林志熙，周景亮

（福建工程學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350108）

建立任意方位面對面傾斜度誤差的數(shù)學(xué)模型時(shí)，作與基準(zhǔn)平面成理論正確角度的平面可有無限多個(gè)，因而合理地確定與基準(zhǔn)平面成理論正確角度的平面的位置是解決問題的關(guān)鍵，這也增加了數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜性[1]。

目前采用的面對面傾斜度誤差的測量和評定方法多屬近似方法，評定結(jié)果準(zhǔn)確性差，易造成零件的誤收或誤廢。在文獻(xiàn)[1-2]中，均采用最小二乘法、三遠(yuǎn)點(diǎn)等近似方法進(jìn)行評定，文獻(xiàn)[3]雖然提出最小條件法評定傾斜度誤差的數(shù)學(xué)模型，但要應(yīng)用有效集法尋找最優(yōu)解，數(shù)學(xué)模型復(fù)雜，不便于被工程技術(shù)人員采用。三坐標(biāo)測量機(jī)價(jià)格較貴，其測量軟件一般也按最小二乘法來評定，不符合形狀和位置公差國家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，且無法實(shí)現(xiàn)可視化測量。

針對這一問題，本文建立了基準(zhǔn)符合最小條件法、最小二乘法、對角線法、三遠(yuǎn)點(diǎn)法的面對面傾斜度數(shù)學(xué)模型，先利用MATLAB遺傳算法工具箱在全局進(jìn)行“預(yù)優(yōu)化”，再利用優(yōu)化工具箱的非線性條件優(yōu)化進(jìn)行“最終優(yōu)化”，計(jì)算結(jié)果精度高。并開發(fā)友好界面，可進(jìn)行人機(jī)交互操作，實(shí)現(xiàn)測量結(jié)果的可視化。使用萬能工具顯微鏡配合本評定軟件進(jìn)行面對面傾斜度誤差的計(jì)算，在實(shí)際應(yīng)用中具有較廣泛的實(shí)用性和一定的價(jià)值。而且只要將被測平面與基準(zhǔn)平面的理論正確夾角改成0°或者90°，本系統(tǒng)便可直接用來評定面對面平行度誤差和垂直度誤差。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 建立基準(zhǔn)平面

建立基準(zhǔn)平面，即對基準(zhǔn)提取要素進(jìn)行平面度誤差的評定。常用的有最小區(qū)域法、最小二乘法和三遠(yuǎn)點(diǎn)法和對角線法。其中最小包容區(qū)域法是國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的方法，采用最小包容區(qū)域法評定時(shí)產(chǎn)生的誤差最小，精確度最高。這四種方法數(shù)學(xué)模型的建立在文獻(xiàn)[4]中已詳細(xì)描述，此處不再贅述。

1.2 評定面對面傾斜度誤差

按照形狀和位置公差國家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，傾斜度誤差是指包容被測實(shí)際平面且與基準(zhǔn)平面成理論正確角度的兩平行面之間的最小距離。

2 MATLAB程序設(shè)計(jì)

面對面傾斜度誤差計(jì)算程序包括一個(gè)主程序、一個(gè)目標(biāo)函數(shù)程序及一個(gè)非線性約束條件程序，其核心內(nèi)容為采用MATLAB自帶優(yōu)化函數(shù)結(jié)合數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化得出符合國標(biāo)規(guī)定的被測要素包容面，進(jìn)而得出傾斜度誤差。

傾斜度誤差評定最終轉(zhuǎn)化為有約束函數(shù)的最小值問題，其優(yōu)化是包含非線性約束條件，屬非線性條件優(yōu)化，因而采用MATLAB優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。fmincon函數(shù)適用于多元優(yōu)化問題，可以在限定線性或非線性條件下對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小值優(yōu)化。

fmincon函數(shù)的缺點(diǎn)為優(yōu)化結(jié)果對優(yōu)化初始值較為敏感，若優(yōu)化初始值隨意設(shè)定，優(yōu)化獲得的初始點(diǎn)附近局部最優(yōu)解往往不能滿足優(yōu)化要求。因此，此處采用MATLAB遺傳算法工具箱的ga函數(shù)先進(jìn)行一次“預(yù)優(yōu)化”，獲得一個(gè)接近優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果作為fmincon函數(shù)的優(yōu)化初始值，再由fmincon函數(shù)完成最后較精確的優(yōu)化。

ga函數(shù)同fmincon函數(shù)一樣，可以在限定線性或非線性條件下對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小值優(yōu)化。相比fmincon函數(shù)，ga函數(shù)優(yōu)點(diǎn)在于不局限于在局部求解最優(yōu)解，而是在全局內(nèi)尋求最優(yōu)解；其缺點(diǎn)在于因基于遺傳算法原理，優(yōu)化結(jié)果具有一定隨機(jī)性，不能滿足傾斜度計(jì)算的精度要求。因此，ga函數(shù)在此處只能用于在全局進(jìn)行“預(yù)優(yōu)化”，由fmincon函數(shù)在局部完成較精確的“最終優(yōu)化”。

由于傾斜度計(jì)算中g(shù)a函數(shù)與fmincon函數(shù)是采用不同原理對同一優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化，所以二者可以共用目標(biāo)函數(shù)程序與非線性約束條件程序，即二者目標(biāo)函數(shù)句柄與非線性約束條件函數(shù)句柄相同。

繪圖程序分為2大部分：基準(zhǔn)要素及被測要素折面圖程序和曲面圖程序，其中折面圖程序根據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)用surf命令直接繪制零件表面實(shí)際折面圖，根據(jù)計(jì)算程序所得法向量及各特征點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步繪制評定包容面；曲面圖則由采樣數(shù)據(jù)用cubic三次樣條插值的方法增加數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后基于插值后的數(shù)據(jù)同樣用surf命令進(jìn)行繪圖即可獲得零件表面的擬合曲面圖，使顯示出來的曲面更接近真實(shí)輪廓。

面對面傾斜度計(jì)算的人機(jī)交互界面包括數(shù)據(jù)輸入板塊、計(jì)算結(jié)果板塊、繪圖顯示板塊、視圖選擇板塊下拉菜單等，主要實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)輸入、評定方法選擇、計(jì)算內(nèi)容選擇、傾斜度及平面度計(jì)算并顯示、微觀圖顯示、數(shù)據(jù)保存與載入、圖片輸出等功能。各板塊的回調(diào)函數(shù)通過調(diào)用相關(guān)程序進(jìn)行運(yùn)算，再將計(jì)算結(jié)果顯示在界面上以實(shí)現(xiàn)對應(yīng)功能。

最后使用MATLAB下的一個(gè)GUI平臺deploytool下可以直觀方便地將程序打包成exe文件，實(shí)現(xiàn)在未安裝MATLAB軟件的計(jì)算機(jī)運(yùn)行MATLAB程序，同時(shí)還可以使程序代碼得以隱藏。

3 算例驗(yàn)證

文獻(xiàn)[1]采用最小二乘法，計(jì)算所得平面度誤差為8.099μm，傾斜度誤差為9.407μm?；鶞?zhǔn)平面的法向量{3.106325×10-5,-2.55631×10-5, -1}，評定面I（原文中的輔助平面）的法向量{-3.479842,0.819137×103,-0.573598×103}；本系統(tǒng)采用最小二乘法計(jì)算所得平面度誤差為7.542μm，傾斜度誤差為7.89μm。基準(zhǔn)平面的法向量{5.434835 ×10-5,-6.603983×10-5,0.531534}，評定面I的法向量{- 1.702231×10-3,1.958431×103,1.371547× 103}。

將測量數(shù)據(jù)輸入本系統(tǒng)界面，可選擇基準(zhǔn)要素的4種評定方法，分別計(jì)算平面度及傾斜度誤差。計(jì)算結(jié)果見表1所示。

表1 測量結(jié)果(μm)

最小條件法計(jì)算界面如圖2所示。界面右上方為測量數(shù)據(jù)輸入框，右下方為測量結(jié)果顯示框。界面左側(cè)為示意圖，根據(jù)數(shù)據(jù)評定的結(jié)果，將自動生成基準(zhǔn)及被測表面的實(shí)際折面圖與三維曲面模擬示意圖，并根據(jù)誤差值繪制基準(zhǔn)、被測平面的包容平面示意圖。圖2中的示意圖為最小條件法基準(zhǔn)及被測表面的實(shí)際折面圖，以及基準(zhǔn)要素和被測要素的包容表面。通過對示意圖的放大與旋轉(zhuǎn)，并結(jié)合命令窗上的計(jì)算結(jié)果。圖3為基準(zhǔn)要素各采樣點(diǎn)到基準(zhǔn)面的距離，即基準(zhǔn)要素的上包容面過最高點(diǎn)9、11點(diǎn)，下包容面過最低點(diǎn)10點(diǎn)，二者之差5.6801-(-1.4200)=7.1(μm)即為平面度誤差。圖中橢圓所圈為最高點(diǎn)，矩形所圈為最低點(diǎn)，符合平面度誤差國標(biāo)規(guī)定兩個(gè)高點(diǎn)與一個(gè)低點(diǎn)(或相反) 分別和兩個(gè)平行的包容平面相接觸的“直線準(zhǔn)則”[5]。圖4為被測要素各采樣點(diǎn)到被測要素評定面Ⅰ的距離，即被測要素上包容面過最高點(diǎn)13點(diǎn)，下包容面過最低點(diǎn)8點(diǎn)，二者之差0.1009-(-5.5786)=5.6795(μm)即為傾斜度誤差。由此可見，該系統(tǒng)采用最小條件法評定的結(jié)果與其原理完全一致，符合最小條件評定傾斜度的國家標(biāo)準(zhǔn)。

圖5顯示的即為基準(zhǔn)要素和被測要素的三次樣條插值擬合曲面示意圖。圖中兩平面分別為基準(zhǔn)平面和被測評定面，二者夾理論正確角度55°。

圖2 最小條件法評定界面

圖3 基準(zhǔn)要素各采樣點(diǎn)至基準(zhǔn)面距離

圖4 被測要素各采樣點(diǎn)至被測評定面距離

圖5 基準(zhǔn)及被測要素曲面示意圖

依此原理，經(jīng)過以上對本系統(tǒng)4種處理方法的驗(yàn)證，結(jié)果都符合各自建模原理。

點(diǎn)擊菜單，還可進(jìn)行微觀圖顯示、數(shù)據(jù)保存與載入、圖片輸出、檢測報(bào)告輸出等功能。實(shí)現(xiàn)對誤差的準(zhǔn)確評定。占用內(nèi)存單元少。機(jī)上運(yùn)行速度快，最小條件法計(jì)算時(shí)間僅為22秒。

4 結(jié)束語

（1）使用萬能工具顯微鏡配合本評定軟件，可進(jìn)行基準(zhǔn)符合最小條件法、最小二乘法、三遠(yuǎn)點(diǎn)法和對角線法的面對面傾斜度誤差的評定。最小區(qū)域法誤差值可作為發(fā)生爭議時(shí)進(jìn)行仲裁的依據(jù)具有較高的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。

（2）利用MATLAB遺傳算法工具箱在全局進(jìn)行“預(yù)優(yōu)化”，再利用優(yōu)化工具箱進(jìn)行“最終優(yōu)化”，運(yùn)行速度快，計(jì)算結(jié)果精度高，易于掌握。

（3）利用MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能，繪制三維檢測示意圖，清楚地反映出被測量的幾何特征，及評定準(zhǔn)則的應(yīng)用情況，對計(jì)算結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，對制造工程的工藝分析也具有一定的使用價(jià)值，實(shí)現(xiàn)程序與圖形的完美結(jié)合。

（4）修改理論正確角度，該系統(tǒng)可同時(shí)滿足面對面平行度、垂直度、傾斜度誤差的求解。

[1]蔡改貧, 張 玉, 羅曉燕.輔助平面法評定平面對平面傾斜度誤差的數(shù)學(xué)模型[J].宇航計(jì)測技術(shù),1994, 13(6):3 0-33.

[2]孫華平, 王 京, 胡仲勛.基于UG/OpenGRIP的面對面傾斜度誤差的處理和評定[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào),2008, 29(1): 158-161.

[3]侯 宇, 袁志文.任意方位面對面傾斜度誤差的測量與評定[J].宇航計(jì)測技術(shù), 1997, 17(2): 7-11.

[4]林志熙, 周景亮.平面度誤差可視化數(shù)據(jù)處理的研究[J].制造技術(shù)與機(jī)床, 2009, (4): 110-113.

[5]黃云清.公差配合與測量技術(shù)[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2003: 93.