李鴻秋,陳國平,謝琳艷

(1.金陵科技學(xué)院機(jī)電學(xué)院,江蘇 南京 211169; 2.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院,江蘇 南京 210016)

彈性薄板-殼-聲腔封閉結(jié)構(gòu)在工程實際中應(yīng)用極廣。對彈性矩形板、圓板或者圓柱殼的振動產(chǎn)生的聲輻射研究由來已久,而且也已經(jīng)相對成熟[1]。近年來,研究方向傾向于多個彈性板或者彈性板(殼)通過耦合連接之后產(chǎn)生的聲輻射,Dowell等[2]建立了彈性薄板-聲腔結(jié)構(gòu)的耦合理論模型,這類結(jié)構(gòu)多用于飛機(jī)、汽車等乘坐艙。Kim等[3]發(fā)展了Dowell的理論,但是缺點(diǎn)都是需要求解圓板和圓柱殼的振動微分方程,而此類方程的求解較為復(fù)雜,因此已有解法大多采用Rayleigh-Ritz等數(shù)值方法或半解析方法[4]。對結(jié)構(gòu)-聲耦合問題的研究也大多集中在耦合系統(tǒng)的建模以及定性分析上。結(jié)構(gòu)-聲腔具有怎樣的耦合特性以及結(jié)構(gòu)-聲腔耦合后外聲場的聲壓級解析解還少有報道。彈性板(殼)-聲腔系統(tǒng)的振動與耦合特性研究的難點(diǎn)在于邊界條件的假設(shè)與簡化,已有方法一般只限于簡支邊界。因此關(guān)于彈性圓板、圓柱殼結(jié)構(gòu)與聲腔耦合特性的研究必然具有重要的理論意義和實用價值。

本文設(shè)定板殼邊界條件,并考慮內(nèi)部聲腔的影響,分別求解彈性圓板和圓柱殼的位移響應(yīng),建立彈性板-殼-聲腔耦合結(jié)構(gòu)的分析模型。并分別推導(dǎo)考慮聲腔耦合作用的影響下彈性板以及圓柱殼受到外載荷時振動產(chǎn)生聲輻射在外場指定點(diǎn)的聲壓級公式;推導(dǎo)外載荷單獨(dú)作用在彈性板上以及彈性圓柱殼上時,彈性板以及彈性圓柱殼振動產(chǎn)生的聲輻射在外場指定點(diǎn)的聲壓級表達(dá)式。進(jìn)而根據(jù)外場點(diǎn)聲壓級的表達(dá)式探討有源力噪聲控制,并給出算例。

1 彈性板-殼-腔體結(jié)構(gòu)聲振耦合分析

2.1 彈性板-圓柱殼-聲腔結(jié)構(gòu)耦合頻率的求解

圖1 彈性板-殼-聲腔耦合結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)示意Fig.1 The plate-shell-cavity system

車輛的駕駛室,石油工業(yè)中的儲油罐,航天飛機(jī)的艙室等都可以看做薄壁圓柱結(jié)構(gòu)和平板結(jié)構(gòu)的相結(jié)合的復(fù)雜結(jié)構(gòu),本文建立一端固定,一端用彈性圓板封閉的圓柱殼(彈性板-殼-聲腔系統(tǒng))耦合結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型,探討此類結(jié)構(gòu)的聲振耦合特性以及噪聲控制。彈性板的振動分為彎曲振動和面內(nèi)振動,彎曲振動位移方向與板結(jié)構(gòu)的中性面垂直,面內(nèi)振動則存在于板結(jié)構(gòu)所在的平面。杜敬濤、Gorman和Li[5-6]分別建立了矩形板在不同邊界條件下的振動模型。

圖1為彈性板-殼-聲腔耦合結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)示意圖,圓柱殼軸向,周向和徑向3個方向的運(yùn)動分別用u,v,w表示。邊界條件通過設(shè)置不同的剛度kp1,kp2,ks1,ks2表示。假設(shè)彈性剛度ks1,ks2沿彈性板和彈性柱殼連續(xù)分布。

極坐標(biāo)下,完整圓板的振型解為:

Wnp(r,θ)=[AnJn(αr)+BnIn(αr)]cos(nθ)

(1)

An,Bn為待定系數(shù),可以通過邊界條件確定。聲壓作用下彈性圓板的位移響應(yīng)可以表示為:

(2)

Usp(r,θ)、Vsp(r,θ)、Wsp(r,θ)分別表示第s階彈性圓板的固有振型函數(shù)。

聲壓作用下,彈性圓柱殼的位移表示為:

(3)

其中,Uss(z,θ)、Vss(z,θ)、Wss(z,θ)分別表示第s階彈性圓柱殼的固有振型函數(shù)。

將up、vp、wp、us、vs、ws分別代入彈性圓板和圓柱殼的振動微分方程,并考慮到振型Wsp、Wss已經(jīng)分別滿足圓板和圓柱殼的振型方程組,因此可得:

(4)

(5)

將式(4)兩端同時乘以Wkp,然后在圓板中面上積分,將式(5)兩端同時乘以Wks,然后在圓柱殼中曲面上積分,同時考慮振型的正交性特點(diǎn)得:

(6)

(7)

且:

(8)

(9)

三維聲波方程中取cos(nθ)項進(jìn)行分析,將圓柱殼中聲腔內(nèi)聲場的聲壓可以表示為:

(10)

由彈性圓板和柱殼交界面處速度協(xié)調(diào)性條件以及腔內(nèi)聲壓值,并利用貝塞爾函數(shù)性質(zhì),對于不同的n得到關(guān)于An,Bn,Cn,kr,kz,ω的6個方程,應(yīng)用擬牛頓迭代方法求解此方程組,令n=1,得到第1階耦合頻率,同樣,令n=2,可得到第2階耦合頻率,再計算n=3,4,…N。

2.2 考慮聲振耦合求板-殼-腔結(jié)構(gòu)中板和殼的位移響應(yīng)

考慮內(nèi)腔聲壓的作用,忽略外場聲壓對結(jié)構(gòu)的作用,內(nèi)腔聲壓垂直作用在彈性板和彈性殼的內(nèi)表面,彈性板(殼)-聲腔形成結(jié)構(gòu)-聲場的耦合結(jié)構(gòu)。同上節(jié)的計算方法,彈性圓板彎曲位移和彈性柱殼的徑向位移可以表示為:

(11)

其中,ω為結(jié)構(gòu)和聲腔耦合后聲腔的頻率,ωs表示結(jié)構(gòu)和聲腔耦合后彈性板(殼)結(jié)構(gòu)的頻率。Wsp(r,θ)表示第s階圓板彎曲振型函數(shù)、Wss(z,θ)表示圓柱殼徑向振型函數(shù)。

2.3 彈性板-殼-聲腔耦合系統(tǒng)的外輻射聲場

彈性板-圓柱殼-聲腔結(jié)構(gòu)如圖2所示,根據(jù)板-殼-腔的耦合模型分別推導(dǎo)外力單獨(dú)作用在彈性板或者作用在圓柱殼上在外場點(diǎn)引起的聲輻射聲壓級表達(dá)式。根據(jù)聲輻射的疊加性原理,計算外力作用在彈性板或者作用在彈性殼上,板殼振動產(chǎn)生的聲輻射在外場點(diǎn)的聲壓值之和。

圖2 外場點(diǎn)以及彈性板-聲腔耦合結(jié)構(gòu)示意Fig.2 The exterior point and the plate-shell-cavity system

2.3.1 考慮內(nèi)腔聲的影響彈性板振動產(chǎn)生的聲輻射在外場點(diǎn)的聲壓值 彈性體-聲腔結(jié)構(gòu)振動引起的外場點(diǎn)聲壓值為:

(12)

(14)

根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質(zhì):

(15)

因此,式(14)可以寫成:

(16)

2.3.2 考慮內(nèi)腔聲的影響彈性殼振動產(chǎn)生的聲輻射在外場點(diǎn)的聲壓值 外場點(diǎn)位于遠(yuǎn)聲場時,彈性體-聲腔耦合后,圓柱殼的外輻射聲場聲壓值可以寫成[7]:

(17)

(18)

將式(18)代入式(17),利用穩(wěn)相法得:

(19)

因此,彈性板(殼)-聲腔耦合結(jié)構(gòu)的聲輻射外場指定點(diǎn)聲壓值可以表示為:

p(R1,θ,φ)=pp(R1,θ,φ)+ps(R1,θ,φ)

(20)

3 次級力源減振降噪分析

在結(jié)構(gòu)的振動中有針對性的控制影響較大的一階或幾階模態(tài),只要設(shè)法使模態(tài)力Fs=0,則可以完全控制第s階模態(tài),而且僅需一個次級力源Fs1ejωt,由前文知,當(dāng)受力點(diǎn)位于彈性板上,則在外場點(diǎn)指定位置的聲壓值為:

(21)

初級力的模態(tài)力為Fs0,由于次級力源Fs1的作用,在指定點(diǎn)位置處的產(chǎn)生的聲壓為:p=ps0+ps1,如果初始力為單點(diǎn)激勵,要使p=0,且定義次級力源與初級力源的振幅比為:

(22)

控制多階模態(tài)振動,則需要采取多個次級力源,需要滿足:

Fi=0; (i=1,2,..n)

(23)

即:

(24)

通常情況下,上式有唯一解。

4 算 例

算例結(jié)構(gòu)如圖2所示,圓板的幾何尺寸及材料常數(shù)為:半徑R=0.5 m,厚度h=0.001 m,彈性模量Ep=2.1e11 N/m2,密度ρ=7 850 kg/m3,泊松比ν=0.3,聲波的傳播速度c=340 m/s,空氣的密度ρ0=1.21 kg/m3,聲腔的深度l=1 m。設(shè)外載荷作用在彈性圓板上,激勵點(diǎn)位置為彈性圓板上的(0.12 m,π/4) 處,激勵力為單位簡諧力,取需要控制的外場點(diǎn)位于(3 m,π/4,4 m) 處。針對第1階模態(tài)振動予以控制,次級力源的位置不能位于模態(tài)節(jié)線處,因此,本文取次級力源的位置分別為(0.02 m,5π/4)、(0.02 m,3π/4)處。根據(jù)式(1)和式(22)求解得到次級力源與初級力源的振幅比見表1,表2。

表1次級力源的位于(0.02m,5π/4)對應(yīng)不同模態(tài)振動控制次級力源與初級力源的振幅比

Table1Theamplituderatiobetweentheprimaryforceandthesecondaryforcewhenthesecondaryforceisexertedat(0.02m,5π/4)

控制振動模態(tài)次級力源與初級力源振幅比 14.115?21.855 30.154 8

表2次級力源的位于(0.02m,3π/4)對應(yīng)不同模態(tài)振動控制次級力源與初級力源的振幅比

Table2Theamplituderatiobetweentheprimaryforceandthesecondaryforcewhenthesecondaryforceisexertedat(0.02m,3π/4)

控制振動模態(tài)次級力源與初級力源振幅比 1-6.857 2-3.092 3-0.257 9

結(jié)果表明最佳次級聲源強(qiáng)度相對于噪聲源強(qiáng)度而言,其振幅大小與(rc/rp)成正比;次級聲源在該點(diǎn)處產(chǎn)生的聲壓相位與噪聲源在該點(diǎn)處產(chǎn)生的聲壓相位相差180°。

5 結(jié) 語

本文基于彈性板(殼)結(jié)構(gòu)的振動微分方程,并定義板殼之間的連接形式,推導(dǎo)彈性板的彎曲振動以及圓柱殼的徑向位移表達(dá)式,推導(dǎo)彈性板(殼)-聲腔結(jié)構(gòu)耦合振動情況下,外輻射聲場指定點(diǎn)的聲壓表達(dá)式。彈性板(殼)結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生的聲輻射主要由受力板(殼)的振動產(chǎn)生,并進(jìn)行了有源力控制研究。算例表明,基于解析方法得到的聲壓值表達(dá)式,便于計算精確的次級力源大小。

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