（海洋石油工程股份有限公司， 天津 300452）

模擬與計(jì)算

LINEST函數(shù)在離心泵流量-揚(yáng)程性能曲線擬合中的應(yīng)用

郝敬雷, 姜永明, 馬彥金, 張 龍, 劉福領(lǐng), 萬人杰

（海洋石油工程股份有限公司， 天津 300452）

基于最小二乘法原理，利用EXCEL軟件中的LINEST多元線性回歸函數(shù)，對泵產(chǎn)品樣本上給定的離心泵流量-揚(yáng)程（Q-H）性能數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合。結(jié)果表明：由回歸方程所得到的揚(yáng)程擬合值與實(shí)際泵樣本值的誤差均在±0.5%以內(nèi)，且在利用LINEST函數(shù)對離心泵Q-H性能曲線進(jìn)行擬合時(shí)，操作上簡單、便捷，還能對回歸效果進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

離心泵；性能曲線；最小二乘法；擬合；LINEST函數(shù)

離心泵是輸送油品的的主要?jiǎng)恿υO(shè)備。在離心泵的選型設(shè)計(jì)和優(yōu)化調(diào)度時(shí)，通常需要根據(jù)離心泵的產(chǎn)品樣本中的性能數(shù)據(jù)進(jìn)行離心泵Q-H曲線擬合[1,2]。而目前，較為實(shí)用的離心泵Q-H曲線擬合方法為最小二乘法，但最小二乘法用于擬合離心泵Q-H曲線時(shí)，需要聯(lián)立求解方程組，涉及的計(jì)算工作量較大[3]。為避免聯(lián)立求解方程組時(shí)所涉及的繁重計(jì)算量，本文對具有強(qiáng)大數(shù)據(jù)處理功能的Microsoft Excel軟件中的多元線性回歸函數(shù)LINEST在離心泵Q-H曲線擬合中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

1 離心泵Q-H曲線的數(shù)學(xué)模型

目前，對于輸油管道用的固定轉(zhuǎn)速的離心泵機(jī)組而言，被廣泛使用的離心泵Q-H曲線的數(shù)學(xué)模型為綜合考慮離心泵實(shí)際Q-H曲線的特點(diǎn)及油品流動(dòng)狀態(tài)影響的指數(shù)模型，其數(shù)學(xué)摸型可近似表示為[4]：

式中: Q—離心泵排量，m3/h；

H—離心泵揚(yáng)程，m；

m—列賓宗公式中的流態(tài)指數(shù)；

a、b—模型待定系數(shù)，可以根據(jù)幾組離心泵的產(chǎn)品樣本中的性能數(shù)據(jù)(Qi,Hi)，根據(jù)最小二乘法原理求得。

2 LINEST函數(shù)語法格式及其功能

在Microsoft Excel軟件中，LINEST函數(shù)采用最小二乘法原理，對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行如下函數(shù)的最佳線性擬合：

式中，因變量y是自變量x的函數(shù)值。m值是與每個(gè)x值相對應(yīng)的系數(shù)，c為常量。

LINEST函數(shù)可返回?cái)?shù)組{mn,mn-1,…,m1,c}。根據(jù)用戶需要，LINEST函數(shù)還可返回附加回歸統(tǒng)計(jì)值。其語法格式如下：

LINEST(known_y's,known_x's,const,stats)

式中，數(shù)組known_y's是已知的y值集合，數(shù)組known_x's是已知的x值集合。數(shù)組known_x's可以包含一組或多組變量。二者可用矩陣形式表示如下：

Const為一邏輯值，用于指定是否將常量c強(qiáng)制設(shè)為0。如果const為FALSE，c將被自動(dòng)設(shè)為0；如果const為TRUE或省略，c將按正常計(jì)算。

Stats為一邏輯值，指定是否返回附加回歸統(tǒng)計(jì)值。如果stats為FALSE或省略，LINEST函數(shù)只返回{mn,mn-1,…,m1,c}；如果stats為TRUE，則LINEST函數(shù)在返回?cái)?shù)組{mn,mn-1,…,m1,c}的同時(shí)還將返回附加回歸統(tǒng)計(jì)值，此時(shí)返回的數(shù)據(jù)如下：

其中，Sen，Sen-1，…，Se1，Seb為系數(shù)mn，mn-1，…，,m1，c的標(biāo)準(zhǔn)誤差值，R2為判定系數(shù)（即全相關(guān)系數(shù)R的平方），可用來檢驗(yàn)線性相關(guān)的顯著性，范圍在0到1之間。如果為1，則樣本有很好的相關(guān)性，y的估計(jì)值與實(shí)際值之間沒有差別。如果判定系數(shù)為0，則回歸公式不能用來預(yù)測y值；Sey為y估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差；F為F統(tǒng)計(jì)或F觀察值，使用F統(tǒng)計(jì)可以判斷因變量和自變量之間是否偶爾發(fā)生過可觀察到的關(guān)系；df為自由度，用于在統(tǒng)計(jì)表上查找F臨界值，所查得的值和LINEST函數(shù)返回的F統(tǒng)計(jì)值進(jìn)行對比來判斷模型的置信度；ssreg為回歸平方和；ssresid為殘差平方和。

3 LINEST函數(shù)在離心泵Q-H曲線擬合中的應(yīng)用實(shí)例

3.1 Q-H曲線數(shù)學(xué)模型的線性化

由于LINEST函數(shù)是線性回歸函數(shù)，而數(shù)學(xué)模型（1）式是非線性函數(shù)，在利用LINEST函數(shù)對離心泵Q-H曲線進(jìn)行擬合時(shí)，首先應(yīng)采用變量代換的方法將數(shù)學(xué)模型（1）式進(jìn)行線性化。

數(shù)學(xué)模型（1）式的線性化：

模型線性化后，便可以利用上述LINEST函數(shù)求回歸系數(shù)和回歸統(tǒng)計(jì)值。

3.2 Q-H曲線方程的擬合

表1為從《泵類產(chǎn)品樣本》手冊中查到的D450-60×8型離心泵的Q-H數(shù)據(jù)。

表1 D450-60×8型離心泵的Q-H數(shù)據(jù)Table 1 The Q-H data of D450-60×8 type centrifugal pump

根據(jù)Q-H曲線數(shù)學(xué)模型及表中數(shù)據(jù)，取模型中m=0.25及m=0.123，利用LINEST多元線性回歸函數(shù)，對D450-60×8型離心泵的Q-H曲線進(jìn)行了擬合，擬合結(jié)果見表2和表3。

表2 m=0.25時(shí)回歸系數(shù)及統(tǒng)計(jì)值Table 2 The regression coefficients and the statistical value of m=0.25

表3 m=0.123時(shí)回歸系數(shù)及統(tǒng)計(jì)值Table 3 The regression coefficients and the statistical value of m=0.123

從表2可以看出，當(dāng)m=0.25，即處在水力光滑區(qū)內(nèi)時(shí)，該D450-60×8型離心泵的Q-H性能曲線的擬合方程為：

從表3可以看出，當(dāng)m=0.123，即處在混合摩擦區(qū)內(nèi)時(shí)，該D450-60×8型離心泵的Q-H性能曲線的擬合方程為：

3.3 擬合效果的顯著性檢驗(yàn)及誤差分析

由表2和表3可知，自變量個(gè)數(shù)為1，自由度df=1，通過查相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表和F分布臨界值表，在置信度為95%（α=0.05）時(shí)，可得：相關(guān)系數(shù)的臨界值Rα,df=R0.05,1=0.9969。F分布的臨界值Fα,(1,1)=F0.05(1,1)=161.4。

當(dāng)m=0.25時(shí)，通過表2數(shù)據(jù)可知，判定系數(shù)R2=0.99790，全相關(guān)系數(shù)R=0.998949，統(tǒng)計(jì)值F=475.847，可見R＞R0.05,1且接近于l，F(xiàn)＞F0.05(1,1)，說明所求回歸方程在α=0.05上顯著，回歸方程意義明顯[2,3]。

同理，當(dāng)m=0.123時(shí)，通過上述方法檢驗(yàn)，所求回歸方程在α=0.05上顯著，回歸方程有意義。

為驗(yàn)證擬合出的離心泵Q-H曲線方程的可行性，必須將樣本值與由Q-H曲線方程獲得的回歸值進(jìn)行比較，若相差較小，則認(rèn)為Q-H曲線方程符合要求。為此，對擬合出的Q-H曲線方程進(jìn)行了誤差分析，結(jié)果見表4。

表4 樣本數(shù)據(jù)的擬合誤差表Table 4 Errors of fitting the sample data

通過表4可以看出，當(dāng)m=0.25及m=0.123時(shí)，擬合誤差值均在±0.5%以內(nèi)，說明擬合的Q-H曲線方程對泵樣本工作區(qū)內(nèi)的性能數(shù)據(jù)擬合程度較高。

4 結(jié) 論

（1）通過列賓宗壓降公式的流態(tài)指數(shù)m將離心泵Q-H曲線數(shù)學(xué)模型與其工作的管路流體流動(dòng)狀態(tài)聯(lián)系起來，指數(shù)m反映了粘度對離心泵揚(yáng)程的影響，近而說明離心泵在工作時(shí)與管路流體流動(dòng)狀態(tài)有密切關(guān)系。

（2）通過D450-60×8型離心泵的Q-H曲線擬合結(jié)果可以看出，無論管路流體是處于水力光滑區(qū)還是處于混合摩擦區(qū)，在泵樣本提供的工作區(qū)內(nèi)，由數(shù)學(xué)模型所得到的揚(yáng)程擬合值與實(shí)際泵樣本值的誤差均在±0.5%以內(nèi)，說明由數(shù)學(xué)模型得到的擬合曲線在泵樣本提供的工作區(qū)內(nèi)與實(shí)際泵樣本特性曲線基本重合。

（3）通過LINEST函數(shù)在離心泵Q-H曲線擬合中的應(yīng)用實(shí)例表明，在利用LINEST函數(shù)對離心泵Q-H性能曲線進(jìn)行擬合時(shí)，操作上簡單、便捷，避免了求解聯(lián)立方程組時(shí)所涉及到的大量計(jì)算，而且還能對回歸效果進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。利用此方法，可以大大簡化離心泵選型設(shè)計(jì)和優(yōu)化調(diào)度工作，近而提高工作效率。此方法還適用于流量-效率（Q-η）等性能曲線進(jìn)行多項(xiàng)式最小二乘法的曲線擬合，具有廣泛的應(yīng)用及推廣價(jià)值。

［1］宋生奎,齊永生,胡利明.快速擬合離心泵性能曲線的兩種方法[J].油氣儲(chǔ)運(yùn),2000,19（7）:49-51,57.

［2］方清華.離心泵流量-揚(yáng)程性能曲線的二階多項(xiàng)式回歸數(shù)學(xué)模型處理[J].化工設(shè)備與管道,2005,42（2）:43-45.

［3］石一民.離心泵性能曲線多項(xiàng)式擬合的一種簡單方法[J].上海煤氣,2005,（4）:39-41.

［4］楊筱蘅.輸油管道設(shè)計(jì)與管理[M].山東東營：中國石油大學(xué)出版社，2006：25.

Application of LINEST Function in the Fitting of Centrifugal Pump Flow-Head Performance Curve

HAO Jing-lei，JIANG Yong-ming，MA Yan-jin，ZHANG Long，LIU Fu-ling，WAN Ren-jie
（Offshore Oil Engineering Company Limited, Tianjin 300452，China）

Based on least square method, LINEST multiple linear regression function in Excel software was used into the fitting of centrifugal pump Q-H performance data given by the pump sample. The results show that，the errors between the fitted values obtained from the regression equation and the actual pump sample value are within ±0.5%,and when LINEST function is used into the fitting of centrifugal pump Q-H performance curve, the operation is simple and convenient ,and the method can also be used for significant test of the regression effect.

Centrifugal pump；Performance curve；Least square method；Fitting；LINEST function

TQ 056

： A

： 1671-0460（2014）04-0636-03

2013-07-15

郝敬雷（1978-），江蘇徐州人，工程師，2003年畢業(yè)于西南石油學(xué)院化學(xué)工程與工藝專業(yè)。E-mail：haojl@mail.cooec.com.cn。