王超，張曉琳，唐文彥，王軍，馬強(qiáng)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

0 引言

質(zhì)量特性參數(shù)是飛行體的一組重要參數(shù)，它包括質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。飛行器在使用之前都需要進(jìn)行質(zhì)量特性參數(shù)的測量，在工作時(shí)則根據(jù)這些參數(shù)來進(jìn)行調(diào)整和控制，以達(dá)到姿態(tài)穩(wěn)定并能夠按照指定的軌跡飛行。

目前質(zhì)量質(zhì)心多采用多點(diǎn)支撐法測量，轉(zhuǎn)動慣量和慣性積用扭擺法來測量，由于轉(zhuǎn)動慣量和慣性積共有6 個獨(dú)立分量，所以還需要在測量過程中變換產(chǎn)品的位姿。因此提高質(zhì)量特性測量精度主要從3 個方面考慮:1)對測量質(zhì)量質(zhì)心所用到的稱重傳感器進(jìn)行標(biāo)定［1］;2)對計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量和慣性積所需要參數(shù)(比如扭擺法中的扭桿系數(shù)［2-3］，三線擺法中的空擺質(zhì)量、擺長等)進(jìn)行標(biāo)定;3)提高產(chǎn)品測量位姿定位精度，這依賴于固定產(chǎn)品的機(jī)械工裝加工和裝配精度以及機(jī)械結(jié)構(gòu)。對于中小型待測產(chǎn)品來說，由于測量設(shè)備體積小且機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單，工裝加工及裝配精度可以達(dá)到較高的要求，因此通常情況下忽略產(chǎn)品位姿對測量精度的影響，只考慮前兩個因素的影響。但是對于大型質(zhì)量特性一體化測量設(shè)備來說，通常采用可兩自由度旋轉(zhuǎn)的連桿結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)位姿變換，機(jī)械加工以及裝配所產(chǎn)生誤差通過連桿的相對運(yùn)動放大并傳遞至終端執(zhí)行器，進(jìn)而導(dǎo)致被測產(chǎn)品的位姿目標(biāo)值與實(shí)際位姿之間的偏差較大。因此對于大尺寸箭彈質(zhì)量特性測量來說，通過標(biāo)定位姿以減小位姿誤差對提高測量精度有著非常重要的意義。

1 運(yùn)動學(xué)建模

產(chǎn)品位姿的變換依托于機(jī)械工裝結(jié)構(gòu)，如圖1所示，這是一個串聯(lián)型機(jī)械結(jié)構(gòu)，工裝上的2 個電機(jī)可分別帶動產(chǎn)品進(jìn)行橫向和縱向兩自由度的旋轉(zhuǎn)，以實(shí)現(xiàn)變換不同測量位姿的需求。

圖1 機(jī)械工裝示意圖Fig.1 Schematic diagram of mechanical system

利用D-H 參數(shù)來建立機(jī)械結(jié)構(gòu)的理想運(yùn)動學(xué)模型。首先建立相關(guān)坐標(biāo)系，如圖2所示，建立參考坐標(biāo)系Oxyz，選擇橫軸L1作為關(guān)節(jié)1，用z0表示，x0與參考坐標(biāo)系x 軸方向一致，原點(diǎn)O0選擇橫軸中心點(diǎn)，根據(jù)右手法則建立關(guān)節(jié)1 的坐標(biāo)系;選擇縱軸L2作為關(guān)節(jié)2，用z1表示，x1垂直于z0和z1，O1與O0重合，利用右手法則建立關(guān)節(jié)2 坐標(biāo)系O1x1y1z1，末端適配器坐標(biāo)系也就是產(chǎn)品坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸與關(guān)節(jié)1 坐標(biāo)系坐標(biāo)軸平行，原點(diǎn)為適配器上某一已知點(diǎn)。

圖2 連桿坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate frame of link-pole

建立坐標(biāo)系后，從坐標(biāo)系i -1 到坐標(biāo)系i 的轉(zhuǎn)換矩陣i-1Ti就可以用利用θ、d、a、α 這4 個D-H 參數(shù)并按照一定的順序表示:

式中:θi為連桿夾角，即坐標(biāo)軸xi-1與xi的夾角;ai為連桿長度，即坐標(biāo)軸zi-1與zi的公垂線距離;di為連桿距離，即坐標(biāo)軸xi-1與xi的公垂線距離;αi為連桿扭角，即坐標(biāo)軸zi-1與zi的夾角。

從參考坐標(biāo)系到產(chǎn)品坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣即產(chǎn)品位姿可記作:

式中:T0是參考坐標(biāo)系到坐標(biāo)系O0x0y0z0的轉(zhuǎn)換矩陣，是一個常數(shù)矩陣;0T1、1T2是含有D-H 參數(shù)的矩陣，只要已知θ=(θ1，θ2)和par=(di，ai，αi)就可以確定產(chǎn)品位姿T:

式中:n、o、a 分別是產(chǎn)品坐標(biāo)系x、y、z 軸的方向向量;p 是坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)組成的列向量。

2 測量位姿對質(zhì)量特性測量的影響

在測量質(zhì)心時(shí)，產(chǎn)品需變換2 種位姿，然后分別將每個位姿下測得的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到產(chǎn)品坐標(biāo)系下，得到最終的結(jié)果:

而在測量轉(zhuǎn)動慣量和慣性積時(shí)，需要變換6 個位姿，聯(lián)立6 個方程，得方程組:

式中:αi、βi、γi分別是第i(i=1 ～6)個位姿下產(chǎn)品坐標(biāo)系x、y、z 軸與扭擺軸的夾角;di是第i 個位姿下產(chǎn)品質(zhì)心到扭擺軸的距離;I 為待測轉(zhuǎn)動慣量和慣性積組成的慣性張量矩陣，

式中:Ixy=Iyx，Ixz=Izx，Iyz=Izy.

產(chǎn)品位姿產(chǎn)生偏差ΔT 會對測量結(jié)果產(chǎn)生如下影響:

2)質(zhì)心位置的偏差會導(dǎo)致方程組(4)式中常數(shù)項(xiàng)矩陣中di存在偏差Δdi.

3)產(chǎn)品位姿偏差ΔT 中的姿態(tài)偏差或者叫旋轉(zhuǎn)偏差［Δn，Δo，Δa］，會產(chǎn)生Δαi、Δβi、Δγi變化。那么(4)式就變?yōu)?/p>

因此機(jī)械工裝D-H 參數(shù)的準(zhǔn)確與否直接影響產(chǎn)品測量位姿，進(jìn)而影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。

3 運(yùn)動學(xué)標(biāo)定法

由于工裝D-H 參數(shù)以及運(yùn)動角度都會有誤差產(chǎn)生，因此產(chǎn)品的實(shí)際位姿為

式中:Δn、Δo、Δa 為產(chǎn)品坐標(biāo)系的姿態(tài)偏差(旋轉(zhuǎn)偏差);Δp 為產(chǎn)品坐標(biāo)系的位置偏差(平移偏差).

當(dāng)實(shí)際幾何參數(shù)與理論幾何參數(shù)偏差較小時(shí)，位姿誤差可簡化成相應(yīng)的線性模型［6］

式中:Δdi、Δai、Δαi，是由于第i 個連桿的加工和安裝精度導(dǎo)致的，一旦安裝好后這些參數(shù)就為定值;而Δθi主要是由于工裝重力因素和減速器齒輪之間的間隙造成的，屬于非幾何參數(shù)誤差，且誤差大小是隨著旋轉(zhuǎn)角度的變化而變化的。

將減速器中齒輪的間隙及偏心導(dǎo)致的角度誤差記作Δθgi［7］，Δθgi= P1gsin(αi+ φ1)+ P2gsin(niαi+φ2)，式中:αi為關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的角度;ni是減速器減速比;P1g、P2g、φ1、φ2為需要標(biāo)定的參數(shù)。

機(jī)械工裝自身重力和外加負(fù)載也會對該關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角產(chǎn)生偏差，記作ΔθLi，將該柔性關(guān)節(jié)簡化為線性扭簧模型，即ΔθLi=Cif(G，θi)，式中:f(G，θi)為施加在柔性關(guān)節(jié)軸上的等效力矩;G 為連桿重力;Ci為需要標(biāo)定的柔度系數(shù)。因此關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度的誤差為

根據(jù)運(yùn)動學(xué)的正解的原理［8］，可以由(6)式得到產(chǎn)品坐標(biāo)系上在任意位姿下的位置偏差與結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差值的關(guān)系:

上式可以寫成

式中:矩陣J 為雅克比矩陣的一種變形形式，可視為參數(shù)誤差的傳遞矩陣;ΔPi代表產(chǎn)品坐標(biāo)系位置偏差，即標(biāo)定點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際值Pr與名義值Pn的差。

標(biāo)定過程如圖3所示，將關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和待標(biāo)定參數(shù)的名義值θn、parn代入到系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)模型中，得到標(biāo)定點(diǎn)位置的名義值Pn，同時(shí)根據(jù)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角將設(shè)備運(yùn)動到指定位置，再利用激光跟蹤儀測量標(biāo)定點(diǎn)位置的實(shí)際值Pr，將位置偏差代入到(8)式，通過解非線性方程組，得到參數(shù)的誤差值Δpar，將其代入(5)式得到產(chǎn)品的實(shí)際位姿。

圖3 運(yùn)動學(xué)標(biāo)定過程Fig.3 Kinematics calibration process

4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在位姿標(biāo)定中的應(yīng)用

運(yùn)動學(xué)標(biāo)定法雖然在原理上比較簡單，但是需要考慮的影響因素較多，尤其是在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角誤差的分析方面，其誤差模型主要是通過經(jīng)驗(yàn)公式和半經(jīng)驗(yàn)公式得到的。這些方法都是要假設(shè)輸入與輸出之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，這在理論上存在一定的缺陷，而且對于新出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，經(jīng)驗(yàn)公式不能較快地吸收來改進(jìn)其本身的精度。因此采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來解決上述問題。

通過前文對運(yùn)動學(xué)模型的分析，可以將參數(shù)誤差分為兩類:剛性參數(shù)誤差和柔性參數(shù)誤差。剛性參數(shù)誤差就是D-H 參數(shù)中d、a、α 的誤差，機(jī)械工裝加工安裝好以后，這些參數(shù)的誤差就不發(fā)生變化了;而關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度θ 是一個變量，其誤差是與當(dāng)前角度有關(guān)的一個非線性變量，所以稱之為柔性參數(shù)誤差。下面對兩種誤差分別進(jìn)行標(biāo)定。

剛性誤差仍利用運(yùn)動學(xué)標(biāo)定，標(biāo)定原理及過程同上一節(jié)，在此不再贅述。最后得到產(chǎn)品坐標(biāo)系位置偏差模型取N 個(N≥3)標(biāo)定點(diǎn)坐標(biāo)，代入(9)式，利用最小二乘原理解該線性方程組，就可得到剛性參數(shù)誤差。

柔性參數(shù)誤差則利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行標(biāo)定，該網(wǎng)絡(luò)共分3 層，第1 層為輸入層，由兩個神經(jīng)元組成，分別為兩個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角θ1、θ2. 第2 層為隱層。第3 層為輸出層，包含兩個神經(jīng)元Δθ1、Δθ2，代表關(guān)節(jié)的非幾何參數(shù)誤差。隱含層的傳遞采用S 形的正切函數(shù)，輸出層傳遞函數(shù)采用線性函數(shù)，并利用梯度下降動量法訓(xùn)練該網(wǎng)絡(luò)。

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程如圖4所示，測量設(shè)備各關(guān)節(jié)按照名義角度θn旋轉(zhuǎn)，利用激光跟蹤儀測量運(yùn)動后終端產(chǎn)品坐標(biāo)系的實(shí)際位置Pr，將θn作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)的輸出數(shù)據(jù)Δθ 必須滿足產(chǎn)品坐標(biāo)系位置偏差不大于0.01 mm.

圖4 網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程Fig.4 The learning process of neural network

經(jīng)過訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以將各關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度θ 和誤差Δθ 的非線性關(guān)系建立起來。因此通過這種將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與運(yùn)動學(xué)相結(jié)合的方法標(biāo)定后，可得到任意位姿下的設(shè)備結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差Δθi和Δpar.將其值代入(5)式，就能得到產(chǎn)品坐標(biāo)系的實(shí)際位姿。

5 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)過程及誤差補(bǔ)償結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所述標(biāo)定方法的有效性，進(jìn)行了標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，如圖5所示，利用控制臺改變設(shè)備姿態(tài)，并利用激光跟蹤儀進(jìn)行關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的采集。根據(jù)標(biāo)定原理，首先要選擇若干組(θ1，θ2)，實(shí)際關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度范圍為θ1∈［90°，180°］，θ2∈［0°，360°］. 從初始位置開始關(guān)節(jié)1 按10°的間隔角進(jìn)行運(yùn)動，在關(guān)節(jié)1 的每個位姿下關(guān)節(jié)2 按45°的間隔角運(yùn)動，最后在運(yùn)動空間內(nèi)共選取72 個標(biāo)定位姿。

圖5 利用激光跟蹤儀進(jìn)行標(biāo)定試驗(yàn)Fig.5 Calibration experiment using laser tracker

利用運(yùn)動學(xué)標(biāo)定法來標(biāo)定所有的參數(shù)，理論上16 個參數(shù)共需要6 個標(biāo)定位姿就能得出結(jié)果，為了提高標(biāo)定精度，從中選擇20 個位姿進(jìn)行標(biāo)定;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-運(yùn)動學(xué)混合標(biāo)定法中，同樣利用其中的20 個位姿進(jìn)行剛性參數(shù)的標(biāo)定，然后選取整個空間72 個位姿進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，進(jìn)行柔性參數(shù)的標(biāo)定。

為驗(yàn)證最終的標(biāo)定效果，定義產(chǎn)品坐標(biāo)系位置誤差EL和姿態(tài)誤差Ep為最后利用后20 個位姿來對比2 種方法的標(biāo)定效果，如圖6所示。

圖6 標(biāo)定結(jié)果對比Fig.6 The comparison of calibration results

表1 標(biāo)準(zhǔn)件質(zhì)量特性測量結(jié)果對比Tab.1 Comparison of measurement results of mass properties of standard parts

從標(biāo)定結(jié)果中可以明顯看出，標(biāo)定后的設(shè)備較未標(biāo)定的設(shè)備位置誤差明顯減小，利用運(yùn)動學(xué)標(biāo)定后的設(shè)備位置誤差平均值為0.565 8 mm，姿態(tài)誤差的平均值為0.018 3 rad;而利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與運(yùn)動學(xué)相結(jié)合的方法標(biāo)定后的設(shè)備，其位置誤差平均值為0.397 5 mm，姿態(tài)誤差的平均值為0.006 2 rad. 可以看出后者的標(biāo)定精度高于前者。

分別在采用兩種標(biāo)定方法進(jìn)行位姿補(bǔ)償?shù)那闆r下測量并計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量特性，得到結(jié)果如表1.通過實(shí)驗(yàn)對比，運(yùn)動學(xué)標(biāo)定法將質(zhì)心測量誤差減小為標(biāo)定前的10%，轉(zhuǎn)動慣量和慣性積測量誤差減小為標(biāo)定前的90%和20%;利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與運(yùn)動學(xué)相結(jié)合的標(biāo)定方法能將質(zhì)心的測量誤差減小為標(biāo)定前的7%，轉(zhuǎn)動慣量和慣性積測量誤差減小為標(biāo)定前的45%和15%.

6 結(jié)論

在大尺寸箭彈質(zhì)量特性參數(shù)測量領(lǐng)域中，提高質(zhì)量特性參數(shù)測量精度一直是研究的重點(diǎn)，而目前的方法對于大尺寸一體化質(zhì)量特性測量系統(tǒng)具有局限性。因此本文從測量位姿對測量精度的影響出發(fā)，分別利用運(yùn)動學(xué)標(biāo)定方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與運(yùn)動學(xué)相結(jié)合標(biāo)定法，通過對測量位姿的標(biāo)定，提高了質(zhì)量特性的測量精度。前者原理簡單，具有普遍適用性——不同的待測產(chǎn)品只要測量設(shè)備不變就不需要重新標(biāo)定;后者由于柔性誤差受到待測產(chǎn)品本身的特性影響，因此針對不同的待測產(chǎn)品需要重新標(biāo)定，但是其標(biāo)定精度更高，更適合高精度測量。

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