董華超，宋保維，王鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安710072)

0 引言

傳統(tǒng)的水下航行器(AUV)殼體設(shè)計(jì)往往利用經(jīng)驗(yàn)公式［1］，估算出殼板，肋骨等多處的應(yīng)力，得到殼體最大強(qiáng)度和穩(wěn)定性，過程繁復(fù)、精度不高。隨著未來AUV 工作環(huán)境向大深度的發(fā)展，設(shè)計(jì)要求變得愈加復(fù)雜，僅憑經(jīng)驗(yàn)估算，已不能滿足設(shè)計(jì)者的要求。隨著有限元分析軟件(ANSYS)的日趨成熟，有限元仿真技術(shù)在AUV 殼體設(shè)計(jì)中得到了發(fā)展［2］，通過該技術(shù)能準(zhǔn)確求得殼體中最大處應(yīng)力，殼體失穩(wěn)臨界壓力等重要參數(shù)，對(duì)于大深度AUV 殼體設(shè)計(jì)具有重要意義。但是有限元仿真使得計(jì)算精度提高的同時(shí)也相應(yīng)降低了計(jì)算效率。隨著設(shè)計(jì)變量以及設(shè)計(jì)目標(biāo)的增多，利用有限元分析解決AUV 殼體多目標(biāo)優(yōu)化問題計(jì)算量十分龐大。結(jié)合有限元分析尋求一種合適的近似策略，在提高計(jì)算精度的同時(shí)計(jì)算效率令人滿意成為了當(dāng)務(wù)之急。李亦文等提出利用有限元分析采樣，最小二乘法構(gòu)造響應(yīng)面來解決車輛低速碰撞吸能結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)［3］;甘文彪等提出利用計(jì)算流體力學(xué)(CFD)技術(shù)獲得實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，構(gòu)造自適應(yīng)響應(yīng)面［4］對(duì)高超聲速飛行器尾噴管進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。他們結(jié)合了高精度有限元計(jì)算以及代理模型的構(gòu)造，但是在自適應(yīng)過程中針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題并沒有進(jìn)行深入研究。

本文針對(duì)以上情況提出一種基于自適應(yīng)響應(yīng)面法的大深度AUV 殼體結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化方法，利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(DOE)得到初始采樣點(diǎn)，有限元分析計(jì)算響應(yīng)值，構(gòu)建代理模型，通過提出的一種空間采樣方法，在Pareto 解中重獲采樣點(diǎn)補(bǔ)充響應(yīng)面，使其全局近似精度滿足設(shè)計(jì)要求，并利用灰色關(guān)聯(lián)處理Pareto 解，得到各目標(biāo)值得“好壞程度”，模擬實(shí)際專家對(duì)各目標(biāo)賦權(quán)，得到滿意設(shè)計(jì)。給出一套完整的AUV 殼體結(jié)構(gòu)多目標(biāo)自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，并與傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)公式得到結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，具有實(shí)際工程意義。

1 多目標(biāo)自適應(yīng)響應(yīng)面法

本文介紹的多目標(biāo)自適應(yīng)響應(yīng)面法，是針對(duì)傳統(tǒng)的自適應(yīng)響應(yīng)面法解決多目標(biāo)問題時(shí)提出的，該方法在每次迭代得到的Pareto 解中利用一種空間采點(diǎn)方法均勻取樣，能在使結(jié)果滿足精度的同時(shí)減少仿真次數(shù)。

1.1 自適應(yīng)響應(yīng)面法

自適應(yīng)響應(yīng)面法［5-6］的基本思想是先通過較少的樣本點(diǎn)構(gòu)造近似精度不高的一階響應(yīng)面，確定尋優(yōu)方向后，在最優(yōu)值附近區(qū)域內(nèi)重新取樣，并將新的樣本點(diǎn)引入設(shè)計(jì)空間，這樣便可以逐步構(gòu)造更高階次的樣本點(diǎn)，在后續(xù)的迭代中優(yōu)化高精度響應(yīng)面重新獲得新的設(shè)計(jì)點(diǎn)，循環(huán)往復(fù)直到滿足精度要求后停止。

傳統(tǒng)的單目標(biāo)自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化［7］往往是在每一次迭代得到的最優(yōu)解附近重新采點(diǎn)。而多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果往往不能得到單一的最優(yōu)解，而是一個(gè)Pareto 解集。因此本文考慮在Pareto 解集中合理均勻取點(diǎn)，來完善響應(yīng)面。

考慮響應(yīng)面的回歸系數(shù)表達(dá)式為

式中:φ=［1，x1， xN，x21，x1x2， x1xN， x2N］.

現(xiàn)依據(jù)DOE 得到S 個(gè)初始設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)造得到二階模型回歸系數(shù)為as，已知矩陣為φs，新增一Pareto解XPareto向量，其響應(yīng)值為yPareto，矩陣變?yōu)?/p>

式中:φPareto=［φ1(XPareto)，φ2(XPareto)， φNB(XPareto)］，且NB 為基項(xiàng)φi(XPareto)的個(gè)數(shù)，這里等于1.

新的回歸系數(shù)向量as+1的遞推公式為

記Cs=(φTsφs)-1，(3)式中Ks+1和Cs+1可由以下遞推公式計(jì)算:

通過每次從響應(yīng)面優(yōu)化得到的Pareto 解中均勻取點(diǎn)后，按上式求得新的回歸系數(shù)。

對(duì)每次得到的響應(yīng)面進(jìn)行誤差分析判斷全局近似精度，定義如下:

經(jīng)過反復(fù)迭代后直到局部精度滿足(7)式停止。

(6)式、(7)式中:yi為實(shí)測(cè)值;為響應(yīng)面估計(jì)值;y為實(shí)測(cè)值的平均值;S 為測(cè)試樣本集的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 空間采點(diǎn)法

自適應(yīng)循環(huán)迭代過程每一步都會(huì)產(chǎn)生大量的Pareto 解，對(duì)整個(gè)Pareto 解集進(jìn)行高精度有限元仿真，需要消耗大量時(shí)間，難以實(shí)現(xiàn)。文中基于分層采樣法的思想［8］提出一種空間采點(diǎn)法可以盡可能均勻地在Pareto 解集中采點(diǎn)，在滿足近似精度的同時(shí)，減少仿真次數(shù)。

假設(shè)有兩個(gè)目標(biāo)，優(yōu)化得到的Pareto 最優(yōu)前沿近似分布在一條曲線上。算法步驟如下:

1)首先利用(8)式尋找原點(diǎn)到最優(yōu)前沿上最近的一點(diǎn)。

根據(jù)(8)式得到(fcenter1，fcenter2)作為中心點(diǎn)。以該點(diǎn)為圓心，R 為半徑作圓。

2)計(jì)算Pareto 解集中與該圓輪廓線距離小于Δd 的點(diǎn)集。

式中:D=‖(f1，f2)-(fcenter1，fcenter2)‖表示點(diǎn)到圓心的距離。

3)通過第二步求得n 個(gè)滿足條件的點(diǎn)。

F={(f(1)1，f(1)2)，(f(2)1，f(2)2)…(f(n)1，f(n)2)}.

計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到剩下n-1 個(gè)點(diǎn)的距離:

式中:d(i)(j)表示第i 個(gè)點(diǎn)到第j 個(gè)點(diǎn)的距離。通過d矩陣可以判斷出圓周上各點(diǎn)在周向的疏密關(guān)系。統(tǒng)計(jì)每個(gè)點(diǎn)的n -1 個(gè)相對(duì)距離中小于Δd 的個(gè)數(shù)作為Nd.

4)如果某點(diǎn)處的Nd大于0，說明有Nd+1 個(gè)點(diǎn)聚集在一起，取其中任意一個(gè)作為代表點(diǎn)，其他舍去;如果Nd等于0 直接選取。

5)半徑增加R，重復(fù)1 ～4 步的操作，直到Pareto前沿范圍內(nèi)的點(diǎn)全部包含進(jìn)圓內(nèi)為止。

6)下一次迭代采點(diǎn)，適當(dāng)改變R 的大小重復(fù)1 ～5 步的操作。

隨著目標(biāo)的增多，相應(yīng)增加(8)式～(10)式的維數(shù)即可。

2 基于多標(biāo)度賦權(quán)求偏好解

對(duì)Pareto 解進(jìn)行加權(quán)求和時(shí)，不同目標(biāo)量綱不同，數(shù)量級(jí)也不一樣。往往希望先得到每個(gè)目標(biāo)Pareto 解的“好壞”程度。因此本文在賦權(quán)之前對(duì)每個(gè)目標(biāo)的Pareto 解進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)分析，具體計(jì)算過程參見文獻(xiàn)［9］。

傳統(tǒng)AUV 殼體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，對(duì)于多個(gè)目標(biāo)“孰優(yōu)孰劣”問題，往往需要請(qǐng)教在這個(gè)領(lǐng)域有豐富工程經(jīng)驗(yàn)的專家。而專家在給出偏好信息時(shí)，通常只能采用例如“目標(biāo)A 比目標(biāo)B 重要”等這樣的語言形式來表達(dá)目標(biāo)之間的相對(duì)重要性。因此本文結(jié)合AUV 殼體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)實(shí)際專家賦權(quán)情況，采用一種多級(jí)標(biāo)度賦值法把目標(biāo)間的相對(duì)偏好量化為各目標(biāo)的重要性因子［10］。如表1所示。

表1 多級(jí)標(biāo)度賦值表Tab.1 Multilevel-scale evaluation

通過賦值矩陣C 計(jì)算目標(biāo)fi的重要性因子wi.

式中:SLi=為目標(biāo)fi對(duì)其余所有目標(biāo)的標(biāo)度優(yōu)序數(shù)。

3 多目標(biāo)優(yōu)化流程

基于本文提出的自適應(yīng)響應(yīng)面方法AUV 殼體結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1中，DOE 采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，響應(yīng)面從一階開始逐漸提高精度。全局精度通過(6)式判斷，局部精度通過(7)式判斷。

4 AUV 殼體結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

4.1 殼體結(jié)構(gòu)自動(dòng)化參數(shù)建模

圖2所示為AUV 一小段殼體的縱向剖切簡(jiǎn)圖。以殼體厚度t，肋骨間距l(xiāng)，肋骨寬度t2，肋骨長(zhǎng)度l2作為設(shè)計(jì)變量，半徑R =0.324 m，長(zhǎng)L =1.5 m.在UG 中進(jìn)行幾何自動(dòng)化參數(shù)建模，產(chǎn)生x_t 文件。通過ANSYS 的命令流錄制文件，自動(dòng)分析計(jì)算。

屈服極限σs=343 MPa，彈性模量E =71 GPa，泊松比μ =0.33，密度ρ =2 700 kg/m3.載荷條件為:

1)外壓:本文所設(shè)計(jì)的耐壓殼體工作在500 m水深，殼體外壓載荷pj=5.5 MPa;

圖1 優(yōu)化流程示意圖Fig.1 Flow chart of multi-objective optimization

圖2 AUV 矩形殼體肋骨結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 AUV shell structure with rectangular ribs

2)約束:一端全固定約束，另一端只允許軸向移動(dòng);

3)軸向載荷:只允許軸向移動(dòng)端加軸向載荷，其值由最大橫截面積和殼體端面面積的比乘以外壓載荷得到。

4.2 殼體結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型建立

以t、l、t2、l2為設(shè)計(jì)變量;殼體最大應(yīng)力σmax最小，殼體失穩(wěn)臨界壓力pc最大，殼體質(zhì)量m 最小為優(yōu)化目標(biāo);殼體最大應(yīng)力小于0.85 倍的屈服極限，且殼體失穩(wěn)臨界壓力大于1.2 倍外載荷為約束［1］。給出優(yōu)化模型為

式中:n(l)為肋骨根數(shù)。

5 優(yōu)化求解

用經(jīng)驗(yàn)公式優(yōu)化得到最優(yōu)解作為初始點(diǎn)，并在該點(diǎn)附近進(jìn)行正交DOE，根據(jù)第3 節(jié)的多目標(biāo)優(yōu)化流程，自動(dòng)計(jì)算。計(jì)算前先對(duì)3 個(gè)目標(biāo)Pareto 解進(jìn)行統(tǒng)一無量綱處理(其中σmax先求倒數(shù)，使得3 個(gè)目標(biāo)統(tǒng)一最小最好)，Δd 設(shè)置為0.01。且采點(diǎn)半徑R分別選取0.04，0.06，0.08，0.1.隨迭代，從0.04 到0.1 循環(huán)采集，這樣保證盡可能均勻地采集到Pareto解，以半徑為0.1 時(shí)的空間采點(diǎn)示意圖如圖3所示。根據(jù)精度要求設(shè)置R2小于0.999，δ 小于0.01.采用經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA2，種群大小設(shè)置50，種群代數(shù)設(shè)置100.經(jīng)過8 次迭代，107 次仿真計(jì)算得到3 個(gè)目標(biāo)的響應(yīng)面如下:

求出m、σmax關(guān)于Pareto 解中最小值的灰色關(guān)聯(lián)度，pc關(guān)于Pareto 解中最大值的灰色關(guān)聯(lián)度，如圖4所示。

AUV 殼體設(shè)計(jì)專家給出目標(biāo)間的相對(duì)重要程度為:m 比σmax重要的多;m 比pc重要;pc比σmax稍微重要一點(diǎn)。根據(jù)表1得到賦權(quán)矩陣為

圖3 空間采點(diǎn)示意圖Fig.3 Schematic diagram of spatial sampling points

圖4 Pareto 解經(jīng)灰色關(guān)聯(lián)后示意圖Fig.4 Prareto results after grey relational analysis

得到w1為11/54，w2為15/54，w3為28/54.定義總體性能指標(biāo)F 如下:

式中:G(·)表示灰色關(guān)聯(lián)度。最終根據(jù)總體性能指標(biāo)找到滿意解。仿真結(jié)果如圖5所示。

殼體質(zhì)量m 的減小勢(shì)必導(dǎo)致殼體處最大應(yīng)力σmax變大和殼體失穩(wěn)臨界壓力pc減小。根據(jù)表2數(shù)據(jù)可知本文設(shè)計(jì)得到的優(yōu)化結(jié)果:殼體最大應(yīng)力σmax在滿足約束的情況下增加41.58%，殼體失穩(wěn)臨界壓力pc在滿足約束的情況下減小25%，殼體質(zhì)量m 減小20.5%，總體性能提高14.67%.綜上可知，該方法在滿足近似精度的同時(shí)，結(jié)果可行有效，具有實(shí)際的工程意義。

圖5 優(yōu)化仿真結(jié)果圖Fig.5 Diagram of simulation of optimal solution

表2 經(jīng)驗(yàn)公式結(jié)果與優(yōu)化后設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of original and optimized resualts

6 結(jié)論

針對(duì)大深度AUV 殼體結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化問題，以有限元仿真技術(shù)為基礎(chǔ)，利用多項(xiàng)式近似方法構(gòu)造代理模型，通過提出的空間采點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)響應(yīng)面的更新。本文與傳統(tǒng)利用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算殼體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了對(duì)比，優(yōu)化使得最終殼體結(jié)構(gòu)多目標(biāo)問題的總體性能提高了14.67%.本文對(duì)殼體結(jié)構(gòu)有限元仿真自動(dòng)優(yōu)化技術(shù)提出了一個(gè)完整設(shè)計(jì)框架，為水下航行器殼體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域提出一種新的設(shè)計(jì)思路，具有工程參考意義。

對(duì)于未來計(jì)算新型的復(fù)雜殼體結(jié)構(gòu)，本文還需要從優(yōu)化算法，近似方法兩方面改進(jìn)，來滿足模型高度非線性的特點(diǎn)。

References)

［1］ 宋保維，李楠.iSIGHT 在多目標(biāo)優(yōu)化問題中的研究［J］.火力與指揮控制，2008，33(6):133 -136.SONG Bao-wei，LI Nan.Application research of iSIGHT in solving multi-objective design optimization problems［J］.Fire Control and Command Control，2008，33(6):133 -136.(in Chinese)

［2］ 何惠江，李楠.基于APDL 的魚雷殼體結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模［J］.魚雷技術(shù)，2010，18(4):246 -248.HE Hui-jiang，LI Nan.Parametric modeling of torpedo shell structure based on APDL［J］.Torpedo Technology，2010，18(4):246 -248.(in Chinese)

［3］ 李亦文，徐濤，徐天爽，等.車身低速碰撞吸能結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30(10):1175 -1179.LI Yi-wen，XU Tao，XU Tian-shuang，et al.Optimal design of energy-absorbing structure of autobody under low-speed crash［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2010，30(10):1175 -1179.(in Chinese)

［4］ 甘文彪，閻超.高超聲速飛行器后體/尾噴管優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，37(11):1440 -1445.GAN Wen-biao，YAN Chao.Afterbody/nozzle optimal design of hypersonic vehicle［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011，37(11):1440 -1445.(in Chinese)

［5］ Shan S，Wang G G.Survey of modeling and optimization strategies for high-dimensional design problems［C］∥12th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference.British Columbia:AIAA，2008:5842.

［6］ Wang D，Naterer G F，Wang G.Adaptive response surface method for thermal optimization:application to aircraft engine cooling system［C］∥8th AIAA/ASME Joint Thermophysics and Heat Transfer Conference.St Louis:AIAA，2002:1 -10.

［7］ 蘭鳳崇，鐘陽，莊良飄，等.基于自適應(yīng)響應(yīng)面法的車身前部吸能部件優(yōu)化［J］.汽車工程，2010，32(5):404 -408.LAN Feng-chong，ZHONG Yang，ZHUANG Liang-piao，et al.Optimization of energy-absorbing members in front-end of car body based on adaptive response surface method［J］.Automative Engineering，2010，32(5):404 -408.(in Chinese)

［8］ Saltelli A，Ratto M.Global sensitivity analysis:the primer［M］.England:John Wiley ＆ Sons Ltd，2008:53 -99.

［9］ 胡成亮，劉全坤，王強(qiáng)，等.基于灰色關(guān)聯(lián)和模糊邏輯的齒輪鍛模多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2007，18(14):1739 -1742.HU Cheng-liang，LIU Quan-kun，WANG Qiang，et al.Multi-objective optimal design of the gear forging die based on grey relational andfuzzy logic［J］.China Mechanical Engineering，2007，18(14):1739 -1742.(in Chinese)

［10］ Cvetkovic D，Parmee I C.Preferences and their application in evolutionary multiobjective optimization［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(1):42 -45.