiàn)［7］，IP反饋控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 IP反饋控制器結(jié)構(gòu)

2.2 迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)

迭代學(xué)習(xí)控制通過不斷的迭代學(xué)習(xí)過程，獲得系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)知識，能夠在有限的時(shí)間間隔內(nèi)改進(jìn)具有重復(fù)操作特性系統(tǒng)的跟蹤性能，補(bǔ)償對象模型的不確定性和擾動。PD-型迭代學(xué)習(xí)控制是文中所采用的學(xué)習(xí)算法，其迭代學(xué)習(xí)率為：

式中：Γ，Q——關(guān)于誤差學(xué)習(xí)算子；

k——迭代次數(shù)；

yd（t）——期望輸出值。

首先，建立系統(tǒng)（11）的狀態(tài)空間表達(dá)式：

式中：xk（t）∈Rn，uk（t）∈Rm，yk（t）∈Rr——分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制和輸出向量；

wk（xk（t），t）——系統(tǒng)狀態(tài)擾動；

E（·）∈Rr×n——常數(shù)陣；

t∈［0，T］——每次迭代的運(yùn)行時(shí)間。

函數(shù)：

為了證明收斂性，先作以下定義：

設(shè)非線性系統(tǒng)的動態(tài)方程見式（12），且t∈［0，T］中滿足如下條件：

1）函數(shù)f（·，·），wk（·，·）和B（·，·）在區(qū)間［0，T］上滿足Lipschitz條件。

2）第K次迭代的系統(tǒng)初始狀態(tài)誤差滿足：‖xd（0）－xk（0）‖≤bx0，?κ。

3）存在唯一理想控制ud（t），使得系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出為期望值。

定理1 對于式（12）的非線性系統(tǒng)，滿足條件1）～3），如果存在正數(shù)ρ，使得

成立，其中

那么在系統(tǒng)（12）采用綜合了迭代學(xué)習(xí)前饋控制和IP反饋控制的控制器進(jìn)行控制時(shí)，如果初始狀態(tài)誤差δx（0）、狀態(tài)擾動wk（xk（t），t）均有界的情況下，當(dāng)k→∞時(shí)，跟蹤誤差‖yd（t）－yk（t）‖漸進(jìn)收斂且趨于0，即跟蹤誤差漸進(jìn)趨近于零。

證明：

則

利用系統(tǒng)（12）和ILC控制律得

整理上式得：

對上式取范數(shù)得

下面求‖δxk‖：

其中

對式（16）兩端取λ范數(shù)并合并

令

將方程（18）代入方程（15）可得

那么如果滿足定理?xiàng)l件

則

同理可得：

從式（20）和式（21）中可以看出，在初始狀態(tài)誤差δx（0）、狀態(tài)擾動wk（xk（t），t）有界的情況下，當(dāng)k→∞時(shí)，通過ILC，跟蹤誤差‖yd（t）－yk（t）‖的漸近收斂到0。

3 Matlab仿真

系統(tǒng)參數(shù)為Mn＝11.0kg，Dn＝8.0N·s／m，Kf＝28.5N／A?？刂茀?shù)為KS＝6.07，KI＝809.56，Kp＝34.602，Γ＝10.4，Q＝6.8。通過Matlab仿真軟件對所設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行了系統(tǒng)的仿真研究。在迭代方向上的均方誤差曲線（直線表示為IP反饋的均方誤差，虛線為有迭代學(xué)習(xí)前饋的均方誤差曲線）如圖4所示。

從圖中可知，帶有迭代學(xué)習(xí)前饋的IP反饋控制器在軌跡跟蹤和消除參數(shù)變化和外部擾動上比單獨(dú)的IP反饋控制器具有更好的效果，使跟蹤誤差逐漸減小，漸進(jìn)趨于零，從而證明了該方法的有效性。

圖4 均方誤差曲線

4 結(jié) 語

針對永磁直線同步電機(jī)在具有重復(fù)運(yùn)動的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中的應(yīng)用，設(shè)計(jì)了前饋－反饋結(jié)構(gòu)控制器。該控制結(jié)構(gòu)包括了IP反饋和迭代學(xué)習(xí)前饋兩部分。IP反饋部分來保證系統(tǒng)對擾動和參數(shù)變化的魯棒性，迭代學(xué)習(xí)前饋用來進(jìn)一步加強(qiáng)系統(tǒng)的跟蹤特性，減小系統(tǒng)的跟蹤誤差。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法對提高系統(tǒng)的跟蹤精度以及消除系統(tǒng)的擾動和參數(shù)變化具有很好的效果。

［1］ P Pillay，R Krishnan.Application characteristics of permanent magnet synchronous and brushless DC motors for servo drives［J］.IEEE Trans.Industry Applications，1991，27：986-996.

［2］ Bimal K Bose.Power electronics and motion control technology status and recent trends［J］.IEEE Trans.Industry Applications，1993，29：902-909.

［3］ P Pillay，R Krishnan.Modeling simulation and analysis of PM drives Part I：The permanent magnet synchronous motor drives［J］.IEEE Trans.Industry Application，1989，25（2）：265-272.

［4］ Otten Gerco，de Vries Theo JA，van Amerongen Job，et al.Linear motor motion control using a learning feedforward controller［J］.IEEE／ASME Transactions on Mechatronics，1997，2（3）：161-170.

［5］ S Arimoto，S Kawamura，F(xiàn) Miyazaki.Bettering operation of robotics by learning control［J］.Robotic System，1984（1）：123-140.

［6］ 郭慶鼎，王成元.交流伺服系統(tǒng)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1994.

［7］ 郭慶鼎，周悅，郭威.高精度永磁直線同步電動機(jī)伺服系統(tǒng)魯棒位置控制器的設(shè)計(jì)［J］.Electric Machines and Control，1998，2（4）：208-213.