陳磊，陳殿仁，劉穎

(長春理工大學 電信學院，吉林 長春130022)

0 引言

近年來，在雷達信號處理領域，線性調(diào)頻(LFM)脈沖信號參數(shù)檢測和估計受到廣泛關注［1］。多種信號處理技術被應用于LFM 脈沖信號的的參數(shù)檢測和估計算法中，包含功率譜估計、Wigner-Ville 分布、Choi-Williams 分布等方法的非線性時頻變換技術，用來產(chǎn)生信號的時頻圖像，進而分析信號瞬時頻率隨時間的變換情況［2］。鄧兵等［3］分析了基于分數(shù)階傅里葉變換的LFM 脈沖時延估計特性。劉鋒等［4］提出了一種基于聯(lián)合Wigner-Ville 分布-隨機Hough 變換改進算法的LFM 信號參數(shù)快速估計方法;陳鵬等［5］研究了一種基于離散分數(shù)階傅立葉變換的水下動目標線性調(diào)頻回波檢測算法;羅潔思等［6］研究了一種基于多尺度LFM 基信號稀疏分解的多分量LFM 信號檢測方法。劉建成等［7］在研究目標徑向速度估計算法時采用了Wigner-Hough變換。

Wigner-Ville 分布可有效地用于單分量的LFM信號參數(shù)估計，但是在多分量信號的場合交叉項會干擾信號中心頻率和調(diào)頻率的估計;平滑偽Wigner-Ville 分布(SPWVD)和時頻分布級數(shù)(TFDS)法可以有效的抑制交叉項的影響，但是會降低估計參數(shù)的頻率分辨率［8］;Wigner-Ville-Hough 變換(WVHT)在針對單分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時會有較好的效果，但是在多分量多周期LFM 脈沖信號的參數(shù)估計時會出現(xiàn)多個峰值，并且在低信噪比環(huán)境中增加觀察時間，WVHT 輸出信號的信噪比不會有所提高，這就會影響信號初始頻率和調(diào)頻率的檢測和估計性能［9］。本文提出一種基于周期Wigner-Ville-Hough變換(PWVHT)的LFM 脈沖信號的參數(shù)估計算法，在進行單分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時此算法和WVHT 具有相同的優(yōu)點，在進行多分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時該算法在時間域內(nèi)對周期和脈寬進行搜索，然后將信號處理結果進行折疊加權，一方面提高了信號真值處的信噪比，另一方面避免了WVHT在進行多分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時會出現(xiàn)的交叉項干擾。通過分析和仿真表明，與WVHT 相比，在進行多脈沖分量和多周期參數(shù)估計時，PWVHT 性能更優(yōu)。

1 LFM 脈沖信號的PWVHT

1.1 LFM 脈沖信號的數(shù)學模型

在LFM 脈沖信號中，第m 個LFM 脈沖信號的數(shù)學表達式為

式中:Am為信號幅值;fm為信號初始頻率;Tz為脈沖重復周期;Tp為脈沖寬度;gm為信號的調(diào)頻率，gm=Bm/Tp;t 為時間變量;re ct為矩形信號，且

對信號進行離散化之后得到的雷達信號序列可表示為

式中:n 為雷達離散信號序列號;M 為LFM 脈沖個數(shù);Δ 為采樣周期，Δ=1/fs，fs為采樣頻率。

本文所討論的LFM 脈沖信號的任一個重復周期內(nèi)參數(shù)Am、fm、gm、Tz、Tp均相同。

1.2 PWVHT

Wigner-Ville 分布(WVD)是二次時頻變換方法中最基本的一種，廣泛應用于雷達信號分析領域［10］，離散信號x(n)的WVD 定義為

式中:Rxx(n，k)為x(n)的自相關函數(shù)，Rxx(n，k)=x［n+k］x*［n -k］;n 為離散信號的序列號，n =0，1，2，…，N-1(N 為離散信號x(n)的長度);k 為時移變量;Δ 為信號的采樣周期。

WVHT 算法通常使用于LFM 信號參數(shù)估計場合中，其作用是在WVD 變換后的時頻圖像中搜索直線，文獻［11］給出了LFM 信號的WVHT 變換為

式中:f 為信號初始頻率;g 為信號的調(diào)頻率。

在WVHT 后的(g，f)二維空間內(nèi)，當g =g1，f =f1(g1，f1為待估計信號的參數(shù)準確值)時，WHx(g，f)會出現(xiàn)峰值［12］。

假設一LFM 脈沖信號參數(shù)為f1=10 MHz，Tp=10 ms，g1=400 MHz/s，采樣周期Δ =10 ns，當信噪比為-10 dB，脈沖個數(shù)M=2 時其WVHT 的Matlab仿真如圖1所示。

當樣本信號中含有2 個脈沖分量時，WVHT 結果中會出現(xiàn)2 個峰值，大小均為1.5×104。當樣本信號中含有M 個分量LFM 脈沖時(M≥2)，WVHT圖中會出現(xiàn)M 個峰值，且峰值的幅值相同，說明WVHT 峰值只由對應的脈沖內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)計算得到。通過此峰值可以檢測出樣本信號的起始頻率f1和調(diào)頻率g1.

圖1 多LFM 脈沖分量信號的WVHTFig.1 WVHT of chirp signal composed of multiple pulses

在噪聲環(huán)境中，假設樣本信號x(n)=s(n)+w(n)，n =0，1，…，K -1，且信噪比為SNRi，其中w(n)是均值為0、方差為σ2v的高斯噪聲。則樣本信號x(n)經(jīng)過WVHT 后輸出信號Wx(g，f)在峰值(f1，g1)處的信噪比［12］可以表示為

式中:var(WHs+w［f1，g1］)為WHs+w［f1，g1］的方差;WHs［f1，g1］為無噪聲干擾的單LFM 脈沖分量信號的 WVHT 在準確估計值(f1，g1)處的值;WHs+w［f1，g1］為噪聲干擾下的樣本信號WVHT 在準確估計值(f1，g1)處的值;K 為樣本信號長度。

由于WVHT 中的任何一個峰值由對應脈沖的樣本數(shù)據(jù)計算得到，則(6)式中K≤Tz/Δ，即WVHT后的輸出信噪比不會大于((Tz/Δ)2/2)SNR2i/((Tz/Δ)SNRi+1).因此，WVHT 并非最優(yōu)的多分量LFM脈沖參數(shù)估計方法，因為WVHT 并沒有有效地利用所有樣本數(shù)據(jù)信息。當樣本觀察時間大于一個脈沖周期時，WVHT 輸出信噪比并不會因為觀察時間的增加而變大;當樣本信號信噪比非常小時，圖1中的峰值有可能被淹沒在噪聲中，則無法進行信號的檢測和參數(shù)估計。由于每個峰值信號的參數(shù)都是相同的，如果將這些數(shù)據(jù)進行折疊相加，可以進一步對噪聲進行壓縮，提高峰值點的幅值，即提高輸出信噪比。

基于這種思想，針對觀察信號x(n)，n =0，1，2，…，N-1，令其PWVHT 為

式中:Ω 為待估參數(shù)，Ω =(f，g);F［n，k］為匹配函數(shù)，且

多分量(M ＞1)LFM 脈沖信號的PWVHT 為

式中:n=0，1，…，N-1(N=M×Tz/Δ);信號中的矩形窗只影響上式中的求和區(qū)間。假設在Ω0=(f0，g0，Tp0，Tz0)處Pss［n，k］取最大值，則

采用1.2 節(jié)中相同參數(shù)的樣本信號進行PWVHT 仿真，結果如圖2所示。

圖2 多LFM 脈沖分量信號的PWVHTFig.2 PWVHT of chirp signals composed of multiple pulses

通過PWVHT 運算，圖中只出現(xiàn)一個峰值點，幅值為2.9×104，為圖1中單個峰值幅度的2 倍。參考(11)式和(6)式，K =N/2，這個仿真結果是正確的。

1.3 參數(shù)計算

根據(jù)(9)式和圖2可知，多分量LFM 脈沖信號的PWVHT 出現(xiàn)一個峰值點，該峰值點的橫坐標為LFM 真實頻率f0的估計值，縱坐標為調(diào)頻率的估計值g0.

因此，PWVHT 多分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計算法實現(xiàn)流程如下:

1)對回波信號進行如(10)式PWVHT;

2)搜索變換結果，并獲得峰值點處的橫坐標和縱坐標;

3)橫坐標為LFM 起始頻率f0的估計值，縱坐標為調(diào)頻率g0的估計值。

2 PWVHT 性能分析

2.1 輸出信噪比分析

在噪聲環(huán)境中，假設樣本信號x(n)=s(n)+v(n)的信噪比為SNRi，其中n =0，1，2，…，N -1，v(n)是均值為0、方差為σ2v 的高斯噪聲，則樣本信號x(n)經(jīng)過PWVHT 后輸出信號Px(Ω)的信噪比可以表示為

式中:var(Px(Ω))為Px(Ω)的方差，可表示為

其中:

式中:A 為樣本信號中LFM 脈沖信號分量的幅度。噪聲信號v(n)的自相關函數(shù)

所以

式中:N=MTz/Δ.

由(16)式和N 的取值可以看出，當樣本觀察時間小于等于一個脈沖周期時，WVHT 和PWVHT 具有相同的輸出信噪比。當樣本觀測時間大于一個脈沖周期時，WVHT 的輸出信噪比不會再增大，而PWVHT 輸出信噪比隨著觀測時間的增加繼續(xù)增加。如圖3所示，對f1=10 MHz，Tz=10 ms，g1=400 MHz/s，采樣周期Δ=10 ns，信號信噪比為-20 dB，觀察時間為30 ms 樣本信號的WVHT 與PWVHT 輸出信噪比進行了仿真。樣本信號WVHT 后的輸出信噪比在觀察時間達到10 ms 時不再增加，而經(jīng)過PWVHT 輸出的信噪比仍然隨著觀察時間增加繼續(xù)變大。

圖3 WVHT 與PWVHT 輸出信噪比與觀察時間的關系Fig.3 The relationship between observation time and output SNR of WVHT and PWVHT

2.2 參數(shù)估計精度分析

假設在白噪聲v(n)干擾情況下樣本信號x(n)= s(n)+ v(n)的PWVHT 中的干擾項為δP(Ω)，則

由(17)式可以看出，隨著δPs(Ω)的引入，PWVHT 后的峰值點移動到點(f0-δf，g0+δg)處，則Px(Ω)對f 和g 的一階偏導數(shù)在(f0-δf，g0+δg)的取值為0，則

將Ps(Ω)+ δPs(Ω)用泰勒公式將展開，則(18)式和(19)式可寫成

u，v 與噪聲v(n)有關，則

且有

根據(jù)(30)式和(31)式，有

將(22)式～(26)式和(29)式分別帶入(32)式和(33)式，可以得到

根據(jù)(34)式和(35)式，可以得到參數(shù)估計均方誤差函數(shù)與輸入信號信噪比和觀察時間之間的關系，圖4為N=16 時估計均方誤差與輸入信噪比的關系，圖5為估計均方誤差與樣本觀察時間的關系。

圖4 N=16 時估計均方誤差與樣本信號SNR 的關系Fig.4 The relationship between signal SNR and estimation mean squared error for N=16

由圖4和圖5可知，當數(shù)據(jù)長度N 一定時，參數(shù)估計誤差隨著樣本數(shù)據(jù)的SNR 增大而減小，當SNR為定值時，參數(shù)估計誤差隨著觀測時間的增長而變小。

2.3 算法仿真分析

針對f1=10 MHz，Tz=30 ms，Tp=10 ms，g1=400 MHz/s，采樣周期Δ =10 ns，SNR 分別為-5 dB和-10 dB，觀測時間為140 ms 的信號經(jīng)行500 次PWVHT，取其均值和方差，結果如圖6(a)～圖6(d)所示。

圖5 SNR= -10 dB 時估計均方誤差與樣本長度的關系Fig.5 The relationship between sample length and estimation mean square error for SNR= -10 dB

由圖6可知，當觀察時間很小時，f 和g 的估計參數(shù)會出現(xiàn)偏差，這說明當時間搜索域沒有達到最優(yōu)時，估計結果會出現(xiàn)誤差，也就是說，可以通過增加觀察時間來提高參數(shù)的估計準確性，同時說明PWVHT 和最大似然估計一樣，屬于漸進有效估計算法。

3 結論

本文在分析了各種不同的LFM 脈沖信號參數(shù)估計算法優(yōu)缺點的前提下，研究了一種基于PWVHT 的LFM 脈沖信號參數(shù)估計算法，得到了以下結論:

2)在高斯噪聲環(huán)境中，采用PWVHT 進行多分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時，信號起始頻率和調(diào)頻率的估計均方誤差分別為和是樣本信號信噪比SNR 和樣本長度N 的函數(shù)。

3)當樣本長度N 很小時，起始頻率f 和調(diào)頻率g 的估計值會出現(xiàn)偏差，這說明當時間搜索域沒有達到最優(yōu)時，估計結果會出現(xiàn)誤差，也就是說，可以通過增加觀察時間來提高參數(shù)的估計準確性，同時說明PWVHT 和最大似然估計一樣，屬于漸進有效估計算法。

圖6 參數(shù)估計結果與信號觀察時間的關系Fig.6 The relationship between estimation results and signal observation time

4)在進行多分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時，PWVHT 不但提高了信號真值處的信噪比，還在不影響估計參數(shù)的頻率分辨率的前提下，解決了WVHT 在進行多分量LFM 脈沖信號參數(shù)估計時會出現(xiàn)的交叉項干擾問題。

References)

［1］ 溫景陽，張煥宇，王越.線性調(diào)頻脈沖壓縮雷達參數(shù)估計方法［J］.北京理工大學學報，2012，32(7):746 -750.WEN Jing-yang，ZHANG Huan-yu，WANG Yue.Parameters estimation algorithm of LFM pulse compression radar signal［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2012，32(7):746 -750.(in Chinese)

［2］ Geroleo F G，Brandt-Pearce M.Detection and estimation of multipulse LFMCW radar signals［C］∥Radar Conference.Washington，DC:IEEE，2010:1009 -1013.

［3］ 鄧兵，王旭，陶然.基于分數(shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻脈沖時延估計特性分析［J］.兵工學報，2012，33(6):764 -768.DENG Bing，WANG Xu，TAO Ran.Performance analysis of time delay estimation for linear frequency-modulated pulse based on fractional Fourier transform［J］.Acta Armamentarii，2012，33(6):764 -768.(in Chinese)

［4］ 劉鋒，孫大鵬，黃宇.基于聯(lián)合Wigner-Ville 分布隨機Hough 變換改進算法的線性調(diào)頻信號參數(shù)快速估計［J］.兵工學報，2009，30(12):1642 -1646.LIU Feng，SUN Da-peng，HUANG Yu.Fast parameter-estimation of LFM signal based on improved combined WVD and randomized Hough transform［J］.Acta Armamentarii，2009，30(12):1642 -1646.(in Chinese)

［5］ 陳鵬，侯朝煥，梁亦慧.基于離散分數(shù)階傅立葉變換的水下動目標線性調(diào)頻回波檢測算法的研究［J］.兵工學報，2007，28(7):834 -838.CHEN Peng，HOU Chao-huan，LIANG Yi-hui.Research on discrete fractional Fourier transform-based detection algorithm for LFM echo of underwater moving target［J］.Acta Armamentarii，2007，28(7):834 -838.(in Chinese)

［6］ 羅潔思，于德介，彭富強.基于多尺度線性調(diào)頻基信號稀疏分解的多分量LFM 信號檢測［J］.電子與信息學報，2009，31(11):2781 -2785.LUO Jie-si，YU De-jie，Peng Fu-qiang.Multi-component LFM signals detection based on multi-scale chirplet sparse signal decomposition［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2009，31(11):2781 -2785.(in Chinese)

［7］ 劉建成，王雪松，肖順平，等.基于Wigner-Hough 變換的徑向加速度估計［J］.電子學報，2005，33(12):2235 -2238.LIU Jian-cheng，WANG Xue-song，XIAO Shun-ping，et al.Radial acceleration estimation based on Wigner-Hough transform［J］.Acta Electronica Sinica，2005，33(12):2235 -2238.(in Chinese)

［8］ 李亞超，王虹現(xiàn)，邢孟道，等.STTFD 的特性分析及其在線性調(diào)頻信號參數(shù)估計中的應用［J］.電子學報，2009，37(9):2102 -2108.LI Ya-chao，WANG Hong-xian ，XING Meng-dao，et al.The analysis of the characteristic and the method of the parameters estimation of LFM signal based on STTFD［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37(9):2102 -2108.(in Chinese)

［9］ Millioz F，Davies M E.Detection and segmentation of FMCW radar signals based on the chirplet transform［C］∥2011 IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing.Prague，CS:IEEE，2011:1765 -1768.

［10］ 王宏禹，邱天爽，陳喆.非平穩(wěn)隨機信號分析與處理［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2008:311 -313.WANG Hong-yu，QIU Tian-shuang，CHEN Zhe.Nonstationary random signal analysis and processing［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2008:311 -313.(in Chinese)

［11］ Geroleo F G，Brandt-Pearce M.Detection and estimation of LFMCW radar signals［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2012，48(1):405 -418.

［12］ Barbarossa S.Analysis of multicomponent LFM signals by a combined Wigner-Hough transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1995，43 (16):1511 -1515.