鐘艷莉

摘要：變式訓(xùn)練，其意義在于通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師對(duì)于原命題的合理轉(zhuǎn)化，以達(dá)到提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的掌握能力。作為一門(mén)抽象理論與心智技巧高度融合的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于提高學(xué)生的邏輯抽象能力，提高學(xué)生嚴(yán)密的思維能力有著關(guān)鍵性的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)注重對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展，通過(guò)發(fā)散性思維去開(kāi)拓學(xué)生解題思維，通過(guò)變式訓(xùn)練來(lái)提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的應(yīng)變與應(yīng)用能力。對(duì)于變式訓(xùn)練而言，是通過(guò)恰當(dāng)合理的變式讓學(xué)生達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的學(xué)習(xí)效果，即通過(guò)變式訓(xùn)練，學(xué)生可以對(duì)課本知識(shí)進(jìn)行全面而深刻的理解與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；變式訓(xùn)練

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）05-0095-02

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)先讓學(xué)生掌握好基本的概念，對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)基本的正確認(rèn)識(shí)后，再通過(guò)變式訓(xùn)練，改變數(shù)學(xué)概念的某些條件，帶領(lǐng)學(xué)生來(lái)建筑該數(shù)學(xué)概念的等價(jià)變式，并通過(guò)等價(jià)變式的推理與應(yīng)用，反過(guò)來(lái)提升對(duì)于原數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用能力。在這一過(guò)程中，考慮到數(shù)學(xué)概念自身的抽象邏輯性，教學(xué)中，教師應(yīng)保證學(xué)生對(duì)其有著基本認(rèn)識(shí)后，再進(jìn)行挖掘概念的內(nèi)涵。變式訓(xùn)練是通過(guò)把概念放進(jìn)一定關(guān)系與條件下來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與靈活應(yīng)用的目標(biāo)。

一、變式訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力的案例

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的概括能力，決定了其思維邏輯性的基礎(chǔ)。在此前提下，學(xué)生只有擁有了正確的概括能力，才能對(duì)數(shù)學(xué)概念形成正確的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而去挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與拓展數(shù)學(xué)概念的外延。基于此，通過(guò)變式訓(xùn)練提升學(xué)生的思維概括能力，就可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)的積極性。

例1：對(duì)一元一次方程ax=c解的討論。在此案例中，可以通過(guò)解方程來(lái)切入：

解方程：2x=4，則x=2.在此原題中，可以插入變式訓(xùn)練，如：變式①2x=0，x=0；②0x=4，方程無(wú)解；③0x=0，x為任意實(shí)數(shù)。

可以看到，通過(guò)這三種變式的討論，只要改變一元一次方程中a、c的解，則方程解也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化，學(xué)生在對(duì)方程ax=c進(jìn)行討論時(shí)，也就會(huì)對(duì)其概念產(chǎn)生更深入的理解。即：當(dāng)a≠0時(shí)，x=■；當(dāng)a=0，c≠0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a=0，c=0時(shí)，x為任意實(shí)數(shù)。

二、變式訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的案例

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要先理解數(shù)學(xué)定理，才能進(jìn)一步去應(yīng)用與發(fā)揮。所謂數(shù)學(xué)定理，是指由定義、公理和其他已知的正確命題經(jīng)過(guò)邏輯推理證明確認(rèn)其真實(shí)性的命題。數(shù)學(xué)定理包括學(xué)生學(xué)到的各種數(shù)學(xué)定律、數(shù)學(xué)公式與性質(zhì)、數(shù)學(xué)法則等。而在這一過(guò)程中，變式訓(xùn)練可以通過(guò)對(duì)公式定理的各種推導(dǎo)與演練，來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于定理各條件因素的理解。在不同條件的變化中，學(xué)生可以借由自身的觀察、思考與分析能力，對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行類(lèi)比、運(yùn)算與歸納。這樣的過(guò)程強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的思路延展性，強(qiáng)調(diào)了不同變式對(duì)數(shù)學(xué)定理的各種證明，通過(guò)對(duì)定理進(jìn)行條件與結(jié)論的變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生對(duì)定理的使用區(qū)域，定理的應(yīng)用方法有更透徹的理解。最終達(dá)到學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)定理的內(nèi)存關(guān)系把握，促使學(xué)生形成一個(gè)數(shù)學(xué)定理系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)模式。

例2：在學(xué)習(xí)等腰三角形的判定時(shí)，見(jiàn)下圖：

已知：如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，CD垂直于AB，BE垂直于AC，垂足分別為D、E，∠l=∠2.

求證：△ABC是等腰三角形。

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題而言，學(xué)生會(huì)先想到等腰三角形的定義，也就會(huì)想到利用兩個(gè)三角形全等來(lái)證明整個(gè)三角形是等腰三角形。其中只要證明了AB=AC，那么就可以得出△ABC為等腰三角形。這種思維屬于常規(guī)性解題思維。教學(xué)中，為了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行更深入的理解，筆者引導(dǎo)學(xué)生再來(lái)想想還有沒(méi)有其他方法可以來(lái)證明△ABC為等腰三角形。任何出題的條件都是有用的，通過(guò)觀察圖形，學(xué)生集思廣益，想到三角形中一個(gè)等角對(duì)等邊的知識(shí)。于是順利把問(wèn)題從證明AB=AC過(guò)渡到了如何來(lái)證明∠ABC=∠ACB。為了提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考如何才能證明這兩角相等。首先，學(xué)生先想到的是三角形內(nèi)角和為180°，其次想到了等角的余角相等這一定理。在這樣的解題過(guò)程中，一題多解，一式多變，變式訓(xùn)練有效地達(dá)到了提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性，即舉一反三，綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)定理與公式的能力，同時(shí)也提高了學(xué)生的多向思維能力與靈活的思考能力。

三、變式訓(xùn)練對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的案例

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，題海戰(zhàn)術(shù)是常見(jiàn)的教學(xué)手段。立足于以多勝少、記典型題等角度，學(xué)生在大量的解題訓(xùn)練中身心俱疲，容易陷入低效、低質(zhì)的怪圈。而且長(zhǎng)期這樣的題海訓(xùn)練會(huì)讓學(xué)生看見(jiàn)陌生題目，就先想自己有沒(méi)有做過(guò)，長(zhǎng)期以往，也就喪失了獨(dú)立思考與創(chuàng)新思維的能力，只會(huì)找熟悉條件，按書(shū)本與訓(xùn)練中所教的方法來(lái)做題。而變式教學(xué)從變式設(shè)問(wèn)中開(kāi)始思考，通過(guò)對(duì)同一題的條件轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)規(guī)律，找出解題方法，減少學(xué)生遇到新題型就盲目用解過(guò)的方法去套的現(xiàn)象，達(dá)到改變學(xué)生數(shù)學(xué)思維僵化狀態(tài)的目標(biāo)。

例3：已知y與x成反比例，當(dāng)x=3時(shí)，y=2，求x=1.5時(shí)，y的值。

變式①：已知y是x的反比例函數(shù)，則可以得出下表：

（1）請(qǐng)以上表數(shù)據(jù)，寫(xiě)出該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)寫(xiě)出的反函數(shù)表達(dá)式完成上表。

變式②：已知y與-2成反比例，當(dāng)x=4時(shí)，y=3，求當(dāng)x=5時(shí)，y的值。

從以上兩個(gè)變式中可以看出，變式①是通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行條件變換，把原來(lái)的文字描述，變成表格形式。通過(guò)這種方法讓學(xué)生研究數(shù)據(jù)的變化求解反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k值。而變式②則是直接把x-2看成一個(gè)整體，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)整體性解題思維能力。endprint

摘要：變式訓(xùn)練，其意義在于通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師對(duì)于原命題的合理轉(zhuǎn)化，以達(dá)到提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的掌握能力。作為一門(mén)抽象理論與心智技巧高度融合的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于提高學(xué)生的邏輯抽象能力，提高學(xué)生嚴(yán)密的思維能力有著關(guān)鍵性的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)注重對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展，通過(guò)發(fā)散性思維去開(kāi)拓學(xué)生解題思維，通過(guò)變式訓(xùn)練來(lái)提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的應(yīng)變與應(yīng)用能力。對(duì)于變式訓(xùn)練而言，是通過(guò)恰當(dāng)合理的變式讓學(xué)生達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的學(xué)習(xí)效果，即通過(guò)變式訓(xùn)練，學(xué)生可以對(duì)課本知識(shí)進(jìn)行全面而深刻的理解與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；變式訓(xùn)練

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）05-0095-02

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)先讓學(xué)生掌握好基本的概念，對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)基本的正確認(rèn)識(shí)后，再通過(guò)變式訓(xùn)練，改變數(shù)學(xué)概念的某些條件，帶領(lǐng)學(xué)生來(lái)建筑該數(shù)學(xué)概念的等價(jià)變式，并通過(guò)等價(jià)變式的推理與應(yīng)用，反過(guò)來(lái)提升對(duì)于原數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用能力。在這一過(guò)程中，考慮到數(shù)學(xué)概念自身的抽象邏輯性，教學(xué)中，教師應(yīng)保證學(xué)生對(duì)其有著基本認(rèn)識(shí)后，再進(jìn)行挖掘概念的內(nèi)涵。變式訓(xùn)練是通過(guò)把概念放進(jìn)一定關(guān)系與條件下來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與靈活應(yīng)用的目標(biāo)。

一、變式訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力的案例

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的概括能力，決定了其思維邏輯性的基礎(chǔ)。在此前提下，學(xué)生只有擁有了正確的概括能力，才能對(duì)數(shù)學(xué)概念形成正確的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而去挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與拓展數(shù)學(xué)概念的外延?；诖?，通過(guò)變式訓(xùn)練提升學(xué)生的思維概括能力，就可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)的積極性。

例1：對(duì)一元一次方程ax=c解的討論。在此案例中，可以通過(guò)解方程來(lái)切入：

解方程：2x=4，則x=2.在此原題中，可以插入變式訓(xùn)練，如：變式①2x=0，x=0；②0x=4，方程無(wú)解；③0x=0，x為任意實(shí)數(shù)。

可以看到，通過(guò)這三種變式的討論，只要改變一元一次方程中a、c的解，則方程解也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化，學(xué)生在對(duì)方程ax=c進(jìn)行討論時(shí)，也就會(huì)對(duì)其概念產(chǎn)生更深入的理解。即：當(dāng)a≠0時(shí)，x=■；當(dāng)a=0，c≠0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a=0，c=0時(shí)，x為任意實(shí)數(shù)。

二、變式訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的案例

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要先理解數(shù)學(xué)定理，才能進(jìn)一步去應(yīng)用與發(fā)揮。所謂數(shù)學(xué)定理，是指由定義、公理和其他已知的正確命題經(jīng)過(guò)邏輯推理證明確認(rèn)其真實(shí)性的命題。數(shù)學(xué)定理包括學(xué)生學(xué)到的各種數(shù)學(xué)定律、數(shù)學(xué)公式與性質(zhì)、數(shù)學(xué)法則等。而在這一過(guò)程中，變式訓(xùn)練可以通過(guò)對(duì)公式定理的各種推導(dǎo)與演練，來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于定理各條件因素的理解。在不同條件的變化中，學(xué)生可以借由自身的觀察、思考與分析能力，對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行類(lèi)比、運(yùn)算與歸納。這樣的過(guò)程強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的思路延展性，強(qiáng)調(diào)了不同變式對(duì)數(shù)學(xué)定理的各種證明，通過(guò)對(duì)定理進(jìn)行條件與結(jié)論的變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生對(duì)定理的使用區(qū)域，定理的應(yīng)用方法有更透徹的理解。最終達(dá)到學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)定理的內(nèi)存關(guān)系把握，促使學(xué)生形成一個(gè)數(shù)學(xué)定理系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)模式。

例2：在學(xué)習(xí)等腰三角形的判定時(shí)，見(jiàn)下圖：

已知：如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，CD垂直于AB，BE垂直于AC，垂足分別為D、E，∠l=∠2.

求證：△ABC是等腰三角形。

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題而言，學(xué)生會(huì)先想到等腰三角形的定義，也就會(huì)想到利用兩個(gè)三角形全等來(lái)證明整個(gè)三角形是等腰三角形。其中只要證明了AB=AC，那么就可以得出△ABC為等腰三角形。這種思維屬于常規(guī)性解題思維。教學(xué)中，為了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行更深入的理解，筆者引導(dǎo)學(xué)生再來(lái)想想還有沒(méi)有其他方法可以來(lái)證明△ABC為等腰三角形。任何出題的條件都是有用的，通過(guò)觀察圖形，學(xué)生集思廣益，想到三角形中一個(gè)等角對(duì)等邊的知識(shí)。于是順利把問(wèn)題從證明AB=AC過(guò)渡到了如何來(lái)證明∠ABC=∠ACB。為了提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考如何才能證明這兩角相等。首先，學(xué)生先想到的是三角形內(nèi)角和為180°，其次想到了等角的余角相等這一定理。在這樣的解題過(guò)程中，一題多解，一式多變，變式訓(xùn)練有效地達(dá)到了提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性，即舉一反三，綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)定理與公式的能力，同時(shí)也提高了學(xué)生的多向思維能力與靈活的思考能力。

三、變式訓(xùn)練對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的案例

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，題海戰(zhàn)術(shù)是常見(jiàn)的教學(xué)手段。立足于以多勝少、記典型題等角度，學(xué)生在大量的解題訓(xùn)練中身心俱疲，容易陷入低效、低質(zhì)的怪圈。而且長(zhǎng)期這樣的題海訓(xùn)練會(huì)讓學(xué)生看見(jiàn)陌生題目，就先想自己有沒(méi)有做過(guò)，長(zhǎng)期以往，也就喪失了獨(dú)立思考與創(chuàng)新思維的能力，只會(huì)找熟悉條件，按書(shū)本與訓(xùn)練中所教的方法來(lái)做題。而變式教學(xué)從變式設(shè)問(wèn)中開(kāi)始思考，通過(guò)對(duì)同一題的條件轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)規(guī)律，找出解題方法，減少學(xué)生遇到新題型就盲目用解過(guò)的方法去套的現(xiàn)象，達(dá)到改變學(xué)生數(shù)學(xué)思維僵化狀態(tài)的目標(biāo)。

例3：已知y與x成反比例，當(dāng)x=3時(shí)，y=2，求x=1.5時(shí)，y的值。

變式①：已知y是x的反比例函數(shù)，則可以得出下表：

（1）請(qǐng)以上表數(shù)據(jù)，寫(xiě)出該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)寫(xiě)出的反函數(shù)表達(dá)式完成上表。

變式②：已知y與-2成反比例，當(dāng)x=4時(shí)，y=3，求當(dāng)x=5時(shí)，y的值。

從以上兩個(gè)變式中可以看出，變式①是通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行條件變換，把原來(lái)的文字描述，變成表格形式。通過(guò)這種方法讓學(xué)生研究數(shù)據(jù)的變化求解反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k值。而變式②則是直接把x-2看成一個(gè)整體，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)整體性解題思維能力。endprint

摘要：變式訓(xùn)練，其意義在于通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師對(duì)于原命題的合理轉(zhuǎn)化，以達(dá)到提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的掌握能力。作為一門(mén)抽象理論與心智技巧高度融合的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于提高學(xué)生的邏輯抽象能力，提高學(xué)生嚴(yán)密的思維能力有著關(guān)鍵性的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)注重對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展，通過(guò)發(fā)散性思維去開(kāi)拓學(xué)生解題思維，通過(guò)變式訓(xùn)練來(lái)提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的應(yīng)變與應(yīng)用能力。對(duì)于變式訓(xùn)練而言，是通過(guò)恰當(dāng)合理的變式讓學(xué)生達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的學(xué)習(xí)效果，即通過(guò)變式訓(xùn)練，學(xué)生可以對(duì)課本知識(shí)進(jìn)行全面而深刻的理解與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；變式訓(xùn)練

中圖分類(lèi)號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）05-0095-02

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)先讓學(xué)生掌握好基本的概念，對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)基本的正確認(rèn)識(shí)后，再通過(guò)變式訓(xùn)練，改變數(shù)學(xué)概念的某些條件，帶領(lǐng)學(xué)生來(lái)建筑該數(shù)學(xué)概念的等價(jià)變式，并通過(guò)等價(jià)變式的推理與應(yīng)用，反過(guò)來(lái)提升對(duì)于原數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用能力。在這一過(guò)程中，考慮到數(shù)學(xué)概念自身的抽象邏輯性，教學(xué)中，教師應(yīng)保證學(xué)生對(duì)其有著基本認(rèn)識(shí)后，再進(jìn)行挖掘概念的內(nèi)涵。變式訓(xùn)練是通過(guò)把概念放進(jìn)一定關(guān)系與條件下來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與靈活應(yīng)用的目標(biāo)。

一、變式訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力的案例

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的概括能力，決定了其思維邏輯性的基礎(chǔ)。在此前提下，學(xué)生只有擁有了正確的概括能力，才能對(duì)數(shù)學(xué)概念形成正確的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而去挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與拓展數(shù)學(xué)概念的外延?；诖?，通過(guò)變式訓(xùn)練提升學(xué)生的思維概括能力，就可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)的積極性。

例1：對(duì)一元一次方程ax=c解的討論。在此案例中，可以通過(guò)解方程來(lái)切入：

解方程：2x=4，則x=2.在此原題中，可以插入變式訓(xùn)練，如：變式①2x=0，x=0；②0x=4，方程無(wú)解；③0x=0，x為任意實(shí)數(shù)。

可以看到，通過(guò)這三種變式的討論，只要改變一元一次方程中a、c的解，則方程解也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)變化，學(xué)生在對(duì)方程ax=c進(jìn)行討論時(shí)，也就會(huì)對(duì)其概念產(chǎn)生更深入的理解。即：當(dāng)a≠0時(shí)，x=■；當(dāng)a=0，c≠0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a=0，c=0時(shí)，x為任意實(shí)數(shù)。

二、變式訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的案例

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要先理解數(shù)學(xué)定理，才能進(jìn)一步去應(yīng)用與發(fā)揮。所謂數(shù)學(xué)定理，是指由定義、公理和其他已知的正確命題經(jīng)過(guò)邏輯推理證明確認(rèn)其真實(shí)性的命題。數(shù)學(xué)定理包括學(xué)生學(xué)到的各種數(shù)學(xué)定律、數(shù)學(xué)公式與性質(zhì)、數(shù)學(xué)法則等。而在這一過(guò)程中，變式訓(xùn)練可以通過(guò)對(duì)公式定理的各種推導(dǎo)與演練，來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于定理各條件因素的理解。在不同條件的變化中，學(xué)生可以借由自身的觀察、思考與分析能力，對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行類(lèi)比、運(yùn)算與歸納。這樣的過(guò)程強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的思路延展性，強(qiáng)調(diào)了不同變式對(duì)數(shù)學(xué)定理的各種證明，通過(guò)對(duì)定理進(jìn)行條件與結(jié)論的變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生對(duì)定理的使用區(qū)域，定理的應(yīng)用方法有更透徹的理解。最終達(dá)到學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)定理的內(nèi)存關(guān)系把握，促使學(xué)生形成一個(gè)數(shù)學(xué)定理系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)模式。

例2：在學(xué)習(xí)等腰三角形的判定時(shí)，見(jiàn)下圖：

已知：如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，CD垂直于AB，BE垂直于AC，垂足分別為D、E，∠l=∠2.

求證：△ABC是等腰三角形。

對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題而言，學(xué)生會(huì)先想到等腰三角形的定義，也就會(huì)想到利用兩個(gè)三角形全等來(lái)證明整個(gè)三角形是等腰三角形。其中只要證明了AB=AC，那么就可以得出△ABC為等腰三角形。這種思維屬于常規(guī)性解題思維。教學(xué)中，為了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理進(jìn)行更深入的理解，筆者引導(dǎo)學(xué)生再來(lái)想想還有沒(méi)有其他方法可以來(lái)證明△ABC為等腰三角形。任何出題的條件都是有用的，通過(guò)觀察圖形，學(xué)生集思廣益，想到三角形中一個(gè)等角對(duì)等邊的知識(shí)。于是順利把問(wèn)題從證明AB=AC過(guò)渡到了如何來(lái)證明∠ABC=∠ACB。為了提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考如何才能證明這兩角相等。首先，學(xué)生先想到的是三角形內(nèi)角和為180°，其次想到了等角的余角相等這一定理。在這樣的解題過(guò)程中，一題多解，一式多變，變式訓(xùn)練有效地達(dá)到了提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性，即舉一反三，綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)定理與公式的能力，同時(shí)也提高了學(xué)生的多向思維能力與靈活的思考能力。

三、變式訓(xùn)練對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的案例

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，題海戰(zhàn)術(shù)是常見(jiàn)的教學(xué)手段。立足于以多勝少、記典型題等角度，學(xué)生在大量的解題訓(xùn)練中身心俱疲，容易陷入低效、低質(zhì)的怪圈。而且長(zhǎng)期這樣的題海訓(xùn)練會(huì)讓學(xué)生看見(jiàn)陌生題目，就先想自己有沒(méi)有做過(guò)，長(zhǎng)期以往，也就喪失了獨(dú)立思考與創(chuàng)新思維的能力，只會(huì)找熟悉條件，按書(shū)本與訓(xùn)練中所教的方法來(lái)做題。而變式教學(xué)從變式設(shè)問(wèn)中開(kāi)始思考，通過(guò)對(duì)同一題的條件轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)規(guī)律，找出解題方法，減少學(xué)生遇到新題型就盲目用解過(guò)的方法去套的現(xiàn)象，達(dá)到改變學(xué)生數(shù)學(xué)思維僵化狀態(tài)的目標(biāo)。

例3：已知y與x成反比例，當(dāng)x=3時(shí)，y=2，求x=1.5時(shí)，y的值。

變式①：已知y是x的反比例函數(shù)，則可以得出下表：

（1）請(qǐng)以上表數(shù)據(jù)，寫(xiě)出該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)寫(xiě)出的反函數(shù)表達(dá)式完成上表。

變式②：已知y與-2成反比例，當(dāng)x=4時(shí)，y=3，求當(dāng)x=5時(shí)，y的值。

從以上兩個(gè)變式中可以看出，變式①是通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行條件變換，把原來(lái)的文字描述，變成表格形式。通過(guò)這種方法讓學(xué)生研究數(shù)據(jù)的變化求解反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k值。而變式②則是直接把x-2看成一個(gè)整體，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)整體性解題思維能力。endprint