徐敏

（遼寧省水文水資源勘測局本溪分局，遼寧 本溪 117000）

小波水文分析在年降水量分析中的應(yīng)用

徐敏

（遼寧省水文水資源勘測局本溪分局，遼寧 本溪 117000）

水文工作一項重要任務(wù)就是對相關(guān)要素進(jìn)行中、長期水文預(yù)報，目前采用的方法一般為參數(shù)估計法、多元回歸法、線性相關(guān)法等。應(yīng)用小波水文分析理論，探討降水量時間序列的多時間尺度變化特征，尋找出降水量時間序列不同時間尺度下的演變規(guī)律和發(fā)展趨勢，從而為降水量的中、長期預(yù)測提供分析依據(jù)。

小波水文分析；時間尺度；降水量

0引言

由于水文要素（降水、流量等）具有大量的不確定性和復(fù)雜性，常規(guī)的分析方法很難對它們的發(fā)展規(guī)律和變化特征有清晰的了解和準(zhǔn)確的預(yù)測。此文介紹一種新的方法—小波水文分析法，小波 分 析（waveletanalysis）是 一 種 由 粗 及 細(xì) 的 分 析方法，它可以觀測到細(xì)微的變化，也可以展示大的變化趨勢，同時能獲得不同頻帶的簡單序列。將小波分析引入到水文學(xué)應(yīng)用研究中，可以從多方面揭示水文系統(tǒng)的變化規(guī)律，從而為防汛抗旱、水資源合理開發(fā)利用及配置提供技術(shù)支撐。

1 方法原理

小波分析是一種窗口大小固定但形狀可變（時寬和頻寬可變）的時頻局部化分析方法，具有自適應(yīng)的時頻窗口。高頻段時，頻域窗口增大，時間窗口減小；低頻段時，時間窗口增大，頻域窗口減小，其關(guān)鍵是在于引入了滿足一定條件的基本小波函數(shù)以代替 Fourier 變換中的基函數(shù)。常用的小波函數(shù)有 Morlet小波和 Marr 小波。

對于給定的小波函數(shù) ψ（t），水文時間序列 f（t）∈L2（R）的連續(xù)小波變換為：

式中：a 為尺度因子，反映小波的周期長度；b 為時間 因 子，反映 小波 時間 上 的 平移 ；wf（a，b）為小 波變換系數(shù)；t為時間。

由于時間序列常常是離散的，則其離散形式為：

式中：k 為水文序列數(shù)；△t為水文序列數(shù)時間間隔；n為水文序列總數(shù)。

小波變換系數(shù) wf（a，b）隨參數(shù) a，b 變化，可以作出橫坐標(biāo)為 b，縱坐標(biāo)為 a 的關(guān)于 wf（a，b）的二維等值線圖，即小波變換系數(shù)圖，通過此圖可得到關(guān)于時間序列變化的小波變化特征。運用小流變換系數(shù)的分析，可識別水文要素的多時間尺度深變特征。

通過小波方差計算，可以確定一個水文序列中存在的主要時間尺度，即主周期。公式為：

式中：Var（a）為小流方差。

當(dāng)使用 Morlet 小波 ψ （t）=eicte-t2/2時 ，Morlet小波 ψ（t）伸縮尺度 a 與周期 T 有如下關(guān)系：

式中：c 為常數(shù) c=6.2；T 為周期。

2 應(yīng)用實例

以本溪市 1965—2012 年共 48 年的年降水量資料為例，將小波分析應(yīng)用于降水量時間序列多時間尺度分析，以了解其不同時間尺度的詳細(xì)結(jié)構(gòu)和變化趨勢，進(jìn)而來分析豐枯水周期。為方便處理，將降水量按距平處理，見圖 1。

圖1 本溪市年降水量距平過程圖

以上述資料來進(jìn)行多時間尺度分析，小波函數(shù)用 Morlet小波。Morlet小波為復(fù)數(shù)小波，其小波變換的模和實部是2個重要的變量。模的大小表示特征時間尺度信號的強弱，實部表示不同特征時間尺度信號在不同時間上的分布和位相兩方面的 信 息 。 將 年 降 水 量 距 平 過 程 f（k △t）（k= 1，2，3，4，…，48；△t=1）和 Morlet小波函數(shù)代入上述離散形公式，取不同的 a，b，計算小波變換的模平方和實部，繪制二維等值線圖，見圖 2。

圖2 本溪市年降水量距平小波變換的模平方時頻分布圖

圖 2 表示了年降水量距平序列 Morlet 小波變換模平方的時頻變化，從圖中可以看出不同時段各時間尺度的強弱分布，其中 8～13 年時間尺度變化較強，主要發(fā)生在 1970—1983 年，振蕩中心在1978 年，25～30 年時間尺度也比較強，振蕩中心在1978 年。另外 1～5 年時間尺度分別在 1973—1983年和 2002 以后表現(xiàn)明顯，其余較弱。同時可知，降水量時間序列的時間尺度在時間域上分布不均勻，具有顯著的局部化特征。

取 a=8，計算小波變換系數(shù)，繪制隨著 a 的變化過程，見圖 3。

圖3 本溪市年降水量距平序列時間尺度8年Morlet小波變換實部變化過程圖

圖3 給出了8年時間尺度小波變換系數(shù)的變化過程，可以看出，1981—1982，1985—1992，1995—1999 年位于正相位，降水偏多。而 1976—1980，1983—1984，1993—1994，2000—2009 年位于負(fù)相位，降水偏少。同時表明，不同尺度下的干濕交替變化不同，干濕變化與時間尺度大小的緊密聯(lián)系。

3 結(jié)語

通過對本溪市 1965—2012 年共 48 年的年降水量 Morlet 小波變換分析可知：本溪市年降水量具有 8～13 年的周期?？梢娦〔ǚ治鲎鳛閿?shù)學(xué)工具不僅實用而且具有時頻局部化特性，可以利用這種時頻窗口變化特性來展現(xiàn)水文要素時間序列的精細(xì)結(jié)構(gòu)，成為分析其多時間尺度變化及分布的一種途徑，在中長期水文預(yù)報中具有很大的應(yīng)用潛力。

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