張景中

三角形中的一個點，居然導(dǎo)致經(jīng)濟學(xué)家致電幾何學(xué)家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數(shù)學(xué)家得出很多不平凡的結(jié)論，這里面真的暗藏玄機？一個小小的圖形，卻是數(shù)學(xué)家的萬花筒，只要稍微一動，就會綻放光彩，如果信手拆開，原來只不過是幾片涂有顏色的紙片而已……

一天，幾何學(xué)家佩多教授接到了某位經(jīng)濟學(xué)家打來的電話. 這位經(jīng)濟學(xué)家向他請教：如果正三角形內(nèi)有一個點P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？

佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其實，那位經(jīng)濟學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個初中二年級的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因為這個題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！

但是，這個小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實出發(fā)，有時a能得到并不平凡的結(jié)論.

不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實和另一個平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結(jié)合，便得出一個有趣的結(jié)論.

就在三角形內(nèi)隨便放一個點，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當(dāng)然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面這個題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數(shù)學(xué)家想到了面積比，于是出了一些競賽題 .

也許你不曾想到，三角形內(nèi)的這個點也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些有名結(jié)論的源泉呢.

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家費馬提出過這么一個問題：已知平面上有D，E，F(xiàn) 三點，尋求一點P，使（PD+PE+PF）最小.

事實上，在圖1中，如果D，E，F(xiàn)恰巧是某個正三角形三邊上的點，當(dāng)PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時，P就是所要求的點.

不信，另選一點Q比比看. （QD+QE+QF）當(dāng)然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

這就表明P到D，E，F(xiàn)距離之和比任意另一點到這三點的距離都??！

如何確定點P呢？在圖1中，因為∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個正三角形的外接圓交于不同于E的點P. 因為∠DPE與∠S互補，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當(dāng)然∠DPF也是120°. 過D，E，F(xiàn)分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.

這樣，費馬的問題就被解決了，這是卡瓦利列首先發(fā)現(xiàn)的方法.

要補充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點便不會落在△DEF之內(nèi)，這時，P應(yīng)當(dāng)取在E點.

三角形中一個點，這樣簡簡單單的圖形變出了多少花樣啊！數(shù)學(xué)家眼里，一個基本圖形就像孩子手里的萬花筒，稍一轉(zhuǎn)動，就會出現(xiàn)一種美麗的花朵圖案. 但拆開來，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint

三角形中的一個點，居然導(dǎo)致經(jīng)濟學(xué)家致電幾何學(xué)家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數(shù)學(xué)家得出很多不平凡的結(jié)論，這里面真的暗藏玄機？一個小小的圖形，卻是數(shù)學(xué)家的萬花筒，只要稍微一動，就會綻放光彩，如果信手拆開，原來只不過是幾片涂有顏色的紙片而已……

一天，幾何學(xué)家佩多教授接到了某位經(jīng)濟學(xué)家打來的電話. 這位經(jīng)濟學(xué)家向他請教：如果正三角形內(nèi)有一個點P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？

佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其實，那位經(jīng)濟學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個初中二年級的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因為這個題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！

但是，這個小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實出發(fā)，有時a能得到并不平凡的結(jié)論.

不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實和另一個平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結(jié)合，便得出一個有趣的結(jié)論.

就在三角形內(nèi)隨便放一個點，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當(dāng)然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面這個題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數(shù)學(xué)家想到了面積比，于是出了一些競賽題 .

也許你不曾想到，三角形內(nèi)的這個點也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些有名結(jié)論的源泉呢.

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家費馬提出過這么一個問題：已知平面上有D，E，F(xiàn) 三點，尋求一點P，使（PD+PE+PF）最小.

事實上，在圖1中，如果D，E，F(xiàn)恰巧是某個正三角形三邊上的點，當(dāng)PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時，P就是所要求的點.

不信，另選一點Q比比看. （QD+QE+QF）當(dāng)然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

這就表明P到D，E，F(xiàn)距離之和比任意另一點到這三點的距離都小！

如何確定點P呢？在圖1中，因為∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個正三角形的外接圓交于不同于E的點P. 因為∠DPE與∠S互補，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當(dāng)然∠DPF也是120°. 過D，E，F(xiàn)分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.

這樣，費馬的問題就被解決了，這是卡瓦利列首先發(fā)現(xiàn)的方法.

要補充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點便不會落在△DEF之內(nèi)，這時，P應(yīng)當(dāng)取在E點.

三角形中一個點，這樣簡簡單單的圖形變出了多少花樣??！數(shù)學(xué)家眼里，一個基本圖形就像孩子手里的萬花筒，稍一轉(zhuǎn)動，就會出現(xiàn)一種美麗的花朵圖案. 但拆開來，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint

三角形中的一個點，居然導(dǎo)致經(jīng)濟學(xué)家致電幾何學(xué)家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數(shù)學(xué)家得出很多不平凡的結(jié)論，這里面真的暗藏玄機？一個小小的圖形，卻是數(shù)學(xué)家的萬花筒，只要稍微一動，就會綻放光彩，如果信手拆開，原來只不過是幾片涂有顏色的紙片而已……

一天，幾何學(xué)家佩多教授接到了某位經(jīng)濟學(xué)家打來的電話. 這位經(jīng)濟學(xué)家向他請教：如果正三角形內(nèi)有一個點P，那么，不管P的位置在三角形內(nèi)如何變動，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？

佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù). 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.

上式右端恰好是△ABC的高！

其實，那位經(jīng)濟學(xué)家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個初中二年級的學(xué)生就能給他滿意的答復(fù)，因為這個題目常常被選為平面幾何的習(xí)題！不過，它當(dāng)初還是數(shù)學(xué)家維維安尼的一條定理呢！

但是，這個小小的習(xí)題卻啟發(fā)我們：從平凡的事實出發(fā)，有時a能得到并不平凡的結(jié)論.

不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實和另一個平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結(jié)合，便得出一個有趣的結(jié)論.

就在三角形內(nèi)隨便放一個點，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當(dāng)然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

上面這個題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數(shù)學(xué)家想到了面積比，于是出了一些競賽題 .

也許你不曾想到，三角形內(nèi)的這個點也是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)某些有名結(jié)論的源泉呢.

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家費馬提出過這么一個問題：已知平面上有D，E，F(xiàn) 三點，尋求一點P，使（PD+PE+PF）最小.

事實上，在圖1中，如果D，E，F(xiàn)恰巧是某個正三角形三邊上的點，當(dāng)PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時，P就是所要求的點.

不信，另選一點Q比比看. （QD+QE+QF）當(dāng)然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.

這就表明P到D，E，F(xiàn)距離之和比任意另一點到這三點的距離都小！

如何確定點P呢？在圖1中，因為∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個正三角形的外接圓交于不同于E的點P. 因為∠DPE與∠S互補，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當(dāng)然∠DPF也是120°. 過D，E，F(xiàn)分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.

這樣，費馬的問題就被解決了，這是卡瓦利列首先發(fā)現(xiàn)的方法.

要補充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點便不會落在△DEF之內(nèi)，這時，P應(yīng)當(dāng)取在E點.

三角形中一個點，這樣簡簡單單的圖形變出了多少花樣?。?shù)學(xué)家眼里，一個基本圖形就像孩子手里的萬花筒，稍一轉(zhuǎn)動，就會出現(xiàn)一種美麗的花朵圖案. 但拆開來，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint