劉孝琪，康懷祺，曾超

電子科技大學(xué)電子科學(xué)技術(shù)研究院，成都611731

1 引言

近年來，隨著控制理論的發(fā)展，越來越多的研究者開始轉(zhuǎn)向多智能體系統(tǒng)一致性理論的研究，目前在無人機(jī)編隊(duì)、蜂擁控制、分布式控制中都有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，利用傳統(tǒng)的控制方法來分析和控制是十分困難的，在這種背景下多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的發(fā)展是必然的。

在多智能體系統(tǒng)的一致性問題研究中，關(guān)鍵問題在于設(shè)計(jì)一致性控制律使得各智能體的狀態(tài)達(dá)到相同。隨著控制理論的發(fā)展，多智能體一致性的研究取得了一系列的成果。Vicsek等人[1]利用局部信息提出了一個(gè)自驅(qū)動(dòng)模型描述平面粒子的運(yùn)動(dòng)；Jadbabaie等人[2]對(duì)Vicsek模型進(jìn)行了線性化，分析了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化情況下的一致性問題；Ren等人[3]將Jadbabaie等人所得結(jié)果推廣到了有向圖；與Ren等人工作并行，M oreau[4]研究了有向圖非線性多智能體系統(tǒng)一致問題；Hong等人[5]研究了二階多智能體系統(tǒng)，基于局部信息提出了一個(gè)二階協(xié)議，將Jadbabaie等人的結(jié)果推廣到二階多智能體系統(tǒng)；文獻(xiàn)[6-9]研究了多智能體系統(tǒng)基于有向信息交換的分組一致問題。

目前，多智能體系統(tǒng)的平均一致性研究的比較早，成果也比較多，文獻(xiàn)[10]在考慮通信時(shí)滯和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)影響的基礎(chǔ)上，研究了平均一致性問題。但是，目前的研究針對(duì)多智能體初始狀態(tài)的一致性問題的還比較少。而現(xiàn)實(shí)中，多智能體系統(tǒng)能否收斂到初始狀態(tài)非常重要，不管是系統(tǒng)中每個(gè)智能體的初始狀態(tài)校準(zhǔn)還是智能體狀態(tài)需要同步達(dá)到初始狀態(tài)，這些都需要一種新的系統(tǒng)控制方法。最后，針對(duì)無人機(jī)編隊(duì)中需要初始狀態(tài)一致這一場(chǎng)合，分析了本文研究成果的有效性。

2 預(yù)備知識(shí)及問題描述

2.1 預(yù)備知識(shí)

2.1.1 代數(shù)圖論知識(shí)

令G=(v，ξ，A)為一個(gè)n階(n≥2)賦權(quán)有向圖，其中v={v1，v2，…，vn}為非空節(jié)點(diǎn)集合，ξ?v×v為邊的集合，權(quán)值鄰接矩陣A=[aij]的鄰接元素aij為非負(fù)值。節(jié)點(diǎn)指標(biāo)屬于一個(gè)有限指標(biāo)集Γ={1，2，…，n}。G的邊用eij=(vi，vj)表示。與圖的邊對(duì)應(yīng)的鄰接元素為正，例如，eij∈ξ?aij＞0。另外，假定對(duì)所有的i∈Γ，aii=0。節(jié)點(diǎn)vi的鄰集由Ni={vj∈v:(vi，vj)∈ξ}表示。集合Ni中元素的數(shù)目稱為節(jié)點(diǎn)vi的出度，，用矩陣D表示出度矩陣。類似地，集合N～i={vj∈v:(vi，vj)∈ξ}中元素的數(shù)目稱為節(jié)點(diǎn)vi的入度，由degin表示。令xi∈R表示節(jié)點(diǎn)vi的值，將拓?fù)洌ɑ蛐畔⒘鳎镚，狀態(tài)值為x∈Rn的網(wǎng)絡(luò)（或代數(shù)圖）表示為Gx=(G，x)。

2.1.2 一致性協(xié)議

假定所考慮的動(dòng)態(tài)智能體網(wǎng)絡(luò)包含n個(gè)智能體。每個(gè)智能體被視為有向圖G中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)。每條邊(vj，vi)∈ξ(G(t))對(duì)應(yīng)在時(shí)刻t，智能體i到智能體j之間的可靠信息傳遞。另外，每個(gè)智能體只根據(jù)自身和它鄰居智能體的信息改變目前的狀態(tài)值。考慮單積分器智能體動(dòng)力學(xué)特性，令

其中xi(t)∈R為智能體的信息狀態(tài)值，ui(t)為時(shí)刻t時(shí)的控制輸入（或協(xié)議）。

2.2 問題描述

多個(gè)相互通信的智能體系統(tǒng)，每個(gè)智能體只能獲得其鄰居智能體的狀態(tài)值，可以用有向圖G=(v，ξ，A)來描述，多智能體的狀態(tài)方程可由式（1）表示：

例如，無人機(jī)編隊(duì)飛行過程中，機(jī)群整體協(xié)調(diào)才能完成它們所承擔(dān)的共同任務(wù)，必須具有相同的初始姿態(tài)，由于某些偶然因素干擾，致使無人機(jī)編隊(duì)中的各個(gè)智能體偏離初始姿態(tài)，無法繼續(xù)執(zhí)行既定任務(wù)。所以，每個(gè)無人機(jī)（都是一個(gè)智能體）都需要調(diào)正自己的姿態(tài)至初始設(shè)定的姿態(tài)值，如果每個(gè)智能體都只是孤立地調(diào)整自己的姿態(tài)，而沒有顧及機(jī)群整體的狀態(tài)值，一旦自己的姿態(tài)調(diào)整好之后就去執(zhí)行整體的任務(wù)，而鄰居智能體還沒調(diào)整好，任務(wù)顯然會(huì)失敗。那如何設(shè)計(jì)一種協(xié)議，使得每個(gè)無人機(jī)都能服從機(jī)群整體的狀態(tài)改變，即當(dāng)無人機(jī)群中每個(gè)無人機(jī)（智能體）都調(diào)整到初始姿態(tài)時(shí)才一起執(zhí)行任務(wù)，而某一無人機(jī)提前回歸到初始姿態(tài)，其他無人機(jī)還未準(zhǔn)備好時(shí)，會(huì)繼續(xù)使自身處于姿態(tài)調(diào)整的過程中，不會(huì)去執(zhí)行任務(wù)。為解決類似的初始狀態(tài)一致問題考慮，針對(duì)多智能體系統(tǒng)（1），本文分別從不含時(shí)滯和含有時(shí)滯兩種情況展開了此類問題的研究。

2.2.1 多智能體系統(tǒng)不含時(shí)滯

在多智能體系統(tǒng)不含時(shí)滯的情況下，為使多智能體系統(tǒng)收斂到初始狀態(tài)量，采用以下一致性控制協(xié)議：

將式（2）代入式（1）可得：

x˙(t)=-(D+A)x(t)（3）其中，x=[x1，x1，…，xn]T，D為出度矩陣，A為臨界矩陣。

2.2.2 多智能體系統(tǒng)含有時(shí)滯

在多智能體系統(tǒng)含有時(shí)滯的情況下，在式（2）所表示的協(xié)議基礎(chǔ)上增加時(shí)滯部分，則

其中，0＜τ＜d為正在通信的兩個(gè)多智能體之間的通信時(shí)滯。

將式（4）代入式（1）可得：

其中x=[x1，x1，…，xn]T，D為智能體間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的出度矩陣，A為對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣。

3 主要結(jié)論

本章針對(duì)多智能體系統(tǒng)（1）在存在時(shí)滯和不存在時(shí)滯兩種情況下收斂到初始狀態(tài)進(jìn)行分析。為了便于定理推導(dǎo)，先給出一個(gè)引理。

引理1[11]給定任意實(shí)可微向量函數(shù)x(t)∈Rn，任意可微標(biāo)量函數(shù)τ(t)∈(0，h]和任意常矩陣0＜Q=QT∈Rn×n，如下不等式成立：

其中，h∈R為正實(shí)數(shù)，t≥0。

3.1 無時(shí)滯情況

定理1如果存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P∈Rn×n，使得

那么由式（3）所確定的一致性協(xié)議能使多智能體一致收斂到初始狀態(tài)。

證明針對(duì)式（1）確定的多智能體系統(tǒng)，構(gòu)造如下Lyapunov-K rasovskii泛函：

其中，0＜P=PT∈Rn×n。

那么V(t)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得：

根據(jù)式（7）中，(D+A)TP+P(D+A)＞0，所以(t)＜0。由此可得，在滿足式（7）的充分性條件下，由式（3）確定的多智能體系統(tǒng)可達(dá)到初始狀態(tài)一致。

3.2 時(shí)滯情況

定理2假設(shè)一階固定時(shí)滯多智能體系統(tǒng)滿足以下條件：

其中，0＜τ＜d，L=D+A，P=PT＞0，W=WT＞0都是適維的矩陣，那么由式（5）決定的多智能體系統(tǒng)收斂到初始狀態(tài)0。

證明對(duì)于由式（5）確定的多智能體系統(tǒng)，構(gòu)造如下Lyapunov泛函：

將式（5）代入可得：

由引理1可推導(dǎo)出：

V˙(t)≤[-(D+A)x(t-τ)]TPx(t)+

xT(t)P[-(D+A)x(t-τ)]+

d[-(D+A)x(t-τ)]TW[-(D+A)x(t-τ)]-

d-1[x(t)-x(t-τ)]TW[x(t)-x(t-τ)]（16）

令yT(t)=[xT(t)xT(t-τ)]，則上式可化簡(jiǎn)為：

4 仿真及驗(yàn)證

這里給出計(jì)算機(jī)仿真實(shí)例來驗(yàn)證上述定理的正確性。

例1考慮如下多智能體系統(tǒng)：

其中xi∈R是第i個(gè)智能體的狀態(tài)，ui∈R是第i個(gè)智能體的控制規(guī)則，x(0)i是第i個(gè)智能體偏離初始狀態(tài)后的當(dāng)前狀態(tài)值，i=1，2，…，5。系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

設(shè)智能體之間信號(hào)傳輸沒有時(shí)滯，選取如下各智能體當(dāng)前狀態(tài)值：

x1(0)=6，x2(0)=3，x3(0)=1，x4(0)=-4，x5(0)=-5

由拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以得到鄰接矩陣A為：

出度矩陣D=diag(1，1，1，1，1)。

根據(jù)是否含有時(shí)滯分兩種情況進(jìn)行討論。

4.1 不含時(shí)滯即τ=0的情況

首先根據(jù)定理1的公式驗(yàn)證此種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的矩陣表達(dá)式是否滿足條件，利用M atlab的LM I工具箱很容易得出一個(gè)滿足條件的對(duì)稱矩陣P為：

相應(yīng)的各智能體狀態(tài)仿真結(jié)果如圖2所示。

圖1 五個(gè)智能體構(gòu)成的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖2 τ=0時(shí)多智能體狀態(tài)曲線

通過上述仿真可以得到，使用由式（2）確定的一致性協(xié)議，在滿足定理1的情況下，某一個(gè)智能體在提前收斂到初始狀態(tài)而其他智能體尚未調(diào)整到初始狀態(tài)值時(shí)會(huì)繼續(xù)使自己處于調(diào)整狀態(tài)的過程中，最后每個(gè)智能體一起達(dá)到初始狀態(tài)，解決了本文第2章提出的問題。

4.2 含有時(shí)滯即0＜τ＜d的情況

在仿真過上述多智能體系統(tǒng)不含時(shí)滯的基礎(chǔ)上，本文繼而討論含有時(shí)滯τ的情形，此時(shí)的d需要滿足一定的條件，不能很大，因?yàn)檠訒r(shí)量τ的取值范圍不是本文的研究范疇，所以在此為方便仿真取τ為一個(gè)比較小的量0.25，在上述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和一致性協(xié)議下，引入延時(shí)量，針對(duì)上述假設(shè)，進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 τ=0.25時(shí)多智能體狀態(tài)曲線

通過上述仿真可得到，經(jīng)過一定量的時(shí)延之后，收斂速度會(huì)變慢，在滿足定理2的條件下，多智能體系統(tǒng)仿真結(jié)果與不含時(shí)滯的情形相同，一同達(dá)到了初始狀態(tài)量，驗(yàn)證了一致性協(xié)議及充分性定理的有效性。

5 結(jié)束語

研究了多智能體系統(tǒng)收斂到初始狀態(tài)的一致性問題，在給出一致性控制協(xié)議和定理推導(dǎo)的同時(shí)，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真。解決了無人機(jī)編隊(duì)飛行中很常見的一個(gè)初始狀態(tài)一致問題，使得無人機(jī)系統(tǒng)在這一局部控制協(xié)議下，只通過獲知鄰居無人機(jī)的狀態(tài)值就可以同步達(dá)到初始狀態(tài)一致。

本文的研究成果還處于初步階段，今后還將在考慮不同通信時(shí)滯，切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上研究多智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)一致性。

[1]Vicsek T，Czirok A，Jacob E B，et al.Novel type of phase transitions in a system of self-driven particles[J].Physics Review Letters，1995，75（6）：1226-1229.

[2]Jadbabaie A，Lin J，Morse A S.Coordination of group of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（6）：988-1001.

[3]Ren W，Beard R W.Consensus seeking in multi-agent systems under dynamically changing interaction topologies[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（5）：655-660.

[4]M oreau L.Stability of multi-agent system s with time dependent communication links[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（2）：169-182.

[5]Hong Y，Gao L，Cheng D，et al.Lyapunov-based approach to multiagent systems with swithing jointly connected interconnection[J].IEEE Trans on Autom Control，2007，52（5）：943-948.

[6]Yu J Y，Wang L.Group consensus of multi-agent systems with directed information exchange[J].International Journal of Systems Science，2012，43（2）：334-348.

[7]Wang Y Z，Zhang C H，Liu Z B.A matrix apprach to graph maximum stable set and coloring problems with application to multi-agent systems[J].Automatica，2012，48（7）：1227-1236.

[8]Xia W G，Cao M.Clustering in diffusively coupled networks[J].Automatica，2011，47（11）：2395-2405.

[9]Yu J Y，Wang L.Group consensus of multi-agent systems with undirected communication graphs[C]//Proceedings of Asian Control Conference，Beijing，2009：105-110.

[10]Olfati-Sabet R，Murray R M.Consensus problem in networks of agents with switching topology and time-delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49（9）：1520-1533.

[11]Sun Y，Wang L，Xie G.Average consensus in networks of dynamic agents with switching topologies and multiple time-varying delays[J].System and Control Letters，2008，57（2）：175-183.