王延忠 田志敏 侯良威 蘭 州

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

疲勞與斷裂是引起工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件失效的最主要原因［1］，應(yīng)用于航空重載傳動(dòng)的面齒輪也不例外.在重載工況下工作的面齒輪其循環(huán)應(yīng)力較大，有相當(dāng)數(shù)量的塑性變形，在經(jīng)歷足夠多次的載荷擾動(dòng)作用之后，從高應(yīng)力或高應(yīng)變處開(kāi)始，形成裂紋，此后在擾動(dòng)載荷作用下，裂紋進(jìn)一步擴(kuò)展，直至到達(dá)臨界尺寸而發(fā)生完全斷裂.疲勞破壞一般要經(jīng)歷裂紋萌生、裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展和裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展(斷裂)3個(gè)階段，而裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展是快速擴(kuò)展，對(duì)壽命的影響很小，因此在估算壽命時(shí)只考慮裂紋萌生壽命和裂紋擴(kuò)展壽命兩部分:裂紋萌生壽命即產(chǎn)生規(guī)定長(zhǎng)度初始可測(cè)裂紋的循環(huán)次數(shù);裂紋擴(kuò)展壽命為由初始可測(cè)裂紋擴(kuò)展到臨界長(zhǎng)度的循環(huán)次數(shù).

裂紋萌生壽命分析時(shí)，一般按應(yīng)變-壽命關(guān)系進(jìn)行;而裂紋擴(kuò)展壽命分析則必須考慮裂紋的存在，需用線彈性斷裂力學(xué)理論［2］.

1 裂紋萌生壽命

應(yīng)用應(yīng)變-壽命關(guān)系進(jìn)行裂紋萌生壽命分析，使用循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變模型和應(yīng)變-壽命(ε-N)曲線，根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)變來(lái)預(yù)測(cè)裂紋萌生壽命.

1.1 循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變模型

材料的應(yīng)力-應(yīng)變遲滯回線如圖1所示，其總應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分組成，即

式中，Δεt為總應(yīng)變;Δεe為彈性應(yīng)變;Δεp為塑性應(yīng)變.

圖1 應(yīng)力-應(yīng)變遲滯曲線

彈性應(yīng)變?chǔ)う舉和塑性應(yīng)變?chǔ)う舙可以分別寫(xiě)為

式中，Δσ為總應(yīng)力;E為彈性模量;K'為循環(huán)強(qiáng)度系數(shù);n'為循環(huán)應(yīng)變硬化系數(shù).

將材料疲勞強(qiáng)度系數(shù)σ'f和疲勞延性系數(shù)ε'f代替式(2)中的Δσ和Δεp可得

即

由式(1)～式(3)可得循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的表達(dá)式為

1.2 應(yīng)變-壽命(ε-N)曲線

Basquin發(fā)現(xiàn)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，應(yīng)力-壽命數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是簡(jiǎn)單的直線關(guān)系，表示為

式中，2Nf是以反向數(shù)計(jì)的疲勞壽命，是以循環(huán)數(shù)計(jì)的疲勞壽命的2倍;b為疲勞強(qiáng)度指數(shù).

則彈性應(yīng)變可寫(xiě)為

Coffin和Manson發(fā)現(xiàn)塑性應(yīng)變?chǔ)う舙的對(duì)數(shù)與發(fā)生破壞的載荷反向次數(shù)2Nf的對(duì)數(shù)存在直線關(guān)系，即

式中c為疲勞延性指數(shù).

總應(yīng)變-壽命曲線(見(jiàn)圖2)可用Basquin方程和Manson-Coffin方程的疊加來(lái)表示:

圖2 總應(yīng)變-壽命曲線

1.3 影響裂紋萌生壽命的因素

疲勞裂紋常萌生于試件表面，因此表面狀況對(duì)其萌生壽命有顯著影響.表面狀況主要包括表面粗糙度、表面層的組織結(jié)構(gòu)和表層應(yīng)力狀態(tài)，本文只分析表面粗糙度及氮化、噴丸工藝對(duì)裂紋萌生壽命的影響規(guī)律［3］.

1.3.1 表面粗糙度

表面光潔度修正系數(shù)Csur與表面粗糙度Ra和材料抗拉強(qiáng)度Rm有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖3所示.

圖3 表面光潔度修正系數(shù)C sur

而疲勞強(qiáng)度削弱系數(shù)Kf與表面光潔度修正系數(shù)Csur的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

1.3.2 氮化、噴丸工藝

考慮氮化、噴丸工藝對(duì)裂紋萌生壽命的影響需進(jìn)行表面敏感系數(shù)的修正.這些工藝改變表面層的組織結(jié)構(gòu)或應(yīng)力狀態(tài)，使得疲勞強(qiáng)度得到提高，而表面敏感系數(shù)的確定依賴于試驗(yàn)［4］.

2 裂紋擴(kuò)展壽命

以線彈性破壞力學(xué)(LEFM，Linear-Elastic Fracture Mechanics)理論為基礎(chǔ)，根據(jù)材料斷裂韌性與疲勞裂紋擴(kuò)展速率，預(yù)測(cè)有初始缺陷或裂紋面齒輪的裂紋擴(kuò)展壽命.

2.1 裂紋擴(kuò)展理論

按裂紋的力學(xué)特征，可以分為張開(kāi)型裂紋(Ⅰ型裂紋)、滑開(kāi)型裂紋(Ⅱ型裂紋)和撕開(kāi)型裂紋(Ⅲ型裂紋).在一般受力情況下，裂紋通常屬于復(fù)合型裂紋.

確定裂紋的開(kāi)裂角和臨界擴(kuò)展條件，已有最大周向應(yīng)力理論、最大能量釋放率理論及應(yīng)變能密度因子理論等脆性斷裂理論.由于面齒輪產(chǎn)生的裂紋屬于Ⅰ型+Ⅱ型+Ⅲ型復(fù)合型裂紋的擴(kuò)展問(wèn)題，因而采用應(yīng)變能密度因子理論，其2個(gè)假設(shè)如下:

1)裂紋沿著應(yīng)變能密度因子最小的方向開(kāi)始擴(kuò)展;

2)裂紋的擴(kuò)展是由于最小應(yīng)變能密度因子達(dá)到了材料的臨界值Sc.

根據(jù)上述假設(shè)，建立起相應(yīng)的斷裂判據(jù):

式中，ν為泊松比;μ為剪切彈性模量;KIc為Ⅰ型裂紋斷裂韌度值.

2.2 裂紋擴(kuò)展壽命計(jì)算

在研究高強(qiáng)度合金材料的疲勞裂紋擴(kuò)展時(shí)，Paris應(yīng)用線彈性斷裂力學(xué)概念，將裂端應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋擴(kuò)展速率聯(lián)系起來(lái)［5］，其關(guān)系在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是一條S形曲線，如圖4所示.

圖4 疲勞裂紋擴(kuò)展lgd a/d N-lgΔK關(guān)系

第Ⅱ階段d a/d N與ΔK在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上呈線性關(guān)系，可用Paris公式表示為

式中，ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍，ΔK=Kmax－Kmin;C和m為材料常數(shù)，m為曲線的斜率.

將Paris公式積分，可得疲勞裂紋擴(kuò)展壽命:

式中，a0為初始裂紋尺寸;ac為臨界裂紋尺寸［6］.

3 算例

根據(jù)以上理論，針對(duì)表1參數(shù)的齒輪進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)，包括裂紋萌生壽命和裂紋擴(kuò)展壽命2部分.選用材料42CrMo4，E=2.1 ×105MPa，ν=0.3，且經(jīng)熱處理:810℃淬火 2min，油冷 3min，180℃回火2 h.

表1 齒輪參數(shù)

3.1 裂紋萌生壽命

利用MSC.Fatigue軟件進(jìn)行裂紋萌生分析，可以考慮表面粗糙度、表面處理工藝等因素對(duì)裂紋萌生壽命的影響.式(8)中，經(jīng)查詢所用材料42CrMo4對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為:n'=0.14，σ'f=1820 MPa，ε'f=0.65，b= － 0.08，c= － 0.76，σs=930MPa，σb=1080MPa.根據(jù)以上材料參數(shù)值添加材料屬性，在材料庫(kù)中建立42CrMo4模型，其應(yīng)變-壽命曲線如圖5所示.

圖5 42CrMo4應(yīng)變-壽命曲線

3.1.1 齒根最大彎曲應(yīng)力計(jì)算

利用Abaqus進(jìn)行面齒輪加載接觸分析，定義2個(gè)分析步:第1個(gè)分析步圓柱齒輪繞自身軸線旋轉(zhuǎn)微小角度使2齒面接觸;第2個(gè)分析步在圓柱齒輪上施加旋轉(zhuǎn)角速度1.74 rad/s，在面齒輪上分別施加 3000，4000，4 500，5 000，6 000N·m 的負(fù)載扭矩.通過(guò)模擬齒輪間的相互嚙合過(guò)程，仿真得面齒輪齒根最大彎曲應(yīng)力和齒面上的接觸法向力.以負(fù)載扭矩5000N·m為例，其加載接觸分析模型如圖6所示.齒根最大彎曲應(yīng)力為859.6MPa，該點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3.161 798，－122.359 635，－27.7794)，齒面上的接觸法向力為 35720.6N，其結(jié)果見(jiàn)圖7.

圖6 面齒輪加載接觸分析模型

圖7 面齒輪齒面接觸法向力

3.1.2 裂紋萌生壽命預(yù)測(cè)

將Abaqus生成的fil結(jié)果文件導(dǎo)入MSC.Fatigue中，進(jìn)行裂紋萌生的仿真計(jì)算.

面齒輪傳動(dòng)是圓柱齒輪和面齒輪間的點(diǎn)接觸，發(fā)生齒面變形最終接觸區(qū)為以接觸點(diǎn)為中心的橢圓.為了方便仿真，考慮最危險(xiǎn)情形，簡(jiǎn)化其載荷歷程為作用于齒頂上一點(diǎn)的集中力，大小隨時(shí)間的變化如圖8所示.

圖8 加載歷程曲線

在Material Information菜單中，F(xiàn)inish選擇默認(rèn)的No Finish，Treatment選擇默認(rèn)的 No Treatment，KfValue 選擇默認(rèn)值 1.0.

從生成的壽命結(jié)果云圖(圖9)可以看出面齒輪齒根壽命最短的節(jié)點(diǎn)Node 6488即為面齒輪齒根最大彎曲應(yīng)力的節(jié)點(diǎn).

圖9 Fatigue壽命結(jié)果云圖

1)表面粗糙度影響.

上述結(jié)果未考慮齒面粗糙度，現(xiàn)分析Ra=0.8，1.6，3.2，6.3 μm 等粗糙度情況下的裂紋萌生循環(huán)次數(shù)，研究面齒輪齒面粗糙度對(duì)其裂紋萌生壽命的影響規(guī)律.由Csur曲線查得

相應(yīng)的

設(shè)置不同表面粗糙度對(duì)應(yīng)的Kf數(shù)值，仿真得到相應(yīng)情況下的裂紋萌生循環(huán)次數(shù)，其結(jié)果如圖10所示.

圖10 粗糙度對(duì)裂紋萌生壽命影響

從圖10知，在相同載荷作用下隨著粗糙度的減小，裂紋萌生循環(huán)次數(shù)在增大，可見(jiàn)提高齒面粗糙度有利于增加面齒輪裂紋萌生壽命.

2)表面處理影響.

對(duì)面齒輪齒面進(jìn)行氮化和噴丸，分析其對(duì)裂紋萌生壽命的影響，部分結(jié)果為Beyond Cutoff，說(shuō)明應(yīng)力未達(dá)到材料的疲勞極限，由應(yīng)變-壽命曲線知循環(huán)次數(shù)大于108.結(jié)果如圖11所示.氮化處理后循環(huán)次數(shù)均超過(guò)108，噴丸處理應(yīng)力約小于630MPa循環(huán)次數(shù)超過(guò)108，可見(jiàn)氮化最有利于裂紋萌生循環(huán)次數(shù)的增大，其次是噴丸.

圖11 表面處理工藝對(duì)裂紋萌生壽命影響

3.2 裂紋擴(kuò)展壽命

3.2.1 裂紋擴(kuò)展模型建立

3.2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

利用Franc3D進(jìn)行裂紋擴(kuò)展，其中第10和第20擴(kuò)展步的擴(kuò)展結(jié)果如圖12所示.

圖12 裂紋擴(kuò)展過(guò)程中擴(kuò)展步的擴(kuò)展結(jié)果圖

從裂紋擴(kuò)展過(guò)程中應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化看出，隨著裂紋的進(jìn)一步擴(kuò)展，Ⅱ和Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子與Ⅰ型相比可以忽略不計(jì)，因此可以用Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子作為判定裂紋斷裂的依據(jù)［8］.以5000N·m為例，其Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律曲線如圖13所示.

圖13 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋擴(kuò)展變化曲線

當(dāng)負(fù)載不同時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子變化歷程曲線也不同，即擁有不同的裂紋擴(kuò)展壽命.負(fù)載對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子變化歷程的影響趨勢(shì)如圖14所示，負(fù)載越大，其裂紋擴(kuò)展循環(huán)次數(shù)越少，斷裂時(shí)裂紋擴(kuò)展總長(zhǎng)度越短.

圖14 不同負(fù)載下的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋擴(kuò)展變化曲線

3.2.3 裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測(cè)

根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子變化歷程曲線求得不同負(fù)載下的裂紋擴(kuò)展循環(huán)次數(shù)［9－10］，見(jiàn)表 2.

表2 不同負(fù)載下的裂紋擴(kuò)展壽命

3.3 疲勞壽命曲線

綜合以上分析計(jì)算的裂紋萌生壽命和裂紋擴(kuò)展壽命，考慮表面粗糙度和表面處理工藝，得到不同表面粗糙度和表面處理工藝下的齒根最大彎曲應(yīng)力-總循環(huán)次數(shù)曲線，即疲勞壽命曲線，如圖15所示.它可以用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中面齒輪的設(shè)計(jì)工作，預(yù)測(cè)面齒輪產(chǎn)品的使用壽命，避免產(chǎn)品失效導(dǎo)致的重大事故和經(jīng)濟(jì)損失.

圖15 不同表面粗糙度、表面處理工藝下的疲勞壽命曲線

4 結(jié)論

本文應(yīng)用應(yīng)變-壽命關(guān)系和斷裂力學(xué)理論，以MSC.Fatigue和Franc3D為工具，考慮面齒輪齒面粗糙度及氮化、噴丸表面處理工藝，分析計(jì)算在不同負(fù)載扭矩情況下的面齒輪齒根裂紋萌生壽命和裂紋擴(kuò)展壽命，得到以下結(jié)論:

1)面齒輪齒面粗糙度的提高有利于增加其裂紋萌生壽命;

2)提高面齒輪齒根裂紋萌生壽命，表面處理工藝氮化優(yōu)于噴丸;

3)面齒輪齒根裂紋屬于復(fù)合型裂紋，但Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子占主導(dǎo)作用，可以作為斷裂判據(jù);

4)不同表面粗糙度、工藝下的疲勞壽命曲線為面齒輪的設(shè)計(jì)和使用壽命的預(yù)測(cè)奠定基礎(chǔ).

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