王愛(ài)生 周輝 楊育棟

摘 要：該文研究二次曲線(xiàn)定向弦、定點(diǎn)弦、定長(zhǎng)弦這三種動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡方程的求解方法。通過(guò)把直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入二次曲線(xiàn)方程中，利用直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的幾何意義及弦的中點(diǎn)性質(zhì)，導(dǎo)出了二次曲線(xiàn)這三種動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡方程的求解公式，并借用導(dǎo)數(shù)記號(hào)簡(jiǎn)化了公式的形式，方便了公式的記憶和運(yùn)用。從而減少了計(jì)算量，簡(jiǎn)化了過(guò)程，不僅能使二次曲線(xiàn)三種動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡問(wèn)題迎刃而解，而且能非常簡(jiǎn)便地解決許多以弦的中點(diǎn)有關(guān)的其它問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：二次曲線(xiàn) 動(dòng)弦 中點(diǎn) 軌跡

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）11（a）-0163-02

二次曲線(xiàn)動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡主要有三種類(lèi)型：（1）方向一定的弦的中點(diǎn)軌跡；（2）過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡；（3）弦長(zhǎng)為定值的弦的中點(diǎn)軌跡。很多人對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到了許多方法和結(jié)論。但這些方法中對(duì)第（1）類(lèi)問(wèn)題，通常是把直線(xiàn)方程的斜截式代入二次曲線(xiàn)方程得到一個(gè)二次方程，再用韋達(dá)定理解決；對(duì)（2）類(lèi)問(wèn)題，通常把直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式代入二次曲線(xiàn)方程中得到一個(gè)二次方程再用韋達(dá)定理；對(duì)（3）類(lèi)問(wèn)題，通常是綜合運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，韋達(dá)定理及多元消元法；也有一些文章解決這3類(lèi)問(wèn)題時(shí)用的是“沒(méi)而不求法”或“點(diǎn)差法”等。不管怎樣，一般運(yùn)算量很大，技巧性特強(qiáng)，不便于操作和運(yùn)用。

該文通過(guò)把直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入二次曲線(xiàn)方程中，利用直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中t的幾何意義及弦的中點(diǎn)性質(zhì)，導(dǎo)出了二次曲線(xiàn)這三種動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡方程的求解公式，并借用導(dǎo)數(shù)記號(hào)簡(jiǎn)化了公式的形式，方便了公式的記憶和運(yùn)用，然后用實(shí)例說(shuō)明如何運(yùn)用這3個(gè)公式簡(jiǎn)便地解決二次曲線(xiàn)三種動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題以及這3個(gè)公式在與二次曲線(xiàn)弦的中點(diǎn)有關(guān)的許多其它問(wèn)題（如弦的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定、與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的問(wèn)題等）中的廣泛應(yīng)用。從而使這類(lèi)問(wèn)題的解決變得有“法”可依，減少了計(jì)算量，簡(jiǎn)化了過(guò)程。

1 公式的推導(dǎo)

為了得到一般結(jié)論，從二次曲線(xiàn)的一般方程入手。設(shè)二次曲線(xiàn)C的一般方程為：

又設(shè)過(guò)點(diǎn)P（，），傾斜角為的直線(xiàn)L的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：

把（3）代入（1）消去x，y化簡(jiǎn)整理得關(guān)于t的二次方程：

因?yàn)橹本€(xiàn)L與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程（3）總有兩個(gè)相異的實(shí)根，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)t的幾何意義有，由韋達(dá)定理得：

特別地，在通常情況下，

上式可寫(xiě)成：

形式地借用（2）的導(dǎo)數(shù)記號(hào)，有

對(duì)于第（1）類(lèi)問(wèn)題，若定向弦P1，P2的斜率為k，則，代入（6），得軌跡方程為： （Ⅰ）

對(duì)于第（2）類(lèi)問(wèn)題，若定點(diǎn)弦P1，P2經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則，代（6），得軌跡方程為：

（Ⅱ）

對(duì)于第（3）類(lèi)問(wèn)題，若定長(zhǎng)弦P1，P2的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則方程（4）的兩根與分別為，代入（4），并由于（5）得

或

（Ⅲ）

其中

式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ），尤其是（Ⅲ）看起來(lái)繁，但實(shí)際做題時(shí)，大多數(shù)情況下，圓錐曲線(xiàn)方程是標(biāo)準(zhǔn)形式，往往B=0，D=0或E=0，計(jì)算量不大。

3 公式的應(yīng)用

3.1 確定動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡或方程

（1）求定向弦中點(diǎn)的軌跡

例1 已知雙曲線(xiàn)方程為，求斜率為2的弦的中點(diǎn)軌跡。

解：化雙曲線(xiàn)方程為一般形式，又弦的斜率k=2，設(shè)弦的中點(diǎn)為（x，y），由公式（Ⅰ）得：，化簡(jiǎn)有

因此，所求軌跡是被雙曲線(xiàn)所截得的兩條射線(xiàn)。

（2）求定點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡

例2 過(guò)點(diǎn)A（1，2），作直線(xiàn)L交橢圓于P1，P2兩點(diǎn)，當(dāng)L繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求弦中點(diǎn)的軌跡。

解：化橢圓方程為一般形式，又弦過(guò)定點(diǎn)（1，2），

設(shè)弦的中點(diǎn)為（x，y）由公式（Ⅱ）得： ，化簡(jiǎn)有

（﹡）

因此，所求軌跡當(dāng)點(diǎn)A（1，2）在已知橢圓上或內(nèi)部時(shí)，弦的中點(diǎn)軌跡是橢圓（﹡），當(dāng)點(diǎn)A（1，2）在已知橢圓外時(shí)，弦的中點(diǎn)軌跡是橢圓（﹡）在已知橢圓內(nèi)的一段。

（3）求定長(zhǎng)弦中點(diǎn)的軌跡。

例3 已知線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為5，兩個(gè)端點(diǎn)分別在拋物線(xiàn)上滑動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程。

解：化拋物線(xiàn)方程為一般形式，又弦長(zhǎng)為5，設(shè)弦的中點(diǎn)為（x，y），由公式（Ⅲ）得：，

把代入，化簡(jiǎn)得：，這就是所求的軌跡方程。

3.2 確定弦的中點(diǎn)坐標(biāo)

例4 求直線(xiàn)被橢圓截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。

解：化橢圓方程為一般形式，又弦的斜率，設(shè)弦的中點(diǎn)為，由公式（Ⅰ）得：，即 ①

又點(diǎn)在直線(xiàn)上得： ②

①、②聯(lián)立求解，可得中點(diǎn)坐標(biāo)為。

3.3 確定以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的方程

例5 求拋物線(xiàn)，以點(diǎn)A（4，1）為中點(diǎn)的弦的方程。

解：設(shè)弦上任意一點(diǎn)為（x，y），由公式（Ⅱ）得：化簡(jiǎn)得。這就是所求的以點(diǎn)A（4，1）為中點(diǎn)的弦的方程。

3.4 求解與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題

例6 已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線(xiàn)，橢圓C上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。

解：化橢圓方程為一般形式：，設(shè)P1，P2是橢圓C上關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則連結(jié)P1，P2的弦所在直線(xiàn)的斜率。

又設(shè)弦P1，P2與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，則此點(diǎn)就是弦P1，P2的中點(diǎn)。

由公式（Ⅰ）得：，即

又點(diǎn)P在已知直線(xiàn)上，即

由于弦的中點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，因此，即，解此不等式得：

3.5 解決其它問(wèn)題

例7 定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上移動(dòng)，該線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解：由公式（Ⅲ）得：

，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離就是的最小值。又

而且僅當(dāng)，即時(shí)，的取得最小值。

因此，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或。

例8 定長(zhǎng)為4的線(xiàn)段AB，兩端點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡。

解：把直角坐標(biāo)系x軸與y軸，看成退化的圓錐曲線(xiàn)xy=0.設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y）

由公式（Ⅲ）得：

很明顯，xy=0不屬于軌跡上的點(diǎn)。因此，只能有，即，所求軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓。

由以上例子看出，借助公式（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），很多與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，都能很簡(jiǎn)便地解決，減少了很多計(jì)算量，繞過(guò)了尋找技巧的障礙。

公式（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），我認(rèn)為還有許多應(yīng)用需要挖掘，限于自己的水平，只能暫且擱筆。

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