孫紅娟

數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定，解法不受限制的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它的顯著特點(diǎn)是正確答案不唯一，一般需要學(xué)生通過(guò)觀察、試驗(yàn)、估計(jì)、猜測(cè)、類(lèi)比和歸納等方法探索出問(wèn)題的條件或結(jié)論，然后進(jìn)行嚴(yán)格證明.通常要結(jié)合分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、歸納猜想，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想方法獲得問(wèn)題的解答.在教學(xué)中，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性的問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、縝密性、廣闊性、靈活性，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

關(guān)于數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題，主要有下列幾種說(shuō)法：（1）答案不固定或者條件不完備的問(wèn)題，稱(chēng)之為開(kāi)放性問(wèn)題；（2）開(kāi)放性問(wèn)題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的問(wèn)題；（3）答案不唯一的問(wèn)題是開(kāi)放性問(wèn)題；（4）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問(wèn)題，稱(chēng)之為開(kāi)放性問(wèn)題；（5）問(wèn)題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余的問(wèn)題，稱(chēng)之為開(kāi)放性問(wèn)題.

要解答開(kāi)放性問(wèn)題，首先經(jīng)過(guò)探索確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，將開(kāi)放性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為封閉性問(wèn)題，然后選擇合適的方法途徑完成最后的解答.

常見(jiàn)的開(kāi)放性問(wèn)題有：條件開(kāi)放型，結(jié)論開(kāi)放型，綜合開(kāi)放型，方法開(kāi)放型等.

一、條件開(kāi)放型

主要是給定問(wèn)題的結(jié)論，要求從各種不同的角度去尋求這個(gè)結(jié)論成立的條件，而滿(mǎn)足結(jié)論的條件往往不是唯一的，就是條件開(kāi)放性問(wèn)題.

案例1：已知點(diǎn)P（x，y）位于第二象限，且y≤x+4，x，y為整數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)？搖？搖 ？搖？搖.

評(píng)析：這是條件開(kāi)發(fā)性問(wèn)題.由已知可得，x<0，y>0，所以x>-4，又x為整數(shù)，故x=-1，-2，-3，所以y的值可確定，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)也就確定了.該問(wèn)題的數(shù)字之間的關(guān)系復(fù)雜，條件較多，因此要從討論不等式的解入手，逐步探求問(wèn)題答案，從而培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算、分類(lèi)、歸納的能力.

案例2：已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且DE與BC不平行，請(qǐng)你填上合適的條件？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖，使得△ADE∽△ABC.

評(píng)析：可添加的條件為∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD ∶AB=AE∶AC等.在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常采取執(zhí)果索因的策略進(jìn)行探求，不是被動(dòng)地套用解題模式，而是給學(xué)生較大的思考空間.

二、結(jié)論開(kāi)放型

主要是給定問(wèn)題的條件，根據(jù)條件探索其可能存在的結(jié)論，而符合條件的結(jié)論往往呈多樣性，這樣的問(wèn)題就是結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題.

案例3：用紙剪一個(gè)等腰三角形ABC，將三角形對(duì)折，使它的兩腰AB與AC重合，記折痕與底邊BC的交點(diǎn)為D，那么把紙展開(kāi)后鋪平，得出怎樣的結(jié)論？

評(píng)析：這是結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題.學(xué)生很容易得出結(jié)論：等腰三角形ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形；∠BAD=∠CAD；∠B=∠C；AD⊥BC；BD=CD，經(jīng)過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、思考和探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了探索等腰三角形的性質(zhì)的過(guò)程，利用對(duì)稱(chēng)性得到的結(jié)論，涵蓋了等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性、兩個(gè)底角相等、三線合一等性質(zhì).

案例4：一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①它的圖像經(jīng)過(guò)第一、第二象限；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，滿(mǎn)足上述性質(zhì)的函數(shù)解析式可以是？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖.

評(píng)析：由①知所求的函數(shù)不是正比例函數(shù)，也不是反比例函數(shù)，所以只能是一次函數(shù)或二次函數(shù)，若是一次函數(shù)y=kx+b，則k>0，b>0；若是二次函數(shù)y=ax■+bx+c，則a>0，b≥0，解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意畫(huà)出符合條件的草圖，根據(jù)圖像的性質(zhì)特征，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想方法，猜想、歸納、推導(dǎo)出給定條件下可能存在的結(jié)論.

三、綜合開(kāi)放型

指條件、結(jié)論都開(kāi)放，即思維策略與解題方法不唯一，思維具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性.不同的條件可得到不同結(jié)論，不同的結(jié)論需要不同的條件.

案例5：已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，從下列條件：

①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD

中選取三個(gè)進(jìn)行組合，哪些組合能推出四邊形ABCD是菱形？哪些組合不能推出四邊形ABCD是菱形？

評(píng)析：組合的方式很多，且難度不大，比較適合于不同層次的學(xué)生，對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生創(chuàng)造了表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供了創(chuàng)新的空間.

案例6：在“等腰三角形的判定”時(shí)，可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：一個(gè)等腰三角形，若一不小心，它的一部分被墨水涂沒(méi)了，只留下一條底邊和一個(gè)底角，有多少種方法將原來(lái)的等腰三角形重新畫(huà)出來(lái)？如何說(shuō)明你畫(huà)的三角形一定是等腰三角形？

評(píng)析：從畫(huà)圖看，可用多種方法畫(huà)出等腰三角形，當(dāng)學(xué)生畫(huà)出等腰三角形后，要求學(xué)生說(shuō)出畫(huà)法.而這些畫(huà)法的正確性需要用“等腰三角形的判定定理”來(lái)判定.

四、方法開(kāi)放型

條件和結(jié)論都已知或部分已知，需要探索解答問(wèn)題方法或設(shè)計(jì)問(wèn)題方案的一類(lèi)問(wèn)題，即：一般是指解答方法不唯一或解答路徑不明確的問(wèn)題.

案例7：用多種方法證明等腰三角形的判定定理.

已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC.

證法一：（圖略）類(lèi)比等腰三角形性質(zhì)定理的證明，過(guò)A作AD⊥BC于D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

證法二：（圖略）過(guò)A作AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

證法三：（圖略）取邊BC的中點(diǎn)D，連接AD（中線），過(guò)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，得△BDE≌△CDF（AAS），所以DE=DF，所以△AED≌△AFD（HL），所以AE=AF，于是AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

證法四：（圖略）倍長(zhǎng)中線的方法證明.

中線AD延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得AD=DE，連接BE，EC，所以△ABD≌△ECD（SAS），所以∠1=∠4，因?yàn)椤鰽CD≌△EBD（SAS），所以∠2=∠3，BE=AC，又已知∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4，所以△ABC≌△EBC（ASA），所以AB=BE=AC，得證.

證法五：（圖略）作△ABC關(guān)于直線BC的軸對(duì)稱(chēng)圖形的方法可以證明.

評(píng)析：證法一、二是用類(lèi)比等腰三角形性質(zhì)定理證明方法，分別添加輔助線（高線）AD⊥BC于D，（角A的平分線）AD平分∠BAC，從而將要證明△ABC為等腰三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形△ABD與△ACD的全等的問(wèn)題.證法三是作中線AD，但還不能直接證明AB=AC，因此還要添加輔助線過(guò)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，從而將要證明AB=AC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分別證明△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD的問(wèn)題.證法四是中線AD延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得AD=DE，連接BE，EC，從而將要證明AB=AC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分別證明△ABD≌△ECD，△ACD≌△EBD，△ABC≌△EBC的問(wèn)題.證法五是用作△ABC關(guān)于直線BC的軸對(duì)稱(chēng)圖形的方法證明了△ABC是等腰三角形.

案例8：生活中到處都有圓形的物體，如何測(cè)量它們的半徑呢？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出幾種測(cè)算方案，指出所用的工具、優(yōu)缺點(diǎn)和適用的范圍.

評(píng)析：這是方法開(kāi)放性的問(wèn)題，且情景自然真實(shí)，操作性較強(qiáng)，學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題不僅需要聯(lián)想到與圓有關(guān)的知識(shí)（圓的周長(zhǎng)公式、直徑的性質(zhì)與判定、垂徑定理及其推論、切線的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)、勾股定理等），還需要?jiǎng)邮植僮鳌?gòu)造圖形、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的活動(dòng)過(guò)程，需要運(yùn)用傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)推理能力，更需要有分析和解決問(wèn)題策略層面的素養(yǎng)，這有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行過(guò)程性評(píng)價(jià).