張宇

摘 要 本文研究一類三維非完整鏈式系統(tǒng)的有限時間控制問題。為了使此類非完整系統(tǒng)各狀態(tài)能夠更快收斂至平衡狀態(tài)，本文利用state-scaling和增加冪積分技術(shù)，提出了一種基于切換控制策略的有限時間鎮(zhèn)定控制器，使得非完整鏈式系統(tǒng)在所設(shè)計的有限時間鎮(zhèn)定控制器的作用下，通過有限次切換，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點。

關(guān)鍵詞 非完整系統(tǒng) 有限時間控制 state-scaling 增加冪積分技術(shù)

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A

Finite Time Stabilization Control of Nonholonomic Systems

ZHANG Yu

（School of Mathematics， Liaoning University， Shenyang， Liaoning 110036）

Abstract This paper studies a class of finite time three-dimensional nonholonomic chained system control problem. In order to make a complete system to such non-state faster convergence to equilibrium， we use state-scaling and increasing the power of integration technology， we propose a switching control strategy based on the finite time stabilization controller makes nonholonomic chained systems the limited time the role of stabilizing controller design， finite switching times， each state of the system can converge to the equilibrium point from any non-equilibrium position for a limited time.

Key words nonholonomic systems； limited time control； state-scaling； increase the power of integrating technology

0 引言

近幾年來，由于非完整系統(tǒng)運用在許多力學(xué)系統(tǒng)的描述中，因此對于非完整系統(tǒng)的控制與鎮(zhèn)定問題的研究受到了廣泛關(guān)注。由Brockett定理可知非完整系統(tǒng)不存在光滑的時不變狀態(tài)反饋控制律。因此，對于非完整系統(tǒng)的控制問題研究的主要困難之一就是不存在光滑甚至連續(xù)的反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。所以，尋求新的設(shè)計方法成為備受關(guān)注而又十分困難的課題。

本文針對一類三維非完整鏈式系統(tǒng)，利用state-scaling和增加冪積分技術(shù)，提出了一種基于切換控制策略的有限時間鎮(zhèn)定控制器，并證明了非完整鏈式系統(tǒng)在所設(shè)計的有限時間鎮(zhèn)定控制器的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點。與文獻【2】中提出的控制器相比，本文提出的有限時間切換控制器能夠更快、更準地將系統(tǒng)各狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡位置。

1 問題描述

本文下面一類非完整鏈式系統(tǒng)：

（1）

其中：，，為狀態(tài)變量，，為控制輸入。

針對此類系統(tǒng)，設(shè)計切換的狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)的狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂至平衡位置。

注1：在實際中有很多機器控制的非完整系統(tǒng)可以通過適當?shù)淖鴺俗儞Q轉(zhuǎn)化成本文研究的這種系統(tǒng)，例如，獨輪自動小車、滾動的圓盤系統(tǒng)、雙輪驅(qū)動的移動機器人、自動雙輪啟動機器。

定義1[1]：非線性自治系統(tǒng)

= （）， （2）

是有限時間穩(wěn)定的，是指系統(tǒng)（2）的平衡點 = 0是有限時間收斂的，即存在一個原點的開區(qū)域和一個函數(shù)： | {0}→（0，），使得所有系統(tǒng)（2）從初始值出發(fā)的解（，）在[0，（）]內(nèi)是確定唯一的并且（，） = 0。這里（）稱為關(guān)于的停息時間。而系統(tǒng)（2）的平衡點是有限時間穩(wěn)定的是指它是Lyapunov穩(wěn)定和有限時間收斂。

引理1：對于系統(tǒng)（2），如果存在一個Lyapunov函數(shù)：→和實數(shù)>0，>0且（0，1）與一個關(guān)于原點的開區(qū)域 使得（）≤- （）， （3）

那么，系統(tǒng)（2）的平衡點是有限時間穩(wěn)定的。

（）≤

定理1：在如下切換控制器作用下：

（1）當|| + || + || = 0 時，

（2）當|| ≠0， || + || ≠ 0時，

三維非完整鏈式系統(tǒng)（1）的狀態(tài)在有限時間收斂。

證明：情形一：（0）≠0。令。由系統(tǒng)，得

。

當（） = -時，。

定義，， = 。系統(tǒng)（1）可表示為如下形式： （4）

定義（） = ， = = 。對于系統(tǒng)（4），有

（5）

令

并帶入（5），得。選取參數(shù) = 1， = ， = 。令

，則有：

取，

則

令， = ，

則。

根據(jù)引理1，可知系統(tǒng)（4）是有限時間穩(wěn)定的，

且

令（） = ，系統(tǒng)（4）在控制器 = = [1 + （1 + ） + ]的作用下，狀態(tài)，可在有限時間[0，]內(nèi)從非平衡點到達平衡點。將變量關(guān)系代入上式可以得到：

由（0）≠0， = - 在時間內(nèi)≠0而使得 = 0， = 0，即 = 0， = 0。此時系統(tǒng)在控制器的作用下，

狀態(tài)在[0，]時間內(nèi)由（0）≠0，（0）≠0，（0）≠0到達， = 0， = 0，其中（）≠0，[0，]。當>時，對于（1），同樣應(yīng)用上面的方法。令，由引理1可得閉環(huán)系統(tǒng)（1）是有限時間穩(wěn)定的，且停息時間為

。

令。當[， ]時，取

那么，在[0， ]時，閉環(huán)系統(tǒng)（1）在上述設(shè)計的切換控制器作用下是有限時間穩(wěn)定的。

情形二：（0） = 0 。令 = ， = ， >0， >0。當>0時，有（） = ≠0，（） = ≠0。此時應(yīng)用情形一所設(shè)計的切換控制器可得閉環(huán)系統(tǒng)（1）是有限時間穩(wěn)定的。

2 結(jié)論

本文通過切換的控制器使得一類三維非完整鏈式系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。在應(yīng)用本文中的控制器下能夠令三維非完整鏈式系統(tǒng)的穩(wěn)定時間更短。使得系統(tǒng)的解更快地達到平衡點。

參考文獻

[1] Bhat，S.，Beernstein，D.（2000），“Finite-time Stability of Continuous Autonomous Systems”，SIAM Journal of Control and Optimization，38，751-766.

[2] 王軼卿，李勝，陳慶偉，侯保林.基于無擾切換的非完整系統(tǒng)有限時間鎮(zhèn)定控制器，南京理工大學(xué)學(xué)報，2012（1）.