李明大,王 京,李東海

(1.北京科技大學(xué)冶金工程研究院,北京,100083；2.清華大學(xué)熱能工程系,北京,100084)

分?jǐn)?shù)階微積分將微分、積分的階次擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍，拓展了人們所熟知的整數(shù)階微積分的描述能力。計(jì)算機(jī)仿真軟件的快速發(fā)展使得越來(lái)越多的學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分算法用于控制器的設(shè)計(jì)。分?jǐn)?shù)階控制最早應(yīng)用于CRONE控制器[1]。隨后，Podlubny等將分?jǐn)?shù)階PID控制器(FO-PID)引入分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的控制中，取得了良好的效果[2-4]。針對(duì)分?jǐn)?shù)階模型，文獻(xiàn)[5]提出了一種基于幅相裕度的分?jǐn)?shù)階PID整定方法。此外遺傳算法、根軌跡法等也被用于分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)選取[6-7]。文獻(xiàn)[8-9]詳細(xì)討論了分?jǐn)?shù)階PID控制器積分與微分的階次變化對(duì)控制系統(tǒng)的影響。對(duì)于兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階模型，文獻(xiàn)[10]與文獻(xiàn)[11]分別設(shè)計(jì)了形如(Kp+Ki/s)λ的分?jǐn)?shù)階[PI]控制器(FO-[PI])和形如Kp(1+Kds)μ的分?jǐn)?shù)階[PD]控制器(FO-[PD])，仿真結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階[PI]、[PD]控制器要優(yōu)于分?jǐn)?shù)階PI、PD控制器。

分?jǐn)?shù)階微積分能更加準(zhǔn)確地描述自然物理現(xiàn)象，但在控制器中分?jǐn)?shù)階特性的實(shí)現(xiàn)卻不容易。例如，單一的分?jǐn)?shù)階算子要用高階傳遞函數(shù)或有限時(shí)間截?cái)鄟?lái)近似，在離散系統(tǒng)中也要用高階的離散傳遞函數(shù)來(lái)近似[10-13]。然而在很多生產(chǎn)過(guò)程中，如高速中厚板軋制，對(duì)控制器和控制算法的快速性要求非常高[14-16]，因此，針對(duì)更真實(shí)的分?jǐn)?shù)階模型，設(shè)計(jì)出簡(jiǎn)單易整定的控制器是很必要的。文獻(xiàn)[17]研究了一種非線性魯棒控制器，將控制器參數(shù)與系統(tǒng)預(yù)期動(dòng)態(tài)相結(jié)合，使得控制器參數(shù)具有實(shí)際物理意義，而文獻(xiàn)[18]將此方法與PID控制器相結(jié)合，針對(duì)常見(jiàn)的工業(yè)對(duì)象提出了基于預(yù)期動(dòng)態(tài)的PID整定方法。文獻(xiàn)[19]研究了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的自抗擾控制，將分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)當(dāng)作系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并予以抵消。在上述研究基礎(chǔ)上，本文采用二自由度PID控制器，針對(duì)分?jǐn)?shù)階模型提出基于預(yù)期動(dòng)態(tài)方程的簡(jiǎn)單整定方法——DDE法，通過(guò)仿真對(duì)DDE法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，并與其他分?jǐn)?shù)階控制方法的控制效果進(jìn)行比較。

1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)簡(jiǎn)介

描述分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)定義是Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分定義式：

(1)

在零初始狀態(tài)下，分?jǐn)?shù)階微分的拉普拉斯變換為

L [Dαf(t)]=sαF(s)

(2)

考慮單入單出時(shí)不變分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)有如下形式：

(3)

式中：q>0，n>0，m≥0，均為整數(shù)，且n>m；H為系統(tǒng)高頻增益，H≠0；ai(i=0,1,…,n-1)、bi(i=0,1,…,m-1)為未知系數(shù)。令r=n-m/q，r為系統(tǒng)的相對(duì)階。

(4)

得到系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型：

(5)

式中：ci(i=0,1,…,n-m)、di(i=0,1,…,m-1)為未知系數(shù)；u為控制輸入。

2 預(yù)期動(dòng)態(tài)法

(6)

在滿(mǎn)足假設(shè)②的條件下，如果f可測(cè)，則系統(tǒng)(5)的控制律可化為

(7)

其保證了閉環(huán)系統(tǒng)(5)和式(7)的特征值分別與多項(xiàng)式h0+h1s+…+hn-m-1sn-m-1+sn-m以及B(s)相一致。

由于所有狀態(tài)不可測(cè)并且系數(shù)ci、di與H都未知，控制律(7)是不可實(shí)現(xiàn)的。在此引入積分器來(lái)抵消f的影響，故控制律可重新寫(xiě)為

(8)

式中：

(9)

(10)

且hii=0,…,n-m-1為適當(dāng)?shù)恼?shù)。

當(dāng)n-m=2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的預(yù)期動(dòng)態(tài)方程為

(11)

其所對(duì)應(yīng)的控制律為

(12)

將式(6)與式(9)代入式(10)中，遵循簡(jiǎn)單控制原則可得到：

(13)

為快速跟蹤f并達(dá)到適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度，取k=10。因此式(12)可化為

u=-h0(y-r)-h1sy-

(14)

化簡(jiǎn)可得到二自由度PID控制律：

(15)

式中：

(16)

二自由度PID結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中虛框所指由DDE法整定。

圖1 二自由度PID結(jié)構(gòu)形式Fig.1 2-DOF PID structure

式(16)中各參數(shù)的選取規(guī)則如下：

(1)根據(jù)控制要求確定預(yù)期動(dòng)力學(xué)方程(11)的系數(shù)。設(shè)定調(diào)節(jié)時(shí)間TS，超調(diào)量要盡量小。根據(jù)經(jīng)典控制理論對(duì)二階系統(tǒng)的分析，并考慮到實(shí)際動(dòng)態(tài)性能與預(yù)期動(dòng)態(tài)存在偏差，需要保證足夠的性能裕度，故取：

(17)

式中：T=TS/6。

(2)調(diào)整單一參數(shù)l。令l值從接近0的一個(gè)很小的值(如0.0001)開(kāi)始單調(diào)增加。當(dāng)系統(tǒng)超調(diào)量在0～1%之間變化時(shí)，固定此l值為控制器參數(shù)。

(3)按式(16)計(jì)算二自由度PID控制器其他參數(shù)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)系統(tǒng)性能，滿(mǎn)足要求則整定結(jié)束，否則可能是因?yàn)門(mén)S設(shè)定得太小，需返回(1)重新設(shè)計(jì)。

3 分?jǐn)?shù)階模型控制仿真

3.1 分?jǐn)?shù)階模型及其控制參數(shù)

為了驗(yàn)證DDE法的有效性，筆者從文獻(xiàn)中選取8個(gè)主要的分?jǐn)?shù)階模型(1個(gè)加熱爐模型和7個(gè)虛擬的分?jǐn)?shù)階模型)進(jìn)行對(duì)比仿真分析，如表1所示，其中模型1為加熱爐模型。文獻(xiàn)[5]～文獻(xiàn)[11]分別采用分?jǐn)?shù)階PID、[PI]和[PD]控制器對(duì)8個(gè)模型進(jìn)行控制，控制器參數(shù)如表2所示。本文采用DDE方法設(shè)計(jì)了整數(shù)階二自由度PID控制器(DDE-PID)對(duì)8個(gè)分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行控制，控制器參數(shù)如表3所示。

表1 分?jǐn)?shù)階模型

表2 分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)

表3 DDE法整定的二自由度PID控制器參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果與分析

文獻(xiàn)[4]在建立加熱爐的分?jǐn)?shù)階模型(簡(jiǎn)稱(chēng)FOM，即模型1)的同時(shí)也建立了其整數(shù)階模型(簡(jiǎn)稱(chēng)IOM)，如式(18)所示：

(18)

由圖2可見(jiàn)，在控制更為精確的分?jǐn)?shù)階模型時(shí)，無(wú)論是分?jǐn)?shù)階PID控制器還是整數(shù)階PID控制器均可達(dá)到較好的控制效果，并且本文設(shè)計(jì)的DDE-PID控制效果更好。

8個(gè)分?jǐn)?shù)階模型的控制仿真結(jié)果如表4所示，控制性能指標(biāo)如表5所示。由表4和表5可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階PID和DDE-PID都能很好地控制分?jǐn)?shù)階模型，但DDE-PID控制的超調(diào)量更小，調(diào)節(jié)時(shí)間更短。同時(shí)，兩種方法的控制信號(hào)處在同一數(shù)量級(jí)，甚至DDE-PID的控制代價(jià)更小一些。值得注意的是，DDE-PID控制可使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)滿(mǎn)足預(yù)期，其調(diào)節(jié)時(shí)間小于預(yù)期調(diào)節(jié)時(shí)間。另外，雖然FO-[PI]、FO-[PD]控制器比FO-PID控制器的效果更好，但DDE-PID也可達(dá)到與FO-[PI]和FO-[PD]相同的控制效果。

圖2 FO-PID和DDE-PID對(duì)加熱爐模型的控制效果比較

Fig.2StepresponsecomparisonofFOMandIOMcontrolledbyFO-PIDorDDE-PID

表4 分?jǐn)?shù)階模型的控制仿真結(jié)果

續(xù)表4

45678

表5 控制性能指標(biāo)比較

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用實(shí)際模型簡(jiǎn)單控制的策略，針對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階模型提出一種基于預(yù)期動(dòng)態(tài)方程的二自由度PID整定方法(DDE)。1個(gè)加熱爐模型及7個(gè)虛擬分?jǐn)?shù)階模型的仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。DDE-PID控制可使分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)滿(mǎn)足預(yù)期動(dòng)態(tài)，并且在控制代價(jià)較小或相近的條件下可獲得與分?jǐn)?shù)階PID相當(dāng)或較其更好的控制效果。

與分?jǐn)?shù)階控制器不同，基于預(yù)期動(dòng)態(tài)方程的二自由度PID整定方法不需要對(duì)現(xiàn)有的經(jīng)典PID類(lèi)型控制器進(jìn)行大的改動(dòng)，并且具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、整定方便等特點(diǎn)，因此DDE-PID的工業(yè)應(yīng)用前景更為廣闊。

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