李文瀟,Alexander GUSEV,平勁松,張同杰

(1.北京師范大學(xué)天文系,北京100875;2.中國科學(xué)院國家天文臺月球與深空探測重點實驗室,北京100012; 3.俄羅斯喀山聯(lián)邦大學(xué),喀山420008)

雙層結(jié)構(gòu)月球的自由天平動與受迫天平動

李文瀟1,2,Alexander GUSEV2,3,平勁松1,2,張同杰1

(1.北京師范大學(xué)天文系,北京100875;2.中國科學(xué)院國家天文臺月球與深空探測重點實驗室,北京100012; 3.俄羅斯喀山聯(lián)邦大學(xué),喀山420008)

根據(jù)JPL/NASA發(fā)布的月球行星歷表DE430/LE430提供的月球物理參數(shù),計算了月球主轉(zhuǎn)動慣量;使用剛體月球轉(zhuǎn)動微分方程獲得的月球物理天平動解析關(guān)系式,計算了不同分層模型的月球自由天平動三個模式的頻率及周期,比較并討論了不同的解析結(jié)果;在此基礎(chǔ)上,評估了月球受迫天平動一個模式的幅度。

月球天平動;解析方法;頻率及周期;幅值

0 引 言

月球天平動是對月球運動在空間擺動的描述。它是月球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)軌道以及周圍天體對月球的力的作用的綜合表現(xiàn)。根據(jù)月球激光測距和月震觀測,目前推測月球有多層結(jié)構(gòu),包括殼、幔、外核、內(nèi)核等。本文涉及的層次結(jié)構(gòu)只包含核、幔兩層模型。依據(jù)卡西尼定則,月球自轉(zhuǎn)周期等于其公轉(zhuǎn)周期;月球赤道與黃道相交成1°32′角;月球自轉(zhuǎn)軸、月球軌道平面的法線以及黃道面的法線三者共面,且第三者處于前兩者之間。

物理天平動的理論基礎(chǔ),主要是剛體轉(zhuǎn)動微分方程,此處方程由卡西尼第一定律簡化得到,并進(jìn)行小量線性近似。對剛體月球,轉(zhuǎn)動微分方程為經(jīng)典的歐拉-劉維爾方程[1]

1 自由天平動

1.1 自由天平動解析理論

對剛體月球,不考慮液態(tài)核、潮汐變形以及潮汐耗散的影響,滿足自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)共振的一階線性轉(zhuǎn)動微分方程組為[1]

式中:p1,p2表示月球參考系中橢圓軌道面的法向極軸位置;f1,f2,f3為獨立于旋轉(zhuǎn)參量的表達(dá),與外部力矩有關(guān);n為月球平均角速度;α,β,γ為動力學(xué)橢率,由月球(此處將月球看作慣性橢球)轉(zhuǎn)動慣量(A＜B＜C)得來,其表達(dá)形式為

其中,α,β,γ的取值選用JPL DE430歷表中給出的值,分別為[3]:β=6.310 213×10-4,γ=2.277 317× 10-4,α的值可由β和γ獲得,α=4.032 897×10-4。

1.2 自由天平動特征頻率與周期解析式

Rambaux和Williams(2011)[1]給出了自由天平動轉(zhuǎn)動微分方程組的特征頻率的解析式。對經(jīng)度天平動

對緯度天平動,其特征頻率不同,在月固坐標(biāo)系內(nèi)和空間坐標(biāo)系內(nèi)分別為

對極軸天平動

對剛體月球整體,通過全月觀測,可獲得全月動力學(xué)橢率值,而其3個關(guān)系式?jīng)Q定的值只有兩個是獨立的,第3個可由其他兩個推得。同時,若之后考慮月球內(nèi)部分層結(jié)構(gòu)的天平動頻率、周期,則需要獲得月球內(nèi)部對應(yīng)層次的動力學(xué)橢率,即通過全月與月核的轉(zhuǎn)動慣量關(guān)系,得到月核轉(zhuǎn)動慣量,進(jìn)而獲得月核動力學(xué)橢率,方便討論月核的天平動狀態(tài)。

關(guān)于月球平均運動的情況,可在網(wǎng)址http:// hea.iki.rssi.ru/～nik/astro/links.htm獲得,Torbit= 27.321 661 d,e=0.054 9,恒星年天數(shù)1 a= 365.256 36 d,而月球公轉(zhuǎn)平均角速度有(單位:rad/s)

1.3 剛體月球(全月)的自由天平動

基于文獻(xiàn)[2]中的月球物理參數(shù),我們可以得到剛體月球轉(zhuǎn)動慣量的3個分量。在對剛體月球轉(zhuǎn)動耗散的討論中,Williams給出了如下關(guān)系[3]

將C/m R2歸一化,使m R2內(nèi)含在轉(zhuǎn)動慣量的C部分。比較動力學(xué)橢率的定義式可得

進(jìn)一步可得剛體月球轉(zhuǎn)動慣量各分量的歸一化平均值,分別為

代入所需量,得到結(jié)果。將以上所得結(jié)果整理為表1,并且進(jìn)一步可得自由天平動不同模式的特征頻率,及其對應(yīng)周期,所得結(jié)果整理入表2。

表1 基本參量計算結(jié)果Table 1 Values of basic parameters

表2包含了自由天平動的頻率和周期。通過比較可以發(fā)現(xiàn),數(shù)值結(jié)果無法定位到不同參考系下的緯天平動;數(shù)值解和解析解的結(jié)果不同。數(shù)值解與解析解之間的差別,可能由幾種原因帶來,一為使用數(shù)據(jù)的測量誤差,二為微分轉(zhuǎn)動微分方程的近似,三為微分方程特征解的近似。具體原因,有待進(jìn)一步對模型進(jìn)行深入研究與討論,確定差別來源。解析分析的好處在于,其物理模型建立合理,對研究理解物理天平動的物理機(jī)制,有重要意義。數(shù)值分析的好處在于,短周期天平動結(jié)果,可由月球歷表提取獲得,其周期和幅值可靠度高,但長周期的歷表數(shù)據(jù),為觀測歷表擬合延伸獲得,長周期(低頻)項可能由擬合過程產(chǎn)生。

表2 剛體月球自由天平動頻率及周期Table 2 Frequencies and periods of free librations for rigid Moon

1.4 月球流體核的自由天平動

在對剛體月球的轉(zhuǎn)動慣量、動力學(xué)橢率以及自由天平動頻率周期討論的基礎(chǔ)上,依據(jù)月球整體與核的關(guān)系,可對月核的自由天平動做簡單討論。

月球從表面到核,根據(jù)不同判斷標(biāo)準(zhǔn)以及測量方式,可以分為多個層次,如殼、幔、核幔邊界、外核及內(nèi)核。動力學(xué)研究中,我們沒法分辨這么多層次,尤其是最初的研究討論,只能從最簡單的模型入手,故我們討論的為將月球分為幔、核的兩層結(jié)構(gòu),同時認(rèn)為月幔為剛體狀態(tài)(固態(tài)),月核為液態(tài)(或稱為流體態(tài))。

Williams等[2]根據(jù)GRAIL和LLR提供的月球重力場解,給出了核幔邊界扁率f,流體核與全月的Z軸轉(zhuǎn)動慣量比Cf/C,以及關(guān)系式[Cf-(Af+Bf)/2]/C的值。由于Cf/C與[Cf-(Af+Bf)/2]/C相關(guān),不獨立,且f為擬合得來,其不確定度來自月球內(nèi)部,更難確定,所以月核轉(zhuǎn)動慣量的討論,使用這兩個關(guān)系式更合理[2]

但式(3)只有2個關(guān)于獨立月核轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系式,無法確定其3個部分的值,故還需進(jìn)一步假設(shè)月核轉(zhuǎn)動慣量的情況,以期得到轉(zhuǎn)動慣量的3個部分的值。月核轉(zhuǎn)動慣量的確定,有賴于月核轉(zhuǎn)動狀態(tài)的假設(shè)。簡單假設(shè)月核繞其轉(zhuǎn)動慣量主軸Z分量方向轉(zhuǎn)動,故可分為主軸固定的旋轉(zhuǎn)與主軸繞某一固定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動,即月核關(guān)于轉(zhuǎn)動軸動力學(xué)對稱與動力學(xué)非對稱兩種的簡單假設(shè)。

1)動力學(xué)對稱流體核

假設(shè)月球流體核是關(guān)于轉(zhuǎn)軸Z動力學(xué)對稱的,即月核為關(guān)于慣量主軸Z的旋轉(zhuǎn)橢球,如此便有Ac=Bc,于是

其中各量下角標(biāo)core和c,表示月核,與式(15)、(16)中下角標(biāo)f含義一致。

由式(15)、(16)可得月核轉(zhuǎn)動慣量分量的值,結(jié)果見表3;將此3個值代入式(17)便可獲得月核動力學(xué)橢率在假設(shè)一條件下的情況,所得結(jié)果整理在表3中;這樣便可使用式(4)、(5)、(6)和(7)獲得月核自由天平動頻率及周期,所得結(jié)果整理在表4中。

2)非動力學(xué)對稱的流體核

假設(shè)月球流體核是關(guān)于轉(zhuǎn)軸Z非動力學(xué)對稱的,能得到的為Ac≠Bc。此為不等式,不滿足求解月核轉(zhuǎn)動慣量分量條件的需求,故需要進(jìn)一步合理假設(shè)月核轉(zhuǎn)動慣量X、Y軸部分所滿足的條件。

Noyelles等在土衛(wèi)一的動力學(xué)研究[4]中,也討論到非動力學(xué)對稱的轉(zhuǎn)動慣量問題,他假設(shè)土衛(wèi)一核的大小與土衛(wèi)一整體大小成比例,即有[5]

進(jìn)而得到土衛(wèi)一轉(zhuǎn)動慣量各分量。

借鑒以上方法,直接假設(shè)月核的轉(zhuǎn)動慣量X、Y分量與月球整體情況成比例,即

由式(15)、(16)及(20)可得非動力學(xué)對稱的月核轉(zhuǎn)動慣量分量值,同樣可通過定義式得到月核動力學(xué)橢率值,結(jié)果見表3;最后獲得在此假設(shè)下的月核自由天平動頻率及周期,結(jié)果見表4。

3)月球流體核與剛體月球的比較

由表3可知,月核轉(zhuǎn)動慣量對月球轉(zhuǎn)動慣量貢獻(xiàn)很小,月球轉(zhuǎn)動慣量主要部分為月幔,而不同的月核動力學(xué)模型對月核轉(zhuǎn)動慣量X、Y分量有小量區(qū)別。同時,月球和月核的動力學(xué)橢率處于同一數(shù)量級。

表3 不同月球結(jié)構(gòu)模型的轉(zhuǎn)動慣量和動力學(xué)橢率Table 3 Moment of inertia and dynamical ellipticity for different lunar layer models

表4 不同月球結(jié)構(gòu)模型的自由天平動頻率及周期Table 4 Frequencies and periods of lunar librations for different lunar layer models

由表4可知,月核自由天平動的緯天平動和極軸天平動的周期比月球整體部分的周期長,初步說明月核在緯天平動和極軸天平動上的情況比月球整體復(fù)雜,同時耗散更小,阻尼時間更長,而月核的經(jīng)天平動和月固緯天平動,在外力作用平面內(nèi),受外力影響大,耗散大,且基本與月球整體情況一致,所以此部分天平動相對一致。

4)動力學(xué)對稱核與非動力學(xué)核的比較

月核的兩種假設(shè),從結(jié)果上,無法進(jìn)行直接比較其好壞,因為月核動力學(xué)情況沒有對應(yīng)觀測結(jié)果。但月核模型的假設(shè),對初步認(rèn)識月核層次結(jié)構(gòu)及其動力學(xué)影響,有重要意義。

由表3和表4可知,兩種月核假設(shè),獲得的月核轉(zhuǎn)動慣量分量值有差異,此差異對月核自由天平動頻率、周期有較大影響。從表4中經(jīng)天平動、緯天平動(MR)結(jié)果可認(rèn)為,復(fù)雜度高的月核模型,與剛體月球情況更貼近,越復(fù)雜的月核模型解析,獲得的月核動力學(xué)情況,更可信。月球?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)的增加,可提高月球動力學(xué)的認(rèn)識,以及月球內(nèi)部各結(jié)構(gòu)的動力學(xué)表現(xiàn)。但內(nèi)部結(jié)構(gòu)對整體月球軌道的影響,尤其是幅值,還有待進(jìn)一步研究。

2 受迫經(jīng)天平動幅值

對月球自由天平動的頻率和周期做了簡單討論后,解析研究還能討論受迫天平動的幅值問題。

Noyelles等在土衛(wèi)一的動力學(xué)研究[4]中,借用Murray和Dermott(1999)[5]專著中的解析關(guān)系式,簡單討論了土衛(wèi)一的受迫經(jīng)天平動幅值。其關(guān)系式為

式中:ψ是潮汐天平動主項的幅值;γ′是受迫天平動物理部分的幅值;ωu是月球目標(biāo)結(jié)構(gòu)的自由經(jīng)天平動頻率,若討論剛體月球,則此處為剛體月球自由經(jīng)天平動頻率,若討論月核,則此處為月核自由經(jīng)天平動頻率;e是月球軌道橢率;n是月球公轉(zhuǎn)平均角速度。而部分還需要進(jìn)行修正,其修正式為

將表3中非動力學(xué)對稱的月核模型結(jié)果代入式(22),并代入月球公轉(zhuǎn)軌道橢率值,可得非動力學(xué)對稱月核受迫經(jīng)天平動估值結(jié)果為ψ=-6.291°, γ′=-15.254″。

將該結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中月球歷表數(shù)值解析得到的受迫經(jīng)天平動幅值比較,同時比較式(22)及表3中不同結(jié)構(gòu)模型的動力學(xué)橢率情況,可知月核受迫經(jīng)天平動幅值與剛體月球受迫天平動幅值在同一數(shù)量級。若有觀測可直接獲得月核受迫經(jīng)天平動幅值情況,可初步判斷月核動力學(xué)情況,進(jìn)而嘗試獲得月核其他參數(shù)。

3 結(jié)束語

目前,我們利用月球物理參數(shù)及月球動力學(xué)基本知識,完成了對月球整體及月核自由天平動的初步討論,比較了不同結(jié)構(gòu)的周期頻率情況,并評估了月核受迫天平動幅值大小。下一步研究,將著眼于解析理論與數(shù)值方法間的差異來源確定,并進(jìn)一步進(jìn)行月球受迫天平動幅值討論。

[1]Rambaux N,Williams J G.The Moon's physical librations and determination of their free modes[J].Celest Mech Dyn Astr,2011(109):85-100.

[2]Williams J G,Boggs D H,Folkner W M.DE430 lunar orbit, physical librations,and surface coordinate[P].JPL IOM 335-JW,DB,WF-20130722-016,2013.

[3]Williams J G,Boggs D H,Yoder C F.Lunar rotational dissipation in solid body and molten core[J].Journal of Geophysical Research,2001(106):27933-27968.

[4]Noyelles B,Karatekin?,Rambaux N.The rotation of Mimas[J].A&A,2011(536):A61.

[5]Murray C D,Dermott S F.Solar system dynamics[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1999.

通信地址:北京師范大學(xué)天文系(100875)

電話:18811478825

E-mail:liwenxiao3443@mail.bnu.edu.cn

[責(zé)任編輯:宋宏]

Free and Forced Librations of Two-Layer Structure of the Moon

LI Wenxiao1,2,Alexander GUSEV2,3,PING Jinsong1,2,ZHANG Tongjie1
(1.Department of Astronomy,Beijing Normal University,Beijing 100875,China;2.Key Laboratory of Lunar& Deep Space Exploration Research,National Astronomical Observatories,CAS,Beijing 100012,China; 3.Russian Kazan Federal University,Kazan 420008,Russia)

Based on the lunar physical parameters in ephemeris DE430/LE430 of JPL/NASA,we estimated the moments of inertia of the Moon.Using these values of moment of inertia,the frequencies and periods of lunar free librations in different modes have been calculated by solving the rotational differential equations of rigid Moon.We compared the results and discussed the analytic results of lunar librations.Meanwhile,we also estimated the forced librations by means of the amplitude of longitudinal part.For the further research,more analytic methods should be mixed into numerical results,and the interactions between two layers would be next objective.

lunar librations;analytic methods;frequencies and periods;amplitude

P691

:A

:2095-7777(2014)03-0205-05

10.15982/j.issn.2095-7777.03.007

李文瀟(1990—),男,碩士研究生,主要研究方向:月球無線電相位測距,月球物理天平動。

2014-07-27

2014-08-11

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2015CB857101);中科院外籍專家項目(2013T2J0016);中科院俄烏白國際合作項目(2013-2014)