王芳

從高中最核心的數(shù)學(xué)知識和方法出發(fā)，探討數(shù)學(xué)智慧.

解析幾何創(chuàng)始人勒奈·笛卡爾曾經(jīng)在其傳世名著《思想的指導(dǎo)法則》中提出了一個解決一切問題的方法：“把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程問題.”雖然這個大膽的設(shè)想最終未能實(shí)現(xiàn)，但是卻在解析幾何問題中有了重大的突破.

“率土之濱，莫非韋達(dá)”

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考的命題熱點(diǎn)，而對于韋達(dá)定理運(yùn)用的考查也主要集中在解析幾何的這一部分知識.

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線.它們的方程都是關(guān)于x，y的二次方程，因?yàn)榕c一元二次方程一樣具有“二次”的特征而備受關(guān)注.把直線方程Ax+By+C=0與圓錐曲線方程聯(lián)立并消去其中一個“元”（例如y），可以得到關(guān)于另一個“元”（例如x）的二次方程，問題立即轉(zhuǎn)化為與一元二次方程有關(guān)的問題.

我們知道，一元二次方程中有三個“式”：判別式、求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系式. 根與系數(shù)的關(guān)系式即“韋達(dá)定理”，其內(nèi)容是：

若一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有兩個實(shí)根x1，x2，則這兩個實(shí)根滿足x1+x2=-，x1·x2=.判別式Δ=b2-4ac≥0是運(yùn)用韋達(dá)定理的前提.把用求根公式解得的兩根x1，2=分別相加與相乘即可得到韋達(dá)定理的結(jié)論.

雖然韋達(dá)定理脫胎于求根公式，但在結(jié)構(gòu)上更簡潔，能使解題更為便利.

例1 如圖1所示，過點(diǎn)P0，-且斜率為k的動直線l交橢圓O：+y2=1于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使·=0？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解析： 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由l過點(diǎn)P0，-可設(shè)直線l的方程為y=kx-.聯(lián)立x2+2y2=2，y=kx-，消去y得：9（2k2+1）x2-12kx-16=0. 根據(jù)韋達(dá)定理有：x1+x2=，x1·x2=-.

設(shè)定點(diǎn)T（0，t），則·=x1x2+（y1-t）（y2-t）=x1x2+kx1--tkx2--t=（k2+1）x1x2-k+t（x1+x2）+t2+t+=.

要使·=0，則需18（t2-1）k2+（9t2+6t-15）=0對任意k∈R恒成立，故應(yīng)有18（t2-1）=0 （①），9t2+6t-15=0 （②）.由①得t=±1，代入②得t=1. 因此存在滿足題意的定點(diǎn)T（0，1）.

對于例1，如果不用韋達(dá)定理而用求根公式求解，可以得到x1，2=（這個式子有點(diǎn)復(fù)雜），再求出y1與y2（這兩個式子相當(dāng)復(fù)雜），接下來等待我們的是冗長煩瑣到令人抓狂的計(jì)算……

由此說明，當(dāng)“幾何問題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)問題”并繼續(xù)向“方程問題”挺進(jìn)之后，韋達(dá)定理的優(yōu)勢就得到了充分體現(xiàn)：通過“不求根而用根”，謀求“無為而治之”（見圖2）.聯(lián)想中國古典名著《三國演義》所描述的一則精彩的治國之道：“賢者居上，能者居中，工者居下”，看來，韋達(dá)定理也同樣具有王者風(fēng)范！它使我們更深切地領(lǐng)悟到笛卡爾所提設(shè)想的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

探秘“王者之道”

在初步領(lǐng)略到韋達(dá)定理的優(yōu)勢后，我們不禁產(chǎn)生疑問：如何為運(yùn)用韋達(dá)定理做準(zhǔn)備？其實(shí)例1的求解已經(jīng)對此作了回答.我們不妨提取求解步驟的幾個關(guān)鍵詞：

Step1： 設(shè)——設(shè)直線的方程與交點(diǎn)的坐標(biāo)；

Step2： 聯(lián)——聯(lián)立方程組.這是幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的重要標(biāo)志；

Step3： 消——消元.一般消去y，有時也可以根據(jù)具體問題消去x；

Step4： 韋——用韋達(dá)定理.這指明了不求根但用根的解題方向；

Step5： 判——判斷判別式Δ的取值范圍.

需要注意的是，例1中過橢圓內(nèi)一點(diǎn)P的直線必與橢圓相交且有兩個交點(diǎn)，判別式Δ的取值范圍無需再判斷.如果從題目中無法直接得出直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（是否有交點(diǎn)及有幾個交點(diǎn)），則需判斷判別式Δ的取值范圍.

一言以蔽之，我們可以用“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟清晰地得出利用韋達(dá)定理解題的過程.在圓錐曲線相關(guān)問題的解答中，只要用到韋達(dá)定理，幾乎都可以用這個“五字訣”來操作.

走出“量”的迷陣

在韋達(dá)定理的實(shí)際運(yùn)用中，如何走出“量”的迷陣是必須面對的問題，也是一大難點(diǎn).在例1中總共出現(xiàn)了六個“量”：x1，x2，y1，y2，k，t，理清“量”的關(guān)系，正是成功運(yùn)用韋達(dá)定理解題的關(guān)鍵所在.

（1） 對“量”進(jìn)行科學(xué)分析和分類.

雖然例1中的這些“字母”沒有確切的值，但這并不代表它們都是“未知量”.不同的k決定了相應(yīng)的x1，x2，不同的x1，x2決定了相應(yīng)的y1，y2 . x1，x2，y1，y2，k這五個量看似都在變，但地位不同：變的主因在k，若將其稱為“主變量”，那么x1，x2，y1，y2就是相對于k的“應(yīng)變量”.那么t又是什么“量”呢？從題目來看，t便是最終要求的量.

（2） 堅(jiān)定目標(biāo)，明確“要求的量”.

經(jīng)過分類，例1中各個“量”的性質(zhì)逐漸明晰.明確了“要求的量”，該消去的“量”也就一目了然了.

（3） 根據(jù)題目所給條件，建立“量”之間的數(shù)量關(guān)系.

例1的條件·=0是解題的突破口. 顯然，·同時含有x1，x2，y1，y2，k，t六個量，由于可以通過直線方程用x1，x2來表示y1，y2，而韋達(dá)定理又提供了k與x1，x2的關(guān)系，這樣一來，我們便通過·=0這個條件，建立了“主變量”k與“要求的量”t之間的關(guān)系（參見圖3），從而能夠進(jìn)行求解.

解題中的運(yùn)用

下面我們再用兩道例題對運(yùn)用韋達(dá)定理的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行鞏固.

例2 如圖4所示，直線l過點(diǎn)P0，-且與橢圓O：+y2=1交于A，B兩點(diǎn)，若2=3，求直線l的方程.

解析： 若直線l斜率不存在，則點(diǎn)A為（0，1），B（0，-1）或點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），此時不滿足條件2=3.所以直線l的斜率存在.

設(shè)l：y=kx-，按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”得到x1+x2= （①），x1·x2=- （②）.韋達(dá)定理提供了x1，x2與k的關(guān)系，此時x1，x2是相對于k的“應(yīng)變量”.

因?yàn)?=3，所以2（x1-0）=3（0-x2），-2x1=3x2. 把x1=

-x2代入①②兩式，問題立即轉(zhuǎn)化為只含有兩個“量”——x2與k——的方程組：x2=-，=.

題目要求的量是k，消去x2可得k=±，故所求直線方程為3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

點(diǎn)評： 運(yùn)用韋達(dá)定理的重要原則是“不求根而用根”.在“量”的迷陣中，只有堅(jiān)定目標(biāo)，始終明確要求的是哪個“量”，才能清楚地判斷解題時要消去的是哪些“量”.

例3 如圖5所示，F(xiàn)為橢圓O：+y2=1的右焦點(diǎn)，C（m，0）是線段OF上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，F(xiàn)），試問是否存在過點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，使MC=NC？并說明理由.

解析： 設(shè)直線l：x=ty+1（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟，可得：y1+y2=-，y1·y2=

-.

由點(diǎn)M，N 坐標(biāo)可得MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，xE===，yE==-.

要使MC=NC，則必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1，化簡得mt2+2m-1=0，m=.

仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)是探討點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向F點(diǎn)運(yùn)動的過程中處于不同的位置時，滿足條件的直線l是否存在. 從代數(shù)角度看，即對應(yīng)m的不同取值，t是否有解.由m=可得t=±.由已知C（m，0）是線段OF上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，F(xiàn)）可得0

點(diǎn)評：只有根據(jù)題目條件MC=NC找到突破口，建立t，m之間的數(shù)量關(guān)系，才能最終順利求解.

圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時人們得到了大量關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì).17世紀(jì)初期坐標(biāo)系的出現(xiàn)，掀起了幾何問題研究“代數(shù)化”的浪潮，高中數(shù)學(xué)課程中的“圓錐曲線”問題的探討正是在這一歷史背景下展開的.韋達(dá)定理在圓錐曲線中的運(yùn)用，完美詮釋了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)之無愧位居二次曲線解題方法之首.“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步規(guī)范操作，如王者之像，儀態(tài)端莊；“不求根而用根”，整體駕馭各種“量”的結(jié)構(gòu)，超然于計(jì)算之上，決勝千里之外. 這正是：

二次曲線用韋達(dá)，糾纏常因字母卡；

科學(xué)分類定目標(biāo)，巧建關(guān)系終求解.

【練一練】

如圖6所示，過直線l：x-2y-4=0上的一動點(diǎn)P作拋物線O：x2=4y的兩條切線，切拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求出Q的坐標(biāo).

【參考答案】

存在定點(diǎn)Q（1，2）.

【提示】 此題有多種解法，通用方法是韋達(dá)定理.此處有l(wèi)與AB兩條直線，而解題目標(biāo)在直線AB，故設(shè)AB：y=kx+m，問題轉(zhuǎn)化為探究k與m兩個量的關(guān)系.

設(shè)Ax1，，Bx2，，按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”易得： x1+x2=4k，x1·x2=-4m.

設(shè)P（xp，yp），由y=y′=可得切線PA的斜率為，所以yp-=（xp-x1），化簡得yp=xp- （①）.同理可得切線PB的斜率為，yp=xp- （②）.聯(lián)立①②，解得xp==2k，yp=-==-m，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2k，-m）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上，故2k+2m-4=0，即m=2-k.代入y=kx+m，可得直線AB方程y=k（x-1）+2，因此直線AB過定點(diǎn)Q（1，2）.

從變量分析的角度看，此題的四個量x1，x2，k，m均為未知量，但x1，x2是相對于k，m的“應(yīng)變量”，而k與m這兩個“變量”的地位相當(dāng).因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m，這樣直線AB就只取決于一個變量，最終都可得到直線過定點(diǎn)（1，2）.

解析： 若直線l斜率不存在，則點(diǎn)A為（0，1），B（0，-1）或點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），此時不滿足條件2=3.所以直線l的斜率存在.

設(shè)l：y=kx-，按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”得到x1+x2= （①），x1·x2=- （②）.韋達(dá)定理提供了x1，x2與k的關(guān)系，此時x1，x2是相對于k的“應(yīng)變量”.

因?yàn)?=3，所以2（x1-0）=3（0-x2），-2x1=3x2. 把x1=

-x2代入①②兩式，問題立即轉(zhuǎn)化為只含有兩個“量”——x2與k——的方程組：x2=-，=.

題目要求的量是k，消去x2可得k=±，故所求直線方程為3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

點(diǎn)評： 運(yùn)用韋達(dá)定理的重要原則是“不求根而用根”.在“量”的迷陣中，只有堅(jiān)定目標(biāo)，始終明確要求的是哪個“量”，才能清楚地判斷解題時要消去的是哪些“量”.

例3 如圖5所示，F(xiàn)為橢圓O：+y2=1的右焦點(diǎn)，C（m，0）是線段OF上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，F(xiàn)），試問是否存在過點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，使MC=NC？并說明理由.

解析： 設(shè)直線l：x=ty+1（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟，可得：y1+y2=-，y1·y2=

-.

由點(diǎn)M，N 坐標(biāo)可得MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，xE===，yE==-.

要使MC=NC，則必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1，化簡得mt2+2m-1=0，m=.

仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)是探討點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向F點(diǎn)運(yùn)動的過程中處于不同的位置時，滿足條件的直線l是否存在. 從代數(shù)角度看，即對應(yīng)m的不同取值，t是否有解.由m=可得t=±.由已知C（m，0）是線段OF上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，F(xiàn)）可得0

點(diǎn)評：只有根據(jù)題目條件MC=NC找到突破口，建立t，m之間的數(shù)量關(guān)系，才能最終順利求解.

圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時人們得到了大量關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì).17世紀(jì)初期坐標(biāo)系的出現(xiàn)，掀起了幾何問題研究“代數(shù)化”的浪潮，高中數(shù)學(xué)課程中的“圓錐曲線”問題的探討正是在這一歷史背景下展開的.韋達(dá)定理在圓錐曲線中的運(yùn)用，完美詮釋了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)之無愧位居二次曲線解題方法之首.“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步規(guī)范操作，如王者之像，儀態(tài)端莊；“不求根而用根”，整體駕馭各種“量”的結(jié)構(gòu)，超然于計(jì)算之上，決勝千里之外. 這正是：

二次曲線用韋達(dá)，糾纏常因字母卡；

科學(xué)分類定目標(biāo)，巧建關(guān)系終求解.

【練一練】

如圖6所示，過直線l：x-2y-4=0上的一動點(diǎn)P作拋物線O：x2=4y的兩條切線，切拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求出Q的坐標(biāo).

【參考答案】

存在定點(diǎn)Q（1，2）.

【提示】 此題有多種解法，通用方法是韋達(dá)定理.此處有l(wèi)與AB兩條直線，而解題目標(biāo)在直線AB，故設(shè)AB：y=kx+m，問題轉(zhuǎn)化為探究k與m兩個量的關(guān)系.

設(shè)Ax1，，Bx2，，按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”易得： x1+x2=4k，x1·x2=-4m.

設(shè)P（xp，yp），由y=y′=可得切線PA的斜率為，所以yp-=（xp-x1），化簡得yp=xp- （①）.同理可得切線PB的斜率為，yp=xp- （②）.聯(lián)立①②，解得xp==2k，yp=-==-m，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2k，-m）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上，故2k+2m-4=0，即m=2-k.代入y=kx+m，可得直線AB方程y=k（x-1）+2，因此直線AB過定點(diǎn)Q（1，2）.

從變量分析的角度看，此題的四個量x1，x2，k，m均為未知量，但x1，x2是相對于k，m的“應(yīng)變量”，而k與m這兩個“變量”的地位相當(dāng).因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m，這樣直線AB就只取決于一個變量，最終都可得到直線過定點(diǎn)（1，2）.

解析： 若直線l斜率不存在，則點(diǎn)A為（0，1），B（0，-1）或點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），此時不滿足條件2=3.所以直線l的斜率存在.

設(shè)l：y=kx-，按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”得到x1+x2= （①），x1·x2=- （②）.韋達(dá)定理提供了x1，x2與k的關(guān)系，此時x1，x2是相對于k的“應(yīng)變量”.

因?yàn)?=3，所以2（x1-0）=3（0-x2），-2x1=3x2. 把x1=

-x2代入①②兩式，問題立即轉(zhuǎn)化為只含有兩個“量”——x2與k——的方程組：x2=-，=.

題目要求的量是k，消去x2可得k=±，故所求直線方程為3x-6y-2=0或3x+6y+2=0.

點(diǎn)評： 運(yùn)用韋達(dá)定理的重要原則是“不求根而用根”.在“量”的迷陣中，只有堅(jiān)定目標(biāo)，始終明確要求的是哪個“量”，才能清楚地判斷解題時要消去的是哪些“量”.

例3 如圖5所示，F(xiàn)為橢圓O：+y2=1的右焦點(diǎn)，C（m，0）是線段OF上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，F(xiàn)），試問是否存在過點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，使MC=NC？并說明理由.

解析： 設(shè)直線l：x=ty+1（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步驟，可得：y1+y2=-，y1·y2=

-.

由點(diǎn)M，N 坐標(biāo)可得MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，xE===，yE==-.

要使MC=NC，則必有CE⊥MN.由kCE·kMN=-1得·=-1，化簡得mt2+2m-1=0，m=.

仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)是探討點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向F點(diǎn)運(yùn)動的過程中處于不同的位置時，滿足條件的直線l是否存在. 從代數(shù)角度看，即對應(yīng)m的不同取值，t是否有解.由m=可得t=±.由已知C（m，0）是線段OF上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，F(xiàn)）可得0

點(diǎn)評：只有根據(jù)題目條件MC=NC找到突破口，建立t，m之間的數(shù)量關(guān)系，才能最終順利求解.

圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時人們得到了大量關(guān)于圓錐曲線的性質(zhì).17世紀(jì)初期坐標(biāo)系的出現(xiàn)，掀起了幾何問題研究“代數(shù)化”的浪潮，高中數(shù)學(xué)課程中的“圓錐曲線”問題的探討正是在這一歷史背景下展開的.韋達(dá)定理在圓錐曲線中的運(yùn)用，完美詮釋了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)之無愧位居二次曲線解題方法之首.“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”五步規(guī)范操作，如王者之像，儀態(tài)端莊；“不求根而用根”，整體駕馭各種“量”的結(jié)構(gòu)，超然于計(jì)算之上，決勝千里之外. 這正是：

二次曲線用韋達(dá)，糾纏常因字母卡；

科學(xué)分類定目標(biāo)，巧建關(guān)系終求解.

【練一練】

如圖6所示，過直線l：x-2y-4=0上的一動點(diǎn)P作拋物線O：x2=4y的兩條切線，切拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求出Q的坐標(biāo).

【參考答案】

存在定點(diǎn)Q（1，2）.

【提示】 此題有多種解法，通用方法是韋達(dá)定理.此處有l(wèi)與AB兩條直線，而解題目標(biāo)在直線AB，故設(shè)AB：y=kx+m，問題轉(zhuǎn)化為探究k與m兩個量的關(guān)系.

設(shè)Ax1，，Bx2，，按照“設(shè)→聯(lián)→消→韋→判”易得： x1+x2=4k，x1·x2=-4m.

設(shè)P（xp，yp），由y=y′=可得切線PA的斜率為，所以yp-=（xp-x1），化簡得yp=xp- （①）.同理可得切線PB的斜率為，yp=xp- （②）.聯(lián)立①②，解得xp==2k，yp=-==-m，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2k，-m）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上，故2k+2m-4=0，即m=2-k.代入y=kx+m，可得直線AB方程y=k（x-1）+2，因此直線AB過定點(diǎn)Q（1，2）.

從變量分析的角度看，此題的四個量x1，x2，k，m均為未知量，但x1，x2是相對于k，m的“應(yīng)變量”，而k與m這兩個“變量”的地位相當(dāng).因此既可用m=2-k也可用k=2-m代入y=kx+m，這樣直線AB就只取決于一個變量，最終都可得到直線過定點(diǎn)（1，2）.