李鶴宇，王建斌，張銳，宋峰，姚雨晗，樓朝飛

（1.北京電子工程總體研究所，北京 100854；2.中國航天科工集團第二研究院研究生院，北京 100854）

0 引言

隨著目標(biāo)的機動能力大幅提高，傳統(tǒng)的采用單飛行器一對一對抗方式很難發(fā)揮效果，采用多個飛行器協(xié)同作戰(zhàn)，從多個方向同時撞擊目標(biāo)，能夠有效降低對飛行器性能的要求并增加對目標(biāo)的破壞概率［1］。為實現(xiàn)該目標(biāo)，多飛行器協(xié)同制導(dǎo)方法受到越來越多的關(guān)注［2-4］。

多個飛行器同時撞擊目標(biāo)能夠通過飽和攻擊有效提升殺傷概率。文獻［5］開創(chuàng)性地提出撞擊時間控制制導(dǎo)律（Impact time control guidance，ITCG），實現(xiàn)多個飛行器具有相同的剩余飛行時間。文獻［6］提出了一種基于兩階段序列凸規(guī)劃的計算ITCG 算法，在發(fā)射前為飛行器設(shè)定飛行時間，以實現(xiàn)同時攻擊。文獻［7］考慮飛行器之間的通信拓撲，提出一種建立在視線坐標(biāo)系（Line-of-sight，LOS）中的包含兩個方向分量的協(xié)同制導(dǎo)律，實現(xiàn)在視線角度約束下同時攻擊靜止目標(biāo)。上述算法針對靜止目標(biāo)。

文獻［8］基于比例導(dǎo)引（Proportional navigation guidance，PNG），提出了一種多個飛行器對靜止目標(biāo)和機動目標(biāo)進行協(xié)同對抗的協(xié)同制導(dǎo)律。文獻［9］將局部濾波算法與協(xié)同制導(dǎo)律相結(jié)合以提升算法魯棒性，從而確保在某些飛行器不可用的情況下，對機動目標(biāo)的時間一致性。文獻［10］提出了一種具有有限時間收斂性的三維協(xié)同制導(dǎo)律，該算法實現(xiàn)使用多個飛行器以預(yù)先指定的角度同時攻擊同一目標(biāo)。文獻［11］利用時變終端滑模控制方法，設(shè)計了一種協(xié)同制導(dǎo)律，實現(xiàn)對機動目標(biāo)的齊射攻擊。文獻［12］針對主從協(xié)同制導(dǎo)問題，采用超扭曲滑?？刂品椒▽崿F(xiàn)剩余飛行時間誤差在有限時間內(nèi)收斂。文獻［13］采用有限時間滑?？刂评碚摵统で刂扑惴▽崿F(xiàn)具有時間一致性和視線角度約束的協(xié)同制導(dǎo)律，并擴展至領(lǐng)-從結(jié)構(gòu)。文獻［14］基于有限時間滑?？刂评碚撎岢鲆环N有限時間收斂的協(xié)同制導(dǎo)律，但制導(dǎo)律中的符號函數(shù)會引起頻繁的抖振和不連續(xù)性。文獻［15］為實現(xiàn)制導(dǎo)律的快速收斂并減少抖振，將非奇異快速終端滑?？刂茟?yīng)用到協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計中。上述算法的收斂時間取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，不能給出明確的量化表達式，限制了算法的應(yīng)用范圍。

固定時間收斂方法優(yōu)點在于證明穩(wěn)定性過程中，收斂時間與初始條件無關(guān)，因此得到廣泛關(guān)注。文獻［16］將通過定義誤差項，將制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為跟蹤問題，提出一種具有固定時間收斂的期望誤差動力學(xué)方程。文獻［17］針對存在未知但有界的匹配和不匹配擾動下的二階系統(tǒng)，提出了一種滑?？刂破?，實現(xiàn)固定時間收斂性，該設(shè)計不需要使用擾動觀測器對系統(tǒng)擾動進行觀測，有效降低系統(tǒng)的復(fù)雜性。文獻［18］研究全局魯棒固定時間穩(wěn)定性，提出一種指數(shù)系數(shù)包含常量和狀態(tài)變量的具有魯棒性的固定時間收斂的控制方法，并將其應(yīng)用于一類包含有界干擾的非線性二階系統(tǒng)，實現(xiàn)系統(tǒng)在固定時間內(nèi)收斂。文獻［19］針對多電機驅(qū)動系統(tǒng)的死區(qū)非線性，提出了一種包含固定時間滑模控制和高增益補償器的兩階段控制方法，并針對系統(tǒng)中的擾動，設(shè)計了一種實用的固定時間收斂控制器，提高了方法的適用性。

固定時間收斂的協(xié)同制導(dǎo)算法相比有限時間收斂的協(xié)同制導(dǎo)算法具有更好的性能。本文提出一種針對機動目標(biāo)、具有終端角度約束和時間一致性約束的固定時間收斂協(xié)同制導(dǎo)算法。

1 問題描述與基礎(chǔ)理論

1.1 問題描述

圖1 二維協(xié)同制導(dǎo)示意圖Fig.1 2-D cooperative guidance geometry

1.2 基礎(chǔ)理論

1.2.1 通信拓撲

飛行器之間的通信關(guān)系由通信拓撲圖定義為Ω(ν，ε)，其中ν={1，2，…，N}是通信拓撲中的節(jié)點，代表飛行器，ε=ν×ν是通信拓撲中的邊，一條邊(i，j)(i≠j)表示第i個飛行器能夠向第j個飛行器傳遞信息。定義通信拓撲的連接矩陣Α=[aij]∈RN×N，若(i，j) ∈ε，則aij=1，反之a(chǎn)ij=0。定義通信拓撲的拉普拉斯矩陣L=[lij]∈RN×N，計算方法為：

如果對于任意的(i，j) ∈ε，(j，i) ∈ε成立，則稱通信拓撲是無向的，如果通信拓撲中信息能夠在任意兩個節(jié)點間通信，則稱通信拓撲是連通的。

引理1［20］.如果無向圖Ω(ν，ε)是連通的，則具有以下性質(zhì)：

1）0是L的特征值，其對應(yīng)特征向量為1N=[1，…，1]T。

3）λ2(L)xTx≤xTLx≤λN(L)xTx，?x∈RN，λ2(L)和λN(L)表示除0外的L最小和最大特征值。

引理2［21］.對于x1，x2，…，xN＞0，0 ＜p≤1，q＞1，則下式成立：

1.2.2 固定時間收斂理論

引理3［22］.設(shè)非線性系統(tǒng)：

式中：f為連續(xù)方程，且f(0)=0。如果存在一個連續(xù)可微的正定徑向無界函數(shù)V：RN→R+使得：

式中：a＞0；b＞0；0 ＜γ＜1 ＜α。則非線性系統(tǒng)在零點全局固定時間穩(wěn)定，并且過渡時間滿足：

引理4［18］.設(shè)非線性系統(tǒng)：

引理5［23］.設(shè)非線性系統(tǒng)：

若|ω|≤L，L∈N+，構(gòu)建如下觀測器：

式中：Pl為李雅普諾夫方程PlBl+=-Ql的解，Ql為正定矩陣，l=1，2；Bl為：

本文做出如下假設(shè)：

假設(shè)1.協(xié)同制導(dǎo)算法能夠?qū)崟r獲得第i個飛行器和目標(biāo)之間的距離視線角視線角速率的真值。

自公安部制定并頒布實施《公安機關(guān)適用繼續(xù)盤問規(guī)定》這個規(guī)范性文件以來，很多地方的公安機關(guān)對這項措施輕易不再適用，有的公安派出所甚至三年多來還從未適用繼續(xù)盤問，取而代之的是傳喚或拘傳措施，繼續(xù)盤問空置化的傾向比較嚴(yán)重；［5］經(jīng)過有關(guān)學(xué)者的調(diào)研，在某地多起案件的辦理過程中，無一起案件的辦理對嫌疑人適用過繼續(xù)盤問措施，進一步證明了當(dāng)前繼續(xù)盤問措施被空置化的現(xiàn)狀；［6］孫志剛事件以后，公安部制定了《公安機關(guān)適用繼續(xù)盤問規(guī)定》，此后在辦理刑事案件時運用繼續(xù)盤問的情況的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果顯示有105人選擇基本不用，比例高達78.95%。 ［7］

假設(shè)2.目標(biāo)的加速度作為系統(tǒng)的干擾項是未知的，在中制導(dǎo)段，相比目標(biāo)和飛行器的距離r，目標(biāo)加速度aT為小量，因此E，E∈R+；aT是mT階可微的，且≤L，L∈R+，mT∈N+。

假設(shè)3.飛行器的通信拓撲是無向且連通的。

注1.由于：

1）雷達、飛行器攜帶的導(dǎo)引頭能夠有效探測目標(biāo)信息，提供相對距離、相對速度和視線角信息，通過微分、濾波等計算，可以獲得實時的視線角速率信息。

2）目標(biāo)通過舵機、螺旋槳等執(zhí)行機構(gòu)進行機動，機動過程是一個連續(xù)、有界的過程，因此加速度是可微的。

3）飛行器之間能夠利用通信設(shè)備發(fā)送自身的信息，接收其它飛行器的信息。

因此，假設(shè)1～3是合理的。

設(shè)X=[xi]∈RN，i=1，…，N，定義：

2 協(xié)同制導(dǎo)算法設(shè)計

設(shè)飛行器編號用上角標(biāo)i表示，i=1，…，N。對飛行器沿視線方向和與視線垂直方向加速度進行設(shè)計，從而實現(xiàn)時間一致性約束和終端角度約束。

2.1 視線方向加速度設(shè)計

對視線方向加速度進行設(shè)計，使得每個飛行器的剩余飛行時間趨于一致，從而實現(xiàn)時間一致性約束。飛行器i的剩余飛行時間為：

對式（16）求導(dǎo)，并結(jié)合式（1）可得：

構(gòu)建飛行器視線方向加速度為：

式中：αr＞0，βr＞0，0 ＜pr＜1，qr＞1。由式（16）、式（19）、式（21）組成的系統(tǒng)能夠保證剩余飛行時間在固定時間內(nèi)趨于一致［24］。

2.2 視線垂直方向加速度設(shè)計

定義狀態(tài)變量：

式中：β，α1，μ1根據(jù)引理4 進行參數(shù)選擇。構(gòu)建飛行器視線垂直方向加速度為：

式中：k，α2，μ2根據(jù)引理4進行參數(shù)選擇。

定理1.由式（2）、式（23）、式（24）組成的系統(tǒng)能夠保證在固定時間內(nèi)，視線角收斂至期望值。

證.對滑模面式（23）求導(dǎo)：

3 仿真校驗

在仿真中，飛行器的總加速度被限制在200 m/s2，該算法主要為中制導(dǎo)段設(shè)計，設(shè)定3 個飛行器和目標(biāo)的距離同時小于200 m時，仿真終止。

采用3 個飛行器對抗1 個目標(biāo)的場景對本文提出的方法進行驗證。飛行器之間的通信拓撲如圖2所示。目標(biāo)在發(fā)射系中的初始位置為(10 000，0) m，初始速度為(95，200) m/s，目標(biāo)沿OX軸方向加速度分量為0，沿OY軸方向加速度分量aTy如圖3 所示。3 個飛行器的初始狀態(tài)如表1 所示，其中(x，y)和V均為發(fā)射系下的值，θ為速度矢量和發(fā)射系x軸的夾角，λd為期望的視線角。仿真結(jié)果如圖4所示。

表1 飛行器初始狀態(tài)Table 1 Initial state of the vehicles

圖2 飛行器通信拓撲Fig.2 Communication topology among the vehicles

圖3 目標(biāo)加速度形式Fig.3 Target acceleration form

從圖4（a）可以得出，使用本文提出的固定時間制導(dǎo)律，3 個飛行器可以從不同方向同時對抗目標(biāo)。從圖4（b）可以得出，飛行器1、飛行器2、飛行器3 的視線角分別在22.78 s、24.19 s、22.71 s 達到相應(yīng)的期望值，本文提出的協(xié)同制導(dǎo)算法在視線垂直方向上，能夠?qū)⒁暰€角控制到期望值。從圖4（c）可以得出，初始時刻，由于初始位置、初始速度的大小和方向的不同，剩余飛行時間在40～60 s之間，在7 s后，3 個飛行器的剩余飛行時間趨于一致，并保持到仿真結(jié)束。

4 結(jié)論

本文針對多飛行器對抗機動目標(biāo)中的協(xié)同制導(dǎo)問題進行研究，利用分布式合作協(xié)議算法和滑?？刂品椒ㄍ瓿蓵r間一致性約束和終端角度約束，實現(xiàn)固定時間收斂的協(xié)同制導(dǎo)律；此外針對目標(biāo)加速度未知但有界的特點，通過設(shè)計滑模結(jié)構(gòu)保證算法固定時間收斂，避免設(shè)計觀測器，從而有效降低算法復(fù)雜性。通過仿真驗證了本文算法的有效性。