黃耀東，張 穎，韓子騫

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410014)

0 引言

隨著科技進(jìn)步與社會(huì)的不斷發(fā)展，電力系統(tǒng)中的沖擊負(fù)荷日益增多，使得電網(wǎng)中電壓波動(dòng)與閃變更加頻繁，嚴(yán)重影響電能質(zhì)量，因此，需要對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)與分析并提出具體的方案［1］。

目前，常用的閃變調(diào)制波檢波方法有平方解調(diào)法、半波有效值法、全波整流法、小波變換法以及FFT 等［2］，但它們應(yīng)用于實(shí)際電網(wǎng)時(shí)都存在各自的缺陷與不足。

IEC 給出的閃變儀評(píng)價(jià)指標(biāo)是基于統(tǒng)計(jì)型的(如短時(shí)閃變嚴(yán)重度和長(zhǎng)時(shí)閃變嚴(yán)重度)，這些指標(biāo)無(wú)法體現(xiàn)閃變的具體參數(shù)，因此對(duì)研制閃變的裝置以及治理閃變的策略并無(wú)實(shí)際的指導(dǎo)意義［3］。

Prony 算法實(shí)時(shí)性較高且需要原始數(shù)據(jù)較少，是一種基于最小二乘法的線性擬合方法，它能夠提取并分析信號(hào)中的特征分量，因此在電能質(zhì)量分析當(dāng)中經(jīng)常采用該方法。

針對(duì)Prony 算法在電壓波動(dòng)與閃變過(guò)程中對(duì)噪聲敏感的缺陷，本文提出利用數(shù)學(xué)形態(tài)濾波法對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行處理，同時(shí)結(jié)合Hilbert 變換對(duì)閃變包絡(luò)進(jìn)行提取并利用Prony 算法分析提取去噪信號(hào)各頻率分量的特征參量，仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法的有效性與精確性。

1 電壓閃變信號(hào)的數(shù)學(xué)模型

一般而言，電壓閃變實(shí)際上可看作是正弦電壓的低頻調(diào)制，其數(shù)學(xué)模型表達(dá)如下:

式中:A0，ω0分別是基波電壓幅值和角頻率;Ai，ωi分別為調(diào)幅波電壓的幅值與角頻率。調(diào)幅波幅值最大約為基波的10%，角頻率一般為1～10 Hz。根據(jù)上述可知，閃變信號(hào)可看作是低頻幅值調(diào)制窄帶信號(hào)，因此滿足Hilbert 變換條件［4］。但是當(dāng)信號(hào)中有噪聲時(shí)必須對(duì)其進(jìn)行有效濾波才能保證Hilbert 變換的準(zhǔn)確性以及Prony 分析的精確性。

2 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波

2.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ)

數(shù) 學(xué) 形 態(tài) 學(xué)［5］(Mathematical Morphology，MM)是由數(shù)學(xué)集合理論與函數(shù)理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的一種新型數(shù)學(xué)方法。形態(tài)學(xué)濾波算法能有效消除信號(hào)的背景噪聲且計(jì)算速度快，同時(shí)能夠保持圖形與圖像信號(hào)主要的特征。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的原理是利用結(jié)構(gòu)元素(“探針”)收集信號(hào)特征，通過(guò)探針不斷移動(dòng)搜索信號(hào)之間的關(guān)系，提取信號(hào)信息并描述信號(hào)特征。因此被廣泛的應(yīng)用到實(shí)際的各個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中［6，7］。

MM 的運(yùn)算包含4 種基本操作處理方式，其運(yùn)算方式包括膨脹運(yùn)算、腐蝕運(yùn)算、開(kāi)運(yùn)算以及閉運(yùn)算，運(yùn)算處理過(guò)程方式不同則產(chǎn)生的效果也不同。根據(jù)n 維歐氏空間與高等數(shù)學(xué)理論及性質(zhì)，設(shè)子集合A 和B 在歐氏空間Rn范圍中，則形態(tài)學(xué)膨脹運(yùn)算和腐蝕運(yùn)算可以用表達(dá)式A 和B 來(lái)演示:

式中:⊕，Θ 代表膨脹和腐蝕運(yùn)算。腐蝕對(duì)信號(hào)內(nèi)部作濾波處理，具有收縮信號(hào)作用，膨脹對(duì)信號(hào)外部作濾波處理，具有擴(kuò)張信號(hào)作用。形態(tài)學(xué)開(kāi)運(yùn)算與閉運(yùn)算分別定義為:

式中:符號(hào)○與·分別代表開(kāi)運(yùn)算和閉運(yùn)算。

2.2 形態(tài)學(xué)濾波器的構(gòu)造

定義原始信號(hào)f(x)為Df上的離散函數(shù)，結(jié)構(gòu)元素g(x)為Dg上的離散函數(shù)，且有Df，Dg分別為f(x)與g(x)的定義域。根據(jù)不同順序級(jí)聯(lián)開(kāi)、閉運(yùn)算，定義了形態(tài)開(kāi)-閉與形態(tài)閉-開(kāi)濾波器。

濾波器通過(guò)構(gòu)造開(kāi)-閉運(yùn)算與閉-開(kāi)運(yùn)算濾除正負(fù)脈沖噪聲。由于開(kāi)運(yùn)算的收縮性導(dǎo)致開(kāi)-閉濾波器的輸出偏小，閉運(yùn)算的擴(kuò)張性導(dǎo)致閉-開(kāi)濾波器的輸出偏大，因此直接影響濾波器的去噪性能。所以采用開(kāi)-閉與閉-開(kāi)組合形態(tài)濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行非線性濾波［8］。

式中:f(x)為含噪聲的原始輸入信號(hào);y(x)為形態(tài)濾波器的輸出信號(hào)。

2.3 結(jié)構(gòu)元素的選取

結(jié)構(gòu)元素包括形狀和尺寸兩方面，形狀和尺寸的選取直接影響濾波器的濾波效果［9］。結(jié)構(gòu)元素有直線、斜線、曲線(如正弦、余弦等)、圓形、三角形以及其他多邊形(如矩形、六角形、菱形等)等。在腐蝕和膨脹過(guò)程中結(jié)構(gòu)元素需要左右翻轉(zhuǎn)和平移，因此結(jié)構(gòu)元素應(yīng)具有良好的對(duì)稱性以滿足其作為“濾波窗”的作用。

經(jīng)驗(yàn)表明，與其他形狀相比，圓形結(jié)構(gòu)對(duì)毛刺及邊界點(diǎn)具有較好的抑制作用，因此選用圓形結(jié)構(gòu)作為結(jié)構(gòu)元素的形狀。同時(shí)，為了驗(yàn)證其具有較好的平滑效果，利用三角形結(jié)構(gòu)元素與直線形結(jié)構(gòu)元素與其進(jìn)行濾波比較，并以信噪比作為參考標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果如表1 所示。

從表1 可以看出:圓形結(jié)構(gòu)的濾波效果優(yōu)于三角形與直線型結(jié)構(gòu)的濾波效果。

表1 不同形狀結(jié)構(gòu)元素濾波器去噪結(jié)果

圖1 為圓形結(jié)構(gòu)元素濾波器的濾波仿真結(jié)果。由圖1 可以看出:圓形結(jié)構(gòu)元素濾波器具有良好的濾波效果，對(duì)噪聲起到有效的抑制作用。

圖1 圓形結(jié)構(gòu)元素濾波器濾波仿真圖

3 Prony 算法

3.1 Prony 算法基本原理

擴(kuò)展Prony 算法［10～12］的數(shù)學(xué)模型采用的是一組具有任意幅值、頻率、相位和衰減因子的指數(shù)函數(shù)，其離散時(shí)間函數(shù)形式如下:

式中:bi=Aiexp(jθi);zi=exp［(αi+j2πfi)Δt］;Ai代表幅值;θi代表相位;αi代表衰減因子;fi代表震蕩頻率;Δt 代表采樣間隔。定義一代價(jià)函數(shù)，令誤差平方和ε=0，即可求得四元組參數(shù)(Ai，θi，αi，fi)。定義一常系數(shù)線性差分方程式如下:

算法的重點(diǎn)為常系數(shù)線性差分方程式(10)的齊次解為式(9)的擬合。定義:式(10)中參數(shù)a1，a2，…，ap的最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則是使得誤差平方和最小。定義:i)，n=p，…，N-1，那么求解方程Xa=ε 的線性最小二乘法稱作擴(kuò)展的Prony 算法。定義樣本函數(shù)為)，i，j=0，1，…，p，通過(guò)輸入信號(hào)構(gòu)造r(i，j)與擴(kuò)展階矩陣Re(pe?p):

利用SVD-TLS 算法求取Re的有效秩與系數(shù)a1，a2，…，ap的總體最小二乘估計(jì)，然后求特征多項(xiàng)式1 +a1z-1+a2z-2+…+apz-p=0 的根，同時(shí)通過(guò)遞推差分方程(10)求出，n =1，2，…，N-1，且有，再求取的最小二乘解，得到參數(shù)b1，b2，…，bp最終計(jì)算各個(gè)頻率分量的四元組參數(shù):AI= |bi|，θi=arctan［Im(bi)/Re(bi)］/(2πΔt)，αi=In|zi|/Δt，fi=arctan［Im(zi)/Re(zi)］/(2πΔt)。

3.2 Hilbert 變換原理-閃變包絡(luò)線的形成

4 算例仿真分析

在MATLAB7．0 平臺(tái)上進(jìn)行編程仿真，對(duì)原始信號(hào)與含噪信號(hào)進(jìn)行仿真分析來(lái)驗(yàn)證算法的可行性與有效性。采樣信號(hào)的頻率為1 000 Hz，信號(hào)采樣時(shí)間為200 s，基波的頻率為50 Hz。

4.1 對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行Prony 算法仿真分析

電壓閃變信號(hào)選取單一低頻幅值調(diào)制的電壓信號(hào)，如下所示:

由表2 可以看出，閃變信號(hào)經(jīng)Prony 分析得到一個(gè)幅值為1(p．u．)，頻率為50 Hz 的基頻載波分量，以及頻率分別為40 Hz 和60 Hz，幅值為0．1 的兩個(gè)低頻間諧波調(diào)幅波分量，且兩間諧波的相位和衰減系數(shù)均接近為零。仿真分析顯示，在不受噪聲干擾情況下Prony 算法可以準(zhǔn)確估計(jì)出閃變信號(hào)各頻率分量的特征參數(shù)。

表2 原始信號(hào)的Prony 分析結(jié)果

原始信號(hào)的Prony 擬合圖如圖2 所示。Prony擬合精度高，且信號(hào)幾乎與原始信號(hào)重合，同時(shí)Hilbert 變換提取出的閃變信號(hào)包絡(luò)線能夠精確地體現(xiàn)閃變信號(hào)的變化。

圖2 原始信號(hào)的Prony 擬合

4.2 基于數(shù)學(xué)形態(tài)濾波和Prony 分析的仿真分析

在原始信號(hào)基礎(chǔ)上添加均方差為0．3，均值為0 的隨機(jī)噪聲，并對(duì)含噪信號(hào)以及3 種形態(tài)學(xué)濾波后的信號(hào)進(jìn)行仿真分析比較，結(jié)果如表2所示。

從表3 可以看出，對(duì)含噪信號(hào)得Prony 分析誤差較大，存在波動(dòng)現(xiàn)象，且在估計(jì)40 Hz 頻率分量時(shí)，幅值的相對(duì)誤差達(dá)到427．60%。采用數(shù)學(xué)形態(tài)濾波處理后的Prony 分析均較為準(zhǔn)確，與去噪前相比較，頻率與幅值估計(jì)的相對(duì)誤差明顯下降。仿真分析表明Prony 算法易受噪聲影響，采用數(shù)學(xué)形態(tài)濾波進(jìn)行去噪預(yù)處理可以有效提高Prony 分析特征參數(shù)的精確度。圓形結(jié)構(gòu)濾波器與Prony 分析結(jié)合較三角形、直線形與之結(jié)合分析的效果好，更加穩(wěn)定，且頻率估計(jì)的相對(duì)誤差均在1．6%以內(nèi)，幅值估計(jì)的相對(duì)誤差均低于其他兩種濾波后的估計(jì)誤差，因此，該方法具有更精確的分析效果。

表3 含噪聲信號(hào)的Prony 分析結(jié)果

圖3 為含噪信號(hào)通過(guò)Prony 擬合得到的仿真圖，由圖3 可以看出Prony 分析算法易受噪聲影響，其擬合信號(hào)的效果不佳，與原始信號(hào)誤差較大。

圖3 去噪前信號(hào)的Prony 擬合

圖4 去噪后信號(hào)的Prony 擬合

圖4 為圓形結(jié)構(gòu)濾波去噪后信號(hào)的Prony 擬合仿真圖，由圖4 可以看出，經(jīng)過(guò)形態(tài)濾波預(yù)處理后，Prony 擬合信號(hào)比較平滑且與原始信號(hào)較為接近。仿真表明，將數(shù)學(xué)形態(tài)濾波法與Prony 算法結(jié)合可以改善Prony 算法對(duì)噪聲敏感的問(wèn)題，從而提高電壓閃變檢測(cè)的精確性。

5 結(jié)論

利用數(shù)學(xué)形態(tài)濾波方法對(duì)含噪聲的電壓閃變信號(hào)進(jìn)行去噪預(yù)處理，并結(jié)合擴(kuò)展Prony 算法與Hilbert 變換進(jìn)行檢測(cè)與分析，彌補(bǔ)了Prony 算法對(duì)易受噪聲影響的缺陷，實(shí)現(xiàn)了對(duì)閃變信號(hào)檢測(cè)與分析。仿真結(jié)果表明，該方法可以提高Prony算法的有效性與精確性，同時(shí)能夠分析信號(hào)特征參數(shù)并提取閃變包絡(luò)，是一種有效的電壓閃變檢測(cè)分析方法。

［1］肖湘寧，韓民曉，徐永福．電能質(zhì)量分析與控制［M］．北京:中國(guó)電力出版社，2004．

［2］舒泓，王毅．基于數(shù)學(xué)形態(tài)濾波與Hilbert 變換的電壓閃變測(cè)量［J］．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(1):111-114．

［3］沈楊，戴本祁，張惠東．基于小波和擴(kuò)展Prony 算法的電壓閃變檢測(cè)新方法［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2010，38(10):43-47．

［4］王秉均．通信原理及其應(yīng)用［M］．天津:天津大學(xué)出版社，2000．

［5］崔屹．圖像處理與分析:數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及應(yīng)用［M］．北京:科學(xué)出版社，2002．

［6］于湘濤，褚福磊，郝如江．基于柔性形態(tài)濾波和支持矢量機(jī)的滾動(dòng)軸承故障診斷方法［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(7):75-80．

［7］陳平，李慶民．基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與分析［J］．中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25(11):60-65．

［8］黃艷菊，孫強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波在電壓閃變檢測(cè)中的應(yīng)用［J］．機(jī)電產(chǎn)品開(kāi)發(fā)與創(chuàng)新，2011，24(4):143-145．

［9］吳國(guó)洋．基于粒子群優(yōu)化的形態(tài)學(xué)濾波器消噪方法［J］．機(jī)械傳動(dòng)，2012，36(8):101-104．

［10］張賢達(dá)．現(xiàn)代信號(hào)處理［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2002．

［11］Tayjasanant T，Wang W C，Li C，et，al．Interharmonic-flicker curves［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2005，20(2):1017-1014．

［12］劉建雄，張有兵，翁國(guó)慶，等．基于Prony 算法的電壓閃變檢測(cè)方法研究［J］．機(jī)電工程，2008，25(6):54-57．

［13］Feilat E A．Detection of voltage envolope using prony analysis-hilbert transform method［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2006，21(4):2091-2093．