郭莉琴

（天水師范學院 數學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001）

f-semiclean環(huán)上的冪級數環(huán)

郭莉琴

（天水師范學院 數學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001）

對semiclean環(huán)和f-clean環(huán)做了推廣,給出了f-semiclean環(huán)的概念.討論了f-semiclean環(huán)上的形式冪級數環(huán)和斜冪級數環(huán)的f-sem iclean性質.

滿元素；f-semiclean環(huán)；形式冪級數環(huán)；斜冪級數環(huán)

環(huán)是一個基本的代數系統(tǒng),也是代數學的主要研究分支之一,它在代數學研究中起著舉足輕重的作用.clean環(huán)是一個非常重要的特殊環(huán)類,也是一個較新的研究課題.對clean環(huán)的研究起源于模的消去問題,最早是由Nicholson,W.K.于1977在文獻[1]中提出的.隨后，就有好多學者研究了clean環(huán)的特殊子類,如唯一clean環(huán)和強clean環(huán).1999年, Nicholson,W.K.研究了強clean環(huán),2001年，他又研究了clean環(huán)的擴張.2003年Ye yuanqing在文獻[2]中推廣了clean環(huán),給出了semiclean環(huán)的概念,并研究了semiclean環(huán)的一些性質.文獻[3]給出了f-clean環(huán)的概念及其一些擴張性質.受以上文獻中結果的啟發(fā),我們把semiclean環(huán)和f-clean環(huán)做了推廣,給出了f-semiclean環(huán)的概念及其一些相關結果.

文中除特別聲明之外,總假定R是有單位元的環(huán).J（R）, U（R）和Id(R)分別表示環(huán)R的Jacoboson根,R的單位群和由R的冪等元構成的集合.

定義1[1]稱環(huán)R的元素r是clean元,是指r=e+u,其中e∈Id(R),u∈U(R).如果R的每個元素都是clean元,則稱R是clean環(huán).

定義2[2]稱環(huán)R的元素r是semiclean元,是指r=a+u,其中a是R的周期元（即am=an,m,n∈Z+，且m≠n）,u∈U(R).如果R的每個元素都是semiclean元,則稱R是semiclean環(huán).

定義3[3]稱環(huán)R的元素w是滿元素,是指存在s,t∈R,使得swt=1.環(huán)R的所有滿元素做成的集合記為K(R).顯然,環(huán)R的可逆元和單邊可逆元都在集合K(R)中.

定義4[3]稱環(huán)R的元素r是f-clean元,是指r=e+w,其中e∈Id(R),w∈Id(R).稱R是f-clean環(huán),是指R的每個元素都是f-clean元.

定義5稱環(huán)R的元素r是f-semiclean元,是指r=a+w,其中a是R的周期元（即am=an,m,m∈Z+，且m≠n）,w∈K(R).稱環(huán)R是f-semiclean環(huán),是指R的每個元素都是f-semiclean元.

Ara,P.Goodearl,K.R.和Pardo,E.在文獻[4]中研究了純有限單環(huán).如果R不是除環(huán),但R是純有限單環(huán),則對R的每個非零元x,都存在s,t∈R,使得sxt=1.對純有限單環(huán)R的元素x來說,要么x=0,要么x是R的滿元素,因此純有限單環(huán)是f-semiclean環(huán),但它不是semiclean環(huán).所以f-semiclean環(huán)是semiclean環(huán)的真推廣.又每個冪等元都是周期元，但周期元不一定是冪等元，所以f-semiclean環(huán)也是f-clean環(huán)的真推廣.

由f-semiclean環(huán)的定義立即可得：

引理1 f-semiclean環(huán)的同態(tài)像是f-semiclean環(huán);

文獻[5]中給出結論:R是clean環(huán)當且僅當R/J(R)是clean環(huán)且冪等元模J(R)可被提升.我們得到如下結論:

定理1設R是環(huán).如果周期元模J(R)可被提升,則R是f-semiclean環(huán)當且僅當R/J(R)是f-semiclean環(huán).

文獻[2,例3.2]證明了非零環(huán)上的多項式環(huán)不是semiclean環(huán).對于f-semiclean環(huán),我們得到了類似的結果:

例1設R是非零交換環(huán),且R是f-semiclean環(huán),但R [x]不是f-semiclean環(huán).

證明假設R[x]是f-semiclean環(huán),對R[x]中的元素x而言,存在R[x]中的周期元a和滿元素w,使得x=a+w.但R[x]包含惟一的周期元0和惟一的滿元素1,則x=0+1,這不可能.故R[x]不是f-semiclean環(huán).

對于環(huán)R[x]/〈xn+1〉而言,我們得到如下結論：

定理2設R是f-semiclean環(huán).如果周期元模J(R)可被提升,則對任意n≥1,都有R[x]/〈xn+1〉是f-semiclean環(huán).

引理2[6]設R是環(huán),α是環(huán)R上的自同態(tài),如果f=a0+a1x+a2x2+…∈R[[x;α]],則f∈U(R[[x；α]])當且僅當a0∈U (R).

文獻[5]的定理2證明了:如果α是環(huán)R上的自同態(tài),則以下三條等價:(1)R是clean環(huán);(2)R上的形式冪級數環(huán)R[[x]]是clean環(huán);(3)R上的斜冪級數環(huán)R[[x；α]]是clean環(huán).對于f-semiclean環(huán),我們有如下結論:

定理3 設α是環(huán)R上的自同態(tài),則以下等價:

(1)R是f-semiclean環(huán);

(2)R上的形式冪級數環(huán)R[[x]]是f-semiclean環(huán);

(3)R上的斜冪級數環(huán)R[[x；α]]是f-semiclean環(huán).

〔1〕N icholson,W.K.Lifting idempotents and exchange rings[J].Trans.Amer.Math,Soc,1977,229(2):269-278.

〔2〕Ye,Y.Q. Sem iclean Rings[J].Comm.Algebra,2003, 31(11):5609-5625.

〔3〕Li,B.J.and Feng,L.G.f-clean rings and rings having many full elements[J].J.Korean Math.Soc,2010,47 (2):247-261.

〔4〕Ara,P.Goodearl,K.R.and Pardo,E.K0 of purely infinite simple regular rings[J].K Theory,2002,26(1): 69-100.

〔5〕Cam illo,V.P.and Yu,H.P.Exchange rings,units and idempotents[J].Comm.Algebra,1994,22(12)4737-4749.

〔6〕Askar Tuganbaev.Rings Close to Regular[M].Kluwer Academ ic Publishers,2002.

O153.3

A

1673-260X（2014）01-0005-02

天水師范學院中青年教師科研資助項目“特殊環(huán)與半環(huán)的分次和導子的研究”(TSA1312)階段性成果