錢學(xué)毅,遲建華,吳 雙
(1.武夷學(xué)院電子工程系,福建 武夷山 354300;2.大連開(kāi)發(fā)區(qū)大開(kāi)產(chǎn)業(yè)發(fā)展研究中心,遼寧 大連 116600;3.浙江經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用工程系,浙江 杭州 310018)
對(duì)弧齒錐齒輪傳動(dòng)進(jìn)行約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)是提高產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量、縮短產(chǎn)品設(shè)計(jì)周期、提升產(chǎn)品市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力的有效手段。傳統(tǒng)的格利森制弧齒錐齒輪是按照齒面兩側(cè)具有相同嚙合性能的原則進(jìn)行對(duì)稱設(shè)計(jì)。但在工程實(shí)踐中,大部分傳動(dòng)裝置如汽車等正轉(zhuǎn)一側(cè)齒面的使用率大大高于另一側(cè)。因此,為充分利用材料,研究弧齒錐齒輪強(qiáng)度的非對(duì)稱設(shè)計(jì)(在反轉(zhuǎn)齒面用一個(gè)小的壓力角、在正轉(zhuǎn)齒面使用一個(gè)較大的壓力角)即可以提高齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度、齒面接觸強(qiáng)度和膠合強(qiáng)度又可以有效地避免齒頂過(guò)分變尖的現(xiàn)象,具有工程實(shí)用意義。文獻(xiàn)[1-2]提出了設(shè)計(jì)雙壓力角非對(duì)稱齒廓齒輪的思想,用以在發(fā)揮大壓力角優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)又可避開(kāi)輪齒兩側(cè)壓力角同時(shí)增大會(huì)導(dǎo)致齒頂強(qiáng)度和柔度下降,抗沖擊能力降低,加載時(shí)容易崩齒等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[3]提出了在準(zhǔn)雙曲面齒輪輪坯設(shè)計(jì)中,摒棄強(qiáng)度的對(duì)稱設(shè)計(jì),修正正轉(zhuǎn)用齒面的壓力角,以增加正轉(zhuǎn)用齒面的強(qiáng)度,減少齒根拉應(yīng)力。
本文在上述設(shè)計(jì)思想的基礎(chǔ)上,根據(jù)齒輪嚙合原理和現(xiàn)代摩擦學(xué)理論,建立了以弧齒錐齒輪傳動(dòng)齒面上瞬時(shí)接觸線方向與相對(duì)滑動(dòng)速度之間夾角的余切值最小、傳動(dòng)總體積最小和齒面誘導(dǎo)法曲率主值最小為目標(biāo)函數(shù)的約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。借助于改進(jìn)的微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化算法,利用MATLAB編制優(yōu)化程序,通過(guò)范例對(duì)非對(duì)稱弧齒錐齒輪傳動(dòng)進(jìn)行兩目標(biāo)和三目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。并分析了齒面上瞬時(shí)接觸線方向與相對(duì)滑動(dòng)速度之間夾角及齒面誘導(dǎo)法曲率主值對(duì)齒面接觸強(qiáng)度和膠合強(qiáng)度的影響,為其綜合性能的進(jìn)一步優(yōu)化提供基礎(chǔ)。
接觸線方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度之間的夾角θ在齒輪嚙合中是一個(gè)很重要的角度。它對(duì)于兩齒面在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)形成潤(rùn)滑油膜的條件有很大的影響。根據(jù)彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑理論中的Dowson-Higginson線接觸最小油膜厚度公式[4]
式中:hmin—最小油膜厚度(mm)
a—潤(rùn)滑油的黏壓系數(shù)(MPa-1)
η0—潤(rùn)滑油的動(dòng)力黏度(MPa·s)
U—卷吸速度(mm/s)
R—當(dāng)量曲率半徑(mm)
L—兩齒面接觸線的長(zhǎng)度(mm)
—齒輪材料綜合彈性模量(MPa)
W—齒面間的法向載荷(N)
從上式中可見(jiàn),最小彈流油膜厚度與卷吸速度(即形成油膜的有效速度)有關(guān),卷吸速度越大,最小膜厚越大,潤(rùn)滑條件越好,抗膠合能力和抗磨損能力越強(qiáng)。卷吸速度等于相對(duì)滑動(dòng)速度在與接觸線垂直方向上的分量。因此,為了有利于形成油膜,改善潤(rùn)滑條件,接觸線方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度之間的夾角θ應(yīng)盡可能的大。依據(jù)齒輪嚙合原理
式中:α—法向壓力角(o)
β—螺旋角(o)
顯然,由式(2)計(jì)算的值cotθ越小越好。
根據(jù)微分幾何理論和齒輪嚙合原理,兩相嚙合齒面在切點(diǎn)沿同一個(gè)方向的法曲率之差稱為該方向的誘導(dǎo)法曲率,是相對(duì)曲率,它刻劃了兩嚙合齒面在該方向上相對(duì)彎曲的程度,也就是切點(diǎn)沿同一方向的鄰近點(diǎn)相對(duì)離開(kāi)的快慢程度。共軛齒面的誘導(dǎo)法曲率是衡量齒輪傳動(dòng)質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo),該值越小,說(shuō)明兩接觸齒面在這個(gè)方向上相對(duì)彎曲的程度越弱,當(dāng)量曲率半徑越大,Hertz彈性接觸應(yīng)力越小,接觸強(qiáng)度越高,同時(shí)Hertz應(yīng)力的減小還使齒間最小油膜厚度增加,抗膠合承載能力得以提高。
過(guò)嚙合齒面上的某一切點(diǎn),沿不同的方向,具有不同的誘導(dǎo)法曲率,必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,其最大值和最小值稱為誘導(dǎo)法曲率主值。取得主值的方向稱為主方向,兩個(gè)主方向具有正交性。
弧齒錐齒輪在傳動(dòng)時(shí)是線接觸,兩齒面在接觸線方向τ的誘導(dǎo)法曲率等于零,這是它的一個(gè)主方向。誘導(dǎo)法曲率的另一主方向與接觸線方向τ垂直,設(shè)這個(gè)方向的誘導(dǎo)法曲率主值為kσ,則kσ是最大值,用式(3)計(jì)算[5]:式中:σk—誘導(dǎo)法曲率主值(mm-1)
δ1,δ2—小輪、大輪的分度錐角(o)L1—小輪分度圓錐的錐距(mm)其他符號(hào)意義同前。
微分進(jìn)化算法(Differential Dvolution, DE)是近來(lái)提出的簡(jiǎn)單而高效的多目標(biāo)進(jìn)化算法,是一種采用浮點(diǎn)矢量編碼的全局空間中進(jìn)行隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于多目標(biāo)微分進(jìn)化算法的研究尚處于起步階段,相關(guān)研究主要集中在算法性能的改進(jìn)與完善上。國(guó)外具有代表性的有Abbass[6]的自適應(yīng)Pareto微分進(jìn)化算法,Madavan[7]及Xue等[8]學(xué)者的基于Pareto最優(yōu)概念的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法。國(guó)內(nèi)的研究主要有張利彪等[9-11]學(xué)者提出的基于極大極小距離密度的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法。國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究在一定程度上提高了多目標(biāo)微分進(jìn)化算法的性能,但這些研究還僅限于對(duì)數(shù)學(xué)測(cè)試函數(shù)的研究,還不能直接用來(lái)進(jìn)行實(shí)際工程的優(yōu)化設(shè)計(jì),尚需要進(jìn)行改進(jìn)。
本文在對(duì)現(xiàn)有的微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)其在機(jī)械工程設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題,提出了相應(yīng)的策略,改進(jìn)了現(xiàn)有的微分進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù),給出了基于微分進(jìn)化技術(shù)、適用于機(jī)械工程領(lǐng)域的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法。
機(jī)械設(shè)計(jì)中的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)往往是在復(fù)雜而苛刻的約束條件下進(jìn)行。當(dāng)利用現(xiàn)存的算法進(jìn)行迭代時(shí),會(huì)發(fā)生下面的問(wèn)題:
(1)在進(jìn)行變異和交叉操作產(chǎn)生的新個(gè)體有可能在可行域內(nèi),也有可能在不可行域內(nèi),而支配關(guān)系的比較和極大極小距離密度的計(jì)算都是在目標(biāo)函數(shù)空間中進(jìn)行的,不可行域內(nèi)的個(gè)體產(chǎn)生的目標(biāo)函數(shù)完全有可能支配可行域內(nèi)的個(gè)體產(chǎn)生的目標(biāo)函數(shù),其密度值的計(jì)算也同樣具有不確定性,這樣刪除的很可能將是有用的個(gè)體,保留的將是無(wú)用的個(gè)體。最后迭代出的結(jié)果很可能毫無(wú)意義。
(2)若變異和交叉操作只在可行域內(nèi)進(jìn)行,則每產(chǎn)生一個(gè)新個(gè)體都要進(jìn)行可行性檢驗(yàn),滿足約束條件則保留,不滿足約束條件則罰掉,再重新搜索,直到滿足約束條件為止。設(shè)計(jì)實(shí)踐表明,復(fù)雜而苛刻的約束條件不但會(huì)使收斂速度慢得讓人難以接受,而且約束邊界上的目標(biāo)個(gè)體還很容易使程序陷入死循環(huán)。例如,當(dāng)進(jìn)行齒輪設(shè)計(jì)時(shí),若將齒數(shù)限定在20~50,當(dāng)某一目標(biāo)個(gè)體的齒數(shù)恰好是20或50時(shí),用DE的變異和交叉產(chǎn)生新個(gè)體的操作就會(huì)使程序陷入死循環(huán),導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計(jì)無(wú)法進(jìn)行。
為解決前述多目標(biāo)微分進(jìn)化算法所產(chǎn)生的問(wèn)題,使迭代高速有效,避免程序進(jìn)入死循環(huán),提出基于極大極小距離密度實(shí)用多目標(biāo)微分進(jìn)化算法如下:
(1)設(shè)置初始參數(shù):向量維度D、初始群體規(guī)模NP、縮放因子F、交叉常量CR、最終可行解規(guī)模N;
(2)在可行域內(nèi)隨機(jī)生成初始群體P,規(guī)模為NP;
(3)將群體P中的非劣解加入Pareto候選解集中;
(4)在無(wú)約束條件下,用DE的變異和交叉操作,對(duì)群體P和Pareto候選解集中的每一目標(biāo)個(gè)體x都生成一個(gè)新個(gè)體x′;
(5)對(duì)每一個(gè)新個(gè)體x′都進(jìn)行可行性檢驗(yàn),滿足約束條件的保留,否則直接罰掉;
(6)將所有目標(biāo)個(gè)體和滿足約束條件的新個(gè)體一起構(gòu)成群體T;
(7)如果Pareto候選解集的規(guī)模沒(méi)有達(dá)到規(guī)定的大小,將所獲得的非劣解直接加入到Pareto候選解集中,直到達(dá)到候選解集的設(shè)定規(guī)模;否則,比較個(gè)體間的支配關(guān)系,保留支配個(gè)體,丟棄被支配個(gè)體,直到達(dá)到候選解集的規(guī)模;如果所有被支配個(gè)體都丟棄以后,候選解集的規(guī)模仍超過(guò)設(shè)定值N,則計(jì)算Pareto候選解集中每一個(gè)體的極大極小距離密度,并刪除密度值最大的個(gè)體,直到達(dá)到候選解集的設(shè)定規(guī)模;
(8)如果滿足中止條件,停止迭代,否則返回(4)。
非對(duì)稱弧齒錐齒輪傳動(dòng)的承載能力和傳動(dòng)性能與下面的兩個(gè)因素密切相關(guān):
(1)接觸線方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度之間的夾角θ;
(2)齒面誘導(dǎo)法曲率主值。接觸線方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度之間的夾角θ越接近于90o,齒面誘導(dǎo)法曲率主值越小,承載能力越高,傳動(dòng)性能越好。因此非對(duì)稱弧齒錐齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是在滿足約束條件下尋求cotθ最小及齒面誘導(dǎo)法曲率主值最小,同時(shí)還要尋求齒輪傳動(dòng)總體積最?。ㄗ罱?jīng)濟(jì)),是一個(gè)約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,多目標(biāo)沒(méi)有公度性,不宜用傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法來(lái)處理。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法是將多個(gè)目標(biāo)通過(guò)加權(quán)求和轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)而進(jìn)行優(yōu)化。這樣做有以下缺點(diǎn):
① cotθ無(wú)量綱,齒面誘導(dǎo)法曲率主值(mm-1),總體積(mm3),各目標(biāo)單位不一致,無(wú)可比性;
② 多個(gè)目標(biāo)加權(quán)值的分配帶有較大的主觀色彩,難以反映客觀真貌;
③ 優(yōu)化目標(biāo)僅為多個(gè)目標(biāo)的加權(quán)和,優(yōu)化過(guò)程中各目標(biāo)的優(yōu)度進(jìn)展不可操作;
④ 多個(gè)目標(biāo)之間通過(guò)決策變量相互制約,存在相互矛盾,致使加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的拓樸結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜。改進(jìn)的微分進(jìn)化技術(shù)在解決此類問(wèn)題中得到成功應(yīng)用。
主動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速n1=960r/min,被動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速n2=320r/min,傳遞的功率P=100kW;選用齒輪油HL-30潤(rùn)滑,其運(yùn)動(dòng)黏度ν100=30mm2/s;油池溫度θoil=50℃;兩輪齒面粗糙度分別為Ra1=Ra2=0.8μm。
選取7個(gè)設(shè)計(jì)變量(D=7)
式中,z1為主動(dòng)輪齒數(shù);mt為端面模數(shù);α、β意義同前;xt為主動(dòng)輪切向變位系數(shù);x為主動(dòng)輪高變位系數(shù);b為齒輪寬度(mm)。
(1)將齒輪傳動(dòng)總體積最小作為一個(gè)追求的目標(biāo),即
式中,dm1、dm2分別為兩齒輪中點(diǎn)的分度圓直徑(mm)。
(2)將齒面上瞬時(shí)接觸線方向與相對(duì)滑動(dòng)速度之間夾角的余切值最小作為第二個(gè)追求的目標(biāo),即
(3)將齒面誘導(dǎo)法曲率主值最小作為同時(shí)追求的第3個(gè)目標(biāo),即
參照文獻(xiàn)[12-13]及工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)確立膠合強(qiáng)度約束、接觸強(qiáng)度和彎曲強(qiáng)度可靠性約束、齒頂厚約束、齒數(shù)約束、模數(shù)約束、壓力角約束、螺旋角約束、變位系數(shù)約束、齒寬約束等。
用MATLAB進(jìn)行程序設(shè)計(jì)計(jì)算,設(shè)置初始參數(shù):D=7、NP=50、F=0.3、CR=0.5、N=100,循環(huán)200次,結(jié)果得到100組可行解及相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。以f1(X)和f2(X)為目標(biāo)函數(shù)的兩目標(biāo)優(yōu)化非劣最優(yōu)目標(biāo)域如圖1所示。根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果,從中選取2個(gè)目標(biāo)函數(shù)都接近最小值,綜合性能最佳的一組結(jié)果,本例中選取圖1中左下邊界點(diǎn)(決策者也可根據(jù)自己的偏好選擇其他的結(jié)果)作為最終方案:X*=[z1,mt,α,β,xt,x,b]T=[12,4, 24.6202, 39.4660, 0.7541, 0.2268, 50]T,總體積V=1.5237×105mm3,齒面上瞬時(shí)接觸線方向與相對(duì)滑動(dòng)速度之間夾角θ的余切值f2(X)=cotθ=2.9154,θ=18.93°。以f1(X)、f2(X)和f3(X)為目標(biāo)函數(shù)的3目標(biāo)優(yōu)化非劣最優(yōu)目標(biāo)域如圖2所示。最終方案為:X*=[z1,mt,α,β,xt,x,b]T=[12, 6, 25.8226, 39.8978, 0.8567, 0.5570,17]T,總體積V=2.0980×105mm3,齒面上瞬時(shí)接觸線方向與相對(duì)滑動(dòng)速度之間夾角θ的余切值f2(X)=cotθ=2.7459,θ=20.01°,齒面誘導(dǎo)法曲率主值f3(X)=kσ=0.0409mm-1。
圖1 兩目標(biāo)優(yōu)化非劣最優(yōu)目標(biāo)域
圖2 三目標(biāo)優(yōu)化非劣最優(yōu)目標(biāo)域
用粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization, PSO)[14-15],參照文獻(xiàn)[16-18]中提出的尋優(yōu)原則和搜索方法對(duì)本算例進(jìn)行優(yōu)化。粒子群規(guī)模為100,進(jìn)行200次迭代,所得非劣最優(yōu)目標(biāo)域如圖3所示。比較圖1和圖3可以看出,微分進(jìn)化算法個(gè)體的多樣性和收斂性都好于粒子群算法。優(yōu)化實(shí)踐表明,微分進(jìn)化的收斂速度更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粒子群算法,群體規(guī)模都是100,同樣都是MATLAB編程,同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上都是運(yùn)行200次循環(huán),微分進(jìn)化僅用了35分鐘,而粒子群算法則用了20.8個(gè)小時(shí),這是由于:
(1)粒子群算法受約束條件的限制,隨著循環(huán)次數(shù)的增加,在可行域內(nèi)搜索新粒子的速度會(huì)越來(lái)越慢,而DE算法在尋求新個(gè)體的過(guò)程中不考慮約束條件,不必反復(fù)迭代;
(2)PSO算法在尋求新粒子時(shí)需要考慮粒子的歷史痕跡,而DE算法不必顧及個(gè)體進(jìn)化的歷史痕跡,只需考慮當(dāng)前狀態(tài)即可,相對(duì)來(lái)講,DE優(yōu)化程序簡(jiǎn)單,計(jì)算量小,PSO程序復(fù)雜,計(jì)算量大。
圖3 PSO非劣最優(yōu)目標(biāo)域
(1)本文給出了基于極大極小距離密度多目標(biāo)微分進(jìn)化算法的改進(jìn)策略,并將改進(jìn)的微分進(jìn)化算法用于弧齒錐齒輪的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),成功地驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性,該方法比傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法及目前常用的其他現(xiàn)代優(yōu)化方法都具有明顯的科學(xué)合理性和實(shí)用性。
(2)本文給出的弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和得到的設(shè)計(jì)參數(shù),能有效地提高產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量,提升產(chǎn)品的綜合經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)。該方法進(jìn)一步拓展了微分進(jìn)化算法的工程應(yīng)用領(lǐng)域,對(duì)于其他復(fù)雜機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)也具有一定的參考價(jià)值。
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