朱擁勇，王德石，代仁文

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢 430033）

含萬(wàn)向鉸偏斜軸系的超諧波共振及其穩(wěn)定性分析

朱擁勇，王德石，代仁文

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢 430033）

研究固有結(jié)構(gòu)偏斜與實(shí)際誤差偏斜共同作用下含萬(wàn)向鉸偏斜軸系的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題。首先推導(dǎo)出偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的弱非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程，然后利用多尺度法求得其在超諧波共振情形下的周期解，并給出穩(wěn)態(tài)周期解的幅頻特性關(guān)系式。運(yùn)用李雅普諾夫第一近似穩(wěn)定性理論，對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性研究，得到超諧波共振解振幅隨調(diào)諧參數(shù)變化的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)。最后對(duì)不同初始條件下非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的超諧波共振進(jìn)行仿真計(jì)算。研究結(jié)果揭示了含萬(wàn)向鉸偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的基本特性，也為進(jìn)一步分析偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔與奇異性奠定了基礎(chǔ)。

扭轉(zhuǎn)振動(dòng);超諧波共振;穩(wěn)定性;偏斜軸系;萬(wàn)向鉸

0 引言

萬(wàn)向鉸被普遍應(yīng)用于各類傳動(dòng)系統(tǒng)。在該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由萬(wàn)向鉸引起的角速度波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的非線性振動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題，同時(shí)，在由制造、安裝而產(chǎn)生的實(shí)際誤差偏斜作用下，這種振動(dòng)形式表現(xiàn)出更復(fù)雜的特性。在萬(wàn)向鉸偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方面，目前研究大都只考慮固有結(jié)構(gòu)偏斜φ，且認(rèn)為這種固有結(jié)構(gòu)偏斜較小，即將φ當(dāng)作微量。Porter首先提出了萬(wàn)向鉸偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的單自由度非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型［1］，這一弱非線性模型成為研究萬(wàn)向鉸偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的經(jīng)典模型并為后續(xù)研究者加以推廣。文獻(xiàn)［2］利用KBM方法直接對(duì)上述非線性模型進(jìn)行研究，分析過(guò)程較為復(fù)雜。文獻(xiàn)［3］將該模型線性化為參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，研究簡(jiǎn)化系統(tǒng)的穩(wěn)定圖、幅頻特性曲線及相平面圖，證明了多解共存及突變現(xiàn)象，并指出主參數(shù)共振和2階參數(shù)共振的鞍點(diǎn)和焦點(diǎn)，整個(gè)研究較為全面，但經(jīng)簡(jiǎn)化后并不能完全反映原偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)性態(tài)。針對(duì)多節(jié)萬(wàn)向傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)也有學(xué)者進(jìn)行了研究［4］，其分析側(cè)重點(diǎn)在于研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)力放大因素的影響，通過(guò)數(shù)值計(jì)算優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)，達(dá)到降低扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和避免共振的目的。本文主要研究固有結(jié)構(gòu)偏斜與實(shí)際誤差偏斜共同作用下萬(wàn)向鉸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題，利用多尺度法求解非線性模型，得出系統(tǒng)超諧波共振情形下的幅頻特性曲線與相頻特性，并對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，從而全面反映出萬(wàn)向鉸偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性。

1 含萬(wàn)向鉸偏斜軸系的扭振模型

工程實(shí)際中，含萬(wàn)向鉸的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一般存在2類偏斜:一類是由萬(wàn)向鉸結(jié)構(gòu)引起的固有偏斜，這種偏斜模型可用驅(qū)動(dòng)軸與從動(dòng)軸之間的夾角φ表示;另一類為實(shí)際誤差偏斜，由于受到軸承安裝誤差等因素影響，驅(qū)動(dòng)軸與實(shí)際從動(dòng)軸之間出現(xiàn)偏斜情形，這種偏斜模型可以用理想從動(dòng)軸與實(shí)際從動(dòng)軸之間的2個(gè)歐拉角α和β表示，也可稱偏斜角，如圖1所示。

圖1 萬(wàn)向鉸驅(qū)動(dòng)的偏斜旋轉(zhuǎn)軸Fig.1 Themodel ofmisaligned rotary shafts driven by universal joint

圖2 偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型Fig.2 The torsional vibration model on misaligned rotary shafts

為建立偏斜軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，假設(shè):1）驅(qū)動(dòng)軸與從動(dòng)軸為無(wú)質(zhì)量桿件;2）支承驅(qū)動(dòng)軸與從動(dòng)軸的軸承足夠長(zhǎng)，系統(tǒng)彎曲可以忽略;3）不考慮萬(wàn)向鉸十字軸的質(zhì)量，且十字軸與軸叉之間無(wú)摩擦。

如圖2所示，在該扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型中，驅(qū)動(dòng)軸和從動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為S1和S2;驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω為定值;萬(wàn)向鉸兩端的輸入角及輸出角分別為θ和ψ，即驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)角和從動(dòng)軸轉(zhuǎn)角;實(shí)際從動(dòng)軸上負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J;粘滯阻尼為c(c＞0）;負(fù)載端的轉(zhuǎn)角為η。

一般地，由實(shí)際誤差產(chǎn)生的偏斜較小，即偏斜角α和β很小，當(dāng)萬(wàn)向鉸固有結(jié)構(gòu)偏斜φ較小時(shí)，可以得到驅(qū)動(dòng)軸與從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之間的近似關(guān)系［5］:

作用在慣性負(fù)載上的力矩包括從動(dòng)軸對(duì)負(fù)載產(chǎn)生的扭矩以及負(fù)載受到的粘滯阻尼扭矩，慣性負(fù)載的動(dòng)力學(xué)方程為:

考慮萬(wàn)向鉸兩端受力情況，萬(wàn)向鉸輸入端所受力矩為S1(ωt-θ），輸出端產(chǎn)生的力矩為S2(ψη），在假設(shè)萬(wàn)向鉸傳動(dòng)過(guò)程中無(wú)摩擦前提下，驅(qū)動(dòng)軸對(duì)萬(wàn)向鉸所做功在某一時(shí)刻t的瞬時(shí)功率應(yīng)恒等于十字軸對(duì)從動(dòng)軸所做功在該時(shí)刻的瞬時(shí)功率，即:

2 超諧波共振情形下的周期解

3 偏斜軸系超諧波共振的穩(wěn)定性

由式(8）和式(9）得到非線性振動(dòng)系統(tǒng)超諧波共振情形下的幅頻特性方程:

圖3 幅頻特性曲線上的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)(ρ =0.5，μ/ρ=0.04）Fig.3 The stability and instability domain on amplitude-frequency curve(ρ=0.5，μ/ρ=0.04）

在圖3所示的幅頻特性曲線中，粗實(shí)線ACB為系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定區(qū)，其穩(wěn)定周期解的振幅均小于0.707。虛線a=0.707以上虛線部分為周期解的不穩(wěn)定區(qū)。

圖4 幅頻特性曲線上的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)(ρ =0.9，μ/ρ=0.04）Fig.4 The stability and instability domain on amplitude-frequency curve(ρ=0.9，μ/ρ=0.04）

在圖4所示的幅頻特性曲線中，粗實(shí)線AED和BEC為系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定振幅區(qū)，其穩(wěn)定周期解的振幅均小于0.917 8。虛線a=0.917 8以上虛線部分為周期解的不穩(wěn)定區(qū)。若在穩(wěn)定區(qū)上靠近A有一點(diǎn)P，隨著調(diào)諧參數(shù)σ的不斷增大，點(diǎn)P會(huì)沿著曲線AED由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)。當(dāng)調(diào)諧參數(shù)增大到點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的σ值時(shí)，點(diǎn)P會(huì)從D點(diǎn)突然跳變到G點(diǎn)，此后再增大σ值，P點(diǎn)將從G點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。與此相同，若在穩(wěn)定區(qū)上靠近B有一點(diǎn)P，隨著調(diào)諧參數(shù)σ的不斷減小，點(diǎn)P會(huì)沿著曲線BEC由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)調(diào)諧參數(shù)減小到點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的σ值時(shí)，點(diǎn)P會(huì)從C點(diǎn)突然跳變到F點(diǎn)，此后再減小σ值，P點(diǎn)將從F點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。由此可以看出，當(dāng)驅(qū)動(dòng)軸的旋轉(zhuǎn)角速度接近其派生系統(tǒng)的固有頻率的一半時(shí)，即在超諧波共振條件下，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象;而且與線性振動(dòng)系統(tǒng)中最大共振振幅產(chǎn)生在中心頻率不同，在該非線性振動(dòng)中，系統(tǒng)最大共振振幅并不產(chǎn)生在ω=ω0/2處。圖3與圖4不同，沒有跳躍現(xiàn)象出現(xiàn)。

在圖4產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象的區(qū)域中，同一調(diào)諧參數(shù)σ對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定區(qū)CEG和DEF上2個(gè)不同共振振幅as，即對(duì)于同一驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)速，仍然存在2個(gè)穩(wěn)定的周期解。該現(xiàn)象表明:對(duì)于接近于中心頻率ω0/2的某一驅(qū)動(dòng)軸角頻率，其在穩(wěn)定區(qū)CEG和DEF上僅對(duì)應(yīng)一個(gè)穩(wěn)定振幅，該振幅由系統(tǒng)初始條件所決定。

4 不同初始條件下非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的仿真計(jì)算

為驗(yàn)證非線性扭振系統(tǒng)共振響應(yīng)對(duì)不同初始條件的依賴性，利用式(6）和式(7），對(duì)系統(tǒng)超諧波共振振幅進(jìn)行仿真計(jì)算。為與圖4相對(duì)應(yīng)，取ρ=

1）當(dāng)初始條件為a0=0.8，γ0=0.5時(shí)，其共振振幅如圖5(a）所示，其穩(wěn)定值與圖4中σ=-1時(shí)所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定時(shí)的as值基本一致。

2）當(dāng)初始條件為a0=0.15，γ0=0時(shí)，其共振振幅如圖5(b）所示，其穩(wěn)定值與圖4中σ=-1時(shí)所對(duì)應(yīng)的另一穩(wěn)定時(shí)的as值基本一致。

圖5 不同初始條件下的共振振幅 (ρ=0.9，μ/ρ=0.04）Fig.5 The amplitude under different initial conditions(ρ =0.9，μ/ρ=0.04）

5 結(jié)語(yǔ)

研究了固有結(jié)構(gòu)偏斜與實(shí)際誤差偏斜共同作用下含萬(wàn)向鉸偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題。在分析從動(dòng)軸與驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出偏斜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的弱非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程。利用多尺度法求得該非線性方程在超諧波共振情形下的周期解，并給出穩(wěn)態(tài)周期解的幅頻特性關(guān)系式。運(yùn)用李雅普諾夫第一近似穩(wěn)定性理論，對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性研究，得到超諧波共振解振幅隨調(diào)諧參數(shù)變化的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)。最后對(duì)不同初始條件下非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的超諧波共振進(jìn)行了仿真計(jì)算。上述研究表明:

1）固有結(jié)構(gòu)偏斜與實(shí)際誤差偏斜的共同作用會(huì)引起含萬(wàn)向鉸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，該系統(tǒng)具有形如=0的非自治振動(dòng)系統(tǒng)形式;

2）在超諧波共振情形下，選取適當(dāng)?shù)膭偠认禂?shù)ρ、阻尼系數(shù)μ時(shí)，其幅頻特性曲線會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，即當(dāng)驅(qū)動(dòng)軸角頻率ω取某一值時(shí)，系統(tǒng)共振振幅發(fā)生突變;

3）對(duì)于超諧波共振情形，同一調(diào)諧參數(shù)σ下存在多個(gè)振幅與相位;在給定初始條件下，對(duì)應(yīng)于任意驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)速ω，至多存在一個(gè)穩(wěn)定的共振振幅與共振相位。上述研究結(jié)果揭示了含萬(wàn)向鉸偏斜軸系的非線性動(dòng)力學(xué)基本特性，也為系統(tǒng)進(jìn)一步的分岔分析奠定了基礎(chǔ)。

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Analysis on super-harmonic resonance and stablity of torsional vibration with m isaligned shafts driven by universal joint

ZHU Yong-yong，WANG De-shi，DAIRen-wen
(Department ofWeaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The nonlinear tosional vibration on rotor system driven by universal joint was studied considering both natural structure misalignment and actual error misalignment.Firstly，the equation with nonlinear vibration was derived.Secondly，the periodic solution was obtained corresponding to superharmonic resonance by multi-scale approach，also the amplitude-frequency characteristic curve.Then the stable regions on the amplitude of the periodic solution were deduced using Lyapunov's approximate stability theory.At last，the calculation simulation were carried outabout super-harmonic resonance of The nonlinear tosional vibration.The results above indicate the fundamental characteristic of the nonlinear dynamic on the misaligned shafts，also applying the foundation for advanced bifurcation and singularity analysis.

torsional vibration;super-harmonic resonance;stablity;misaligned shafts;universal joint

TH133.4

A

1672－7649(2014）05－0089－04

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.018

2013－03－21;

2013－05－08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50875259）;海軍工程大學(xué)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(HGDQNEQJJ12010）

朱擁勇(1981－），男，博士，主要從事機(jī)械動(dòng)力學(xué)、非線性振動(dòng)研究。