韓筱爽， 方明

( 1.延邊大學科學技術學院, 吉林 延吉 133002； 2.延邊大學理學院 數(shù)學系, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

所謂預警[1-2]是指在災害或災難以及其他需要提防的危險發(fā)生之前，根據(jù)以往總結的規(guī)律或觀測得到的可能性前兆，使系統(tǒng)發(fā)出緊急信號報告危險情況，以避免災害在不知情或準備不足的情況下發(fā)生，從而最大限度地降低危害所造成的損失的行為.預警系統(tǒng)是指具備上述功能的系統(tǒng).文獻[3-7]中作者討論了一類具有2個運行部件和1個儲備部件、故障修復時間服從一般分布的人-機系統(tǒng)模型，運用泛函分析中Banach空間上的線性算子半群理論,先后證明了系統(tǒng)解的存在唯一性、半離散化、漸進穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性和系統(tǒng)的譜特征，并分析了其可靠性.

本文在上述模型上，增加一個新的預警狀態(tài)，使之成為具有可修復儲備部件和預警功能的人-機系統(tǒng)模型，使得系統(tǒng)的初值條件屬于定義域，這樣原來利用Banach空間上線性算子半群方法求得的弱解變成了強解.在此基礎上,對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、預警與非預警系統(tǒng)(相對于本文的系統(tǒng)狀態(tài)，原來所研究的即為非預警系統(tǒng))的穩(wěn)態(tài)可用度進行了研究，最后通過數(shù)值計算表明，當風險失效率取特定值時，預警與非預警系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的相對誤差趨于0.這樣，在生產(chǎn)生活中，可根據(jù)風險系數(shù)的實際意義，做出合理的風險預測，建立相應預警系統(tǒng)模式，從而最大限度減少各種危害造成的損失.

1 模型描述

系統(tǒng)的狀態(tài)轉換流程如圖1所示,其中:i=0表示2個運行部件和1個儲備部件均處于完好狀態(tài);i=1表示1個運行部件因硬件錯誤而故障, 1個儲備部件立即補充運行;i=2表示系統(tǒng)僅有1個部件正常運行而無儲備部件;i=3表示系統(tǒng)由于硬件錯誤而處于故障狀態(tài);i=4表示系統(tǒng)由于通常錯誤而處于故障狀態(tài);i=5表示系統(tǒng)由于臨界人為錯誤而處于故障狀態(tài);i=c表示系統(tǒng)由于通常錯誤而處于故障狀態(tài),但系統(tǒng)仍能繼續(xù)運行(預警狀態(tài)).該模型可用如下積分-微分方程描述:

圖1 系統(tǒng)工作流程

(1)

(2)

其中p(t)=(p0(t),p1(t),p2(t),pc(t),p3(x,t),p4(x,t),p5(x,t)).

2 系統(tǒng)解的性質

根據(jù)文獻[4-7]中的證明方法可得如下結論:

定理2柯西問題(2)具有唯一非負時間依賴弱解P(t)=T(t)P(0),t∈[0,∞).

推論1設A如前定義,正數(shù)c如前假設,則算子A生成壓縮半群S(t)是指數(shù)衰減的,即對任意c>ω>0,‖S(t)‖≤e-ω t,t≥0.

定理3設A如前定義,正數(shù)c如前假設,則A+E生成的壓縮半群T(t)具有以下性質:

1)當{γ∈C:Reγ>0}時,γ∈σ(A+E)?D(γ)=0;

2)設γ0=0, 對任意的γk={γ∈C|Reγ+c>0,D(γ)=0},γk≠γ0, 其中γk按照實部遞減排序,即Reγk+1≤Reγk,k=1,2,…,N, 則γ0=0是A+E的嚴格占優(yōu)本征值;

上述結果表明,在一定的條件下系統(tǒng)的動態(tài)解以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.

3 系統(tǒng)解的穩(wěn)態(tài)可用度

首先假設風險失效率λc=αλ, 當α→∞時,即系統(tǒng)發(fā)出預警提示后不去檢查或修理,使其繼續(xù)工作,即預警功能未能起到預警作用,那么此時的系統(tǒng)模型回歸到非預警系統(tǒng),由文獻[5]求得非預警系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

表1 預警與非預警系統(tǒng)相對誤差變化情況(μ=1)

表2 預警與非預警系統(tǒng)相對誤差變化情況(μ=0.1)

表3 預警與非預警系統(tǒng)相對誤差變化情況(μ=0.01)

參考文獻：

[1] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學引論[M].北京:科學出版社,1986:182-244.

[2] 高超,朱廣田.具有預警功能的可修復系統(tǒng)[J].應用泛函分析學報,2011，13(1):19-29.

[3] Nianfu Yang, Dhillon BS. Availability analysis of a repairable standby human-machine system[J]. Microelectron Reliab, 1995,35:1401-1413.

[4] 方明,韓筱爽.一類具有可修復儲備部件的人-機系統(tǒng)的解的存在唯一性[J].延邊大學學報:自然科學版,2008,34(1):14-17.

[5] 方明,韓筱爽.一類具有可修復儲備部件的人-機系統(tǒng)的解的譜特性[J].延邊大學學報:自然科學版,2009,35(4):305-308.

[6] 姜英秀,韓筱爽.一類具有可修復儲備部件的人-機系統(tǒng)解的指數(shù)穩(wěn)定性[J].延邊大學學報:自然科學版,2012,38(2):108-111.

[7] 韓筱爽,程龍.一類具有可修復儲備部件的人-機系統(tǒng)的可靠性分析[J].延邊大學學報:自然科學版,2013,39(1):9-13.