熊令明,張 臣

(南京航空航天大學機電學院, 江蘇 南京， 210016)

根據(jù)各構(gòu)件間相對運動方式的不同，并聯(lián)機構(gòu)可分為平面并聯(lián)機構(gòu)、球面并聯(lián)機構(gòu)和一般空間并聯(lián)機構(gòu)[1]。并聯(lián)機構(gòu)的形式有多樣[2]，雖然其結(jié)構(gòu)形式、自由度數(shù)目及驅(qū)動方式等各不相同, 但相互間具有緊密的內(nèi)在聯(lián)系[3]。作為空間三自由度并聯(lián)機構(gòu)的代表3-RPS和3-SPR并聯(lián)機構(gòu)，其運動副的布置常常被忽略。并聯(lián)機構(gòu)鉸鏈和布置形式的不同會對機構(gòu)的運動方式產(chǎn)生重要影響，因此研究并聯(lián)機構(gòu)鉸鏈的不同布置形式有重要意義[4]。

本文根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合理論以及單開鏈為單元的并聯(lián)機構(gòu)組成原理[5]，建立3-RPS和3-SPR機構(gòu)鉸鏈布置形式的模型，借助ADAMS軟件分析所建相同平臺和不同平臺下鉸鏈布置形式模型的可靠性，給出各種鉸鏈布置形式產(chǎn)生的運動結(jié)果，與所建立的布置形式模型進行比較，篩選出符合體感機構(gòu)要求的三自由度并聯(lián)機構(gòu)。

1 機構(gòu)建模與運動學分析

1.1 鉸鏈布置形式的數(shù)學建模

圖1 3-SPR和3-RPS機構(gòu)數(shù)學模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3-SPR and 3-RPS mechanism model

1.2 機構(gòu)位移分析

定平臺的端點鉸鏈在定坐標系中的坐標為

(1)

動平臺的鉸鏈在動坐標系中的坐標為

(2)

動平臺的坐標原點在定坐標系中的坐標為

動平臺的鉸鏈在定坐標系中的坐標為

動平臺到定平臺的旋轉(zhuǎn)矩陣為

并滿足以下條件：

zl=ynxm-xnymxlyl+xmym+xnyn=1

zm=ylxn-xlynxlzl+xmzm+xnzn=1

zn=ymxl-xmymzlyl+zmym+znyn=1

即動平臺在定平臺上旋轉(zhuǎn)后的端點坐標表示式為

(3)

式中：a=qrxl-ryl+2Xo;b=qrxm-rym+2Yo;c=qrxn-ryn+2Zo;d=-qrxl-ryl+2Xo;e=-qrxm-rym+2Yo;f=-qrxn-ryn+2Zo。

桿長為

ri=ai-Ai

即

則桿長表達式為

(4)

式中：G=XOxl+YOxm+ZOxn；K=XOyl+YOym+ZOyn。

動平臺的最終位姿可以由(Xo,Yo,Zo，α,β,γ)來表示，其中α,β,γ為動平臺繞空間上互為垂直的3根軸線旋轉(zhuǎn)的角度，即歐拉角。歐拉角與旋轉(zhuǎn)矩陣為一一對應(yīng)的關(guān)系。由于符合條件的機構(gòu)驅(qū)動桿中均含有1個旋轉(zhuǎn)副，且由3根非線性驅(qū)動桿驅(qū)動，所以每條驅(qū)動桿都有1個約束方程，即該驅(qū)動桿的向量一直與該桿中的旋轉(zhuǎn)副軸線垂直。桿長表達式中含有6個未知數(shù)，依據(jù)約束數(shù)與自由度數(shù)的關(guān)系，該機構(gòu)可以建立3個約束方程。

δi·Ri=0(i=1,2,3)

(5)

當a1鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時，約束式為

2G+qr-qRxl+Rxmcosθ1+

2K-r-qRyl+Rymsinθ1=0

(6)

當A1鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時，約束式為

qrxl-ryl+2XO-qRcosθ1+

qrxm-rym+2YO+Rsinθ1=0

(7)

當a2鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時，約束式為

G-Rxmcosθ2+(K-Rym)sinθ2=0

(8)

當A2鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時，約束式為

ryl+XOcosθ2+

(rym+YO-R)sinθ2=0

(9)

當a3鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時，約束式為

2G-qr+qRxl+Rxmcosθ3+

2K-r+qRyl+Rymsinθ3=0

(10)

當A3鉸鏈為旋轉(zhuǎn)鉸鏈時，約束式為

-qrxl-ryl+2XO+qRcosθ3-

qrxm+rym-2YO-Rsinθ3=0

(11)

根據(jù)機構(gòu)動定平臺各鉸鏈支點是否為旋轉(zhuǎn)鉸鏈，選擇對應(yīng)的約束方程。因所選機構(gòu)為3-SPR、3-RPS，故存在3個約束方程。為獲得3-SPR、3-RPS機構(gòu)的位姿(含6個未知量)，需要選擇3個位姿獨立變量進行求解。利用Matlab進行計算篩選，步驟如下：

(1)根據(jù)機構(gòu)類型選擇對應(yīng)約束方程，如：3-SPR機構(gòu)中的旋轉(zhuǎn)鉸鏈均在動平臺，故選擇式(6)、式(8)、式(10)作為3-SPR的3個約束方程。

(2)將機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)鉸鏈軸心線角度 代入方程并簡化，如：將3-SPR機構(gòu)中θ1、θ2、θ3為90°、0°、90°分別代入式(6)、式(8)、式(10)，化簡后即得：

(12)

式中：G=XOxl+YOxm+ZOxn；K=XOyl+YOym+ZOyn。

(3)對化簡后的約束方程進行旋轉(zhuǎn)方式選擇，從中選出最易求解的一組，如： 式(12)化簡后的約束方程選擇XYX形式的歐拉角最為簡便，根據(jù)已知的3個獨立變量，利用Matlab軟件計算得出(Xo,Yo,Zo，α,β,γ)中的另外3個變量。

(4)利用求出的3個機構(gòu)變量和已知的3個獨立變量，結(jié)合式(4)計算驅(qū)動桿長度，即可求出桿的伸長量。

1.3 鉸鏈布置形式分析

利用Adams軟件分析動平臺面積相同或不同及不同鉸鏈布置形式下的機構(gòu)運動方式。12種鉸鏈布置形式下的3-SPR機構(gòu)運動方式如表1所示。

表1 12種鉸鏈布置形式下的3-SPR機構(gòu)運動方式

從表1中可看出，由于相同或不同的動平臺面積及鉸鏈布置形式導(dǎo)致了3-SPR機構(gòu)的運動方式各不相同，即：①無論動平臺面積是否相同，均呈現(xiàn)Z軸移動，X、Y軸轉(zhuǎn)動并有附加運動；②鉸鏈布置角度值為0-0-0和90-90-90時，動平臺面積相同，運行不穩(wěn)定，動平臺面積不同，均不能運動；③鉸鏈布置角度值為0-θ2-90和90-θ2-0時，θ2值為0°～90°，機構(gòu)運動方式不變，均為Z軸移動，X、Y軸轉(zhuǎn)動并有附加運動。④從式(7)、式(9)、式(11)中可知，6個位姿變量中僅有5個在約束方程中，從而使3-SPR機構(gòu)在運動過程中存在附加運動。

動平臺面積相同或不同及鉸鏈布置形式同樣會導(dǎo)致3-RPS機構(gòu)的運動方式不同，即：①無論動平臺面積是否相同，均呈現(xiàn)Z軸移動，X、Y軸轉(zhuǎn)動并無附加運動；②鉸鏈布置角度值為0-0-0、90-90-90、60-90-120時，動平臺面積相同，運行不穩(wěn)定，動平臺面積不同，均不能運動。③鉸鏈布置角度值為θ1-0-90、0-θ2-90、90-θ2-0、90-0-θ3時，θ1、θ2、θ3取值為0°～90°，機構(gòu)運動方式不變，均為Z軸移動，X、Y軸轉(zhuǎn)動。

綜上所述，3-SPR中符合體感機構(gòu)要求的有：0-0-90，0-90-90，90-0-0，90-0-90，90-90-0，60-0-120，150-0-30； 3-RPS中符合體感機構(gòu)要求的有：0-0-90，0-90-0，0-90-90，90-0-0 ，90-0-90，90-90-0， 60-0-120，150-90-30。

2 機構(gòu)鉸鏈布置形式的軟件開發(fā)

對于12種典型鉸鏈布置形式的機構(gòu)進行建模分析，根據(jù)機構(gòu)穩(wěn)定性特點，開發(fā)出了適合3-RPS和3-SPR機構(gòu)鉸鏈布置形式的軟件，用于輔助鉸鏈布置形式的選擇。機構(gòu)參數(shù)流程圖如圖2所示。

圖2 機構(gòu)參數(shù)流程圖

機構(gòu)參數(shù)包含機構(gòu)的支點布置形式、平臺結(jié)構(gòu)設(shè)計、自由度數(shù)目及機構(gòu)類型。機構(gòu)的支點布置形式分為三點支撐、四點支撐及六點支撐。平臺結(jié)構(gòu)設(shè)計有等邊三角形、等腰三角形、六邊形，機構(gòu)類型有3-SPR、3-RPS、2-SPR+RPS、2-RPS+SPR等。根據(jù)機構(gòu)結(jié)構(gòu)類型及平臺布置形式，運用修正的Kutzbach-Grubler公式進行自由度的判斷。根據(jù)運動參數(shù)及性能要求的輸入來判斷機構(gòu)的性能是否滿足要求，如果性能驗證成功則呈可視化顯示，否則返回重新選擇參數(shù)和性能要求。機構(gòu)參數(shù)選擇界面中，平臺高度和平臺面積為初始位置時的機構(gòu)高度和上下平臺的面積，角度θ1、θ2、θ3的選擇為對12種典型鉸鏈布置中角度的選擇，角度選擇的結(jié)果會自動對應(yīng)出現(xiàn)該角度下應(yīng)該選擇的獨立變量、旋轉(zhuǎn)方式和運動方式。如：參數(shù)輸入選擇的機構(gòu)類型為3-SPR、平臺鉸鏈的布置角度分別為90°、0°、90°時，系統(tǒng)會自動顯現(xiàn)出其獨立選擇變量Xo、a、b，歐拉角的旋轉(zhuǎn)方式選擇了X-Y-X，并得出3-SPR在該鉸鏈布置角度下的運動方式，其與ADAMS分析結(jié)果一致。

3 結(jié)語

通過對12種典型旋轉(zhuǎn)鉸鏈布置形式下的3-RPS和3-SPR機構(gòu)進行自由度計算、數(shù)學建模和運動學分析，利用Pro-E和 ADAMS軟件分析及驗證所建模型，篩選出符合體感機構(gòu)要求的三自由度并聯(lián)機構(gòu)，結(jié)果可用于輔助鉸鏈布置形式的選擇。

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