☉海南省瓊州學院理工學院 王奮平

☉海南省瓊州學院理工學院 王冰玉

☉海南省海南中學 王湛卓

臺灣、英國初中數(shù)學教材比較研究*
——以英國AQA數(shù)學GCSE課本和臺灣“部編”初中數(shù)學課本為例

☉海南省瓊州學院理工學院 王奮平

☉海南省瓊州學院理工學院 王冰玉

☉海南省海南中學 王湛卓

前言

我國臺灣地區(qū)自上世紀末開始的基礎教育階段課程改革為島內數(shù)學教育帶來了很大變化，九年一貫制數(shù)學教材是臺灣教育主管部門組織專家統(tǒng)一編寫的建議全島統(tǒng)一使用的教材，吸收了基礎與課程改革新課程標準的基本理念和內容要求，很有特色；英國第四學段后的GCSE考試相當于中國的“中考”，所以第四學段和臺灣地區(qū)國中相當.臺灣地區(qū)國中每個年級數(shù)學教材分為學生用教科書和學生用練習書兩本；英國第四學段數(shù)學教材一般根據(jù)不同學生的數(shù)學基礎分為基礎水平數(shù)學教材、中等水平數(shù)學教材、高級水平數(shù)學教材三類，供不同數(shù)學基礎的學生選擇使用.英國中小學教材編寫出版來源很多，教材五花八門，即使是AQA考試委員會也有很多版本的GCSE教材，本文就英國AQA考試委員會使用的由Harper Collns Publisher Limited2007年出版的高級水平數(shù)學教材和我國臺灣地區(qū)九年制義務教育國中階段數(shù)學教材，從內容、知識編排順序和知識呈現(xiàn)方式幾個方面加以比較.

一、臺灣、英國初中數(shù)學教材內容比較

臺灣國中階段數(shù)學教材學生用教科書按照不同年級分為六本，每個年級兩本，六本書共20章1084頁；英國初中數(shù)學教材就用一本書，共27章641頁.表1就兩地初中數(shù)學內容加以列舉比較.

表1：臺灣和英國初中數(shù)學內容

知識點臺灣教材主要內容 英國教材主要內容幾何、圖形與證明幾何圖形的角、三角形的基本性質(包括全等概念和SSS定理)、其他幾何圖形及其性質 （周長、面積和體積）、相似三角形、圓三角圖形（圓的周長與面積、梯形的面積、扇形、棱柱的體積、圓柱、棱錐的體積、圓錐、球體）、特殊三角形和四邊形、多邊形的角、圓的理論、四邊形的旋轉、切線和弦、弦切角定理、幾何證明和代數(shù)證明、變換幾何（全等三角形、平移變換、反射變換、旋轉變換、放大變換、組合變換）概率統(tǒng)計直角三角形中的正弦、余弦、正切比例，已知三角函數(shù)值求角、用三角函數(shù)求三角形邊長、正弦定理和余弦定理及其應用、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像、利用正弦和余弦定理求三角形的邊和角、用正弦定理求三角形的面積均值、頻數(shù)表、數(shù)據(jù)的分類、調查、社會統(tǒng)計、抽樣、線性圖、散點圖、莖葉圖、累計頻數(shù)圖、箱式圖、離差的測量、互斥事件和對立事件、數(shù)學期望、組合事件、樹形圖、雙向表、獨立事件、條件概率向量 向量的性質、向量的加減、幾何中的向量函數(shù)、方程與圖形變換資料的統(tǒng)計與分析、資料（數(shù)據(jù)）的分布、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、累計次數(shù)、盒狀圖、百分位數(shù)、組距、概率的定義、樹形圖、不等式一元一次方程式的解法、一元一次方程式的應用、二元一次方程組（代入消元法、加減消元法）、二元一次方程組的應用、二元一次方程的圖形函數(shù)畫線性方程的圖形、方程的斜率、通過圖形求方程、直線圖形的實踐應用、直線的平行和垂直、直接變換和逆變換不等式以及不等式的性質、數(shù)軸、一元一次不等式解不等式、不等式的圖形表示（幾何意義）、不等式解決實際問題函數(shù)及其簡單性質、函數(shù)與圖形、常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)

從表1內容可以看到，不管是臺灣教材還是英國教材，上述內容基本可以分為四個模塊內容：數(shù)與量、代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計.英國教材中“數(shù)”的學習比較細致，內容較多，前面三章的內容分別是：數(shù)、分數(shù)與百分數(shù)、比率與比例，第一章主要內容又分為解決實際問題、小數(shù)的除法、估算、倍數(shù)和因數(shù)以及質數(shù)、質因數(shù)、負數(shù)等.英國教材沒有專門針對代數(shù)式的學習，臺灣教材中，代數(shù)式的學習卻是一個重點.臺灣和英國教材中“數(shù)”的內容基本相似.臺灣教材中沒有向量、數(shù)列和三角函數(shù)，這三項內容在中國大陸數(shù)學教材中也在高中才學習，英國教材中卻已經開始學習其基本概念和簡單性質，對三角函數(shù)的學習范圍相對更加寬廣，包括正弦定理和余弦定理及其應用，高中再繼續(xù)深入學習，時間跨度很大.英國教材中沒有二元一次方程組，令人詫異的是臺灣教材中仍然保留了繁分數(shù)的概念和運算，繁分數(shù)在大陸地區(qū)已經作為“繁難偏舊”內容而不再學習.英國教材中沒有函數(shù)概念和性質，留在高中（第五學段）來學習，而臺灣教材中很明確地學習函數(shù)，且有常數(shù)函數(shù)的定義，通過二元一次式和一次函數(shù)之間的關系給出線性函數(shù)與圖形之間的對應關系、二元一次方程組與圖形之間的對應關系等.英國教材中沒有不等式及其性質，而在臺灣教材中，不等式及其性質是重點.幾何內容中，英國教材主要學習立體幾何和圓的知識，而臺灣教材中不學習三角形及其性質、向量及其性質，臺灣教材的內容和我國大陸地區(qū)各個版本新教材內容比較接近，臺灣教材中的證明只針對幾何證明，證明方法的學習融合在幾何概念和性質的學習中，而英國教材中的證明卻有代數(shù)和幾何證明兩種，而且專門有一章內容來學習證明，代數(shù)證明在臺灣教材中沒有專門學習.

英國和臺灣教材對歐式幾何內容的學習各有側重，臺灣教材繼承了中國的傳統(tǒng)特點，以學習平面幾何中包括三角形全等、圓的性質等中國初中數(shù)學傳統(tǒng)幾何內容為主，而英國教材中平面幾何內容很少，除了圓、梯形、扇形的面積外，基本上都是立體幾何內容再加上現(xiàn)代幾何中的幾何變換內容，能明顯感受到幾何發(fā)展的現(xiàn)代步伐.

數(shù)列和級數(shù)在臺灣和英國初中教材中均出現(xiàn)，臺灣教材中還專門學習等差數(shù)列，英國教材中學習通項公式，這些內容在中國大陸屬于高中數(shù)學學習的范疇.

二、臺灣、英國初中數(shù)學知識點編排順序比較

英國初中數(shù)學教材內容基本順序：數(shù)與代數(shù)1（多項式、解方程、用解方程的方法轉換代數(shù)式）→簡單三角1→幾何與圖形→統(tǒng)計1（平均數(shù)、頻數(shù)表、頻數(shù)圖、條形圖表示頻數(shù)、社會調查、抽樣）→代數(shù)2（展開括號、二次多項式、利用求根公式解二次方程、用完全平方法解二次方程）→三角2（平面和立體圖形中的三角、解三角形、特殊角三角函數(shù)、求三角形面積）→統(tǒng)計2（折線圖、莖葉圖、散點圖、累計頻數(shù)圖、箱式圖、離差測量）→概率→代數(shù)3（代數(shù)分數(shù)、線性和非線性方程組、二次數(shù)列）→變量→向量→圖形變化→證明，由此可見，英國數(shù)學教材各個知識點的安排順序是按照難度螺旋式上升的，同一個知識點不斷地出現(xiàn)，難度逐步增加，這種按照知識難度螺旋式上升安排的模式在全世界各個國家的教材編寫方式中比較常見.還有一種叫“塊狀式”（臺灣稱為“直線式”）教材，就是一本書中集中一章或幾章一次性學完一個知識點所有內容.英國也有很多這樣的“直線式”教材，比如，很多出版社出版的高中用微積分教材、三角教材、概率統(tǒng)計教材等，都是本模塊內容獨立編寫成一本書，一次性學習完該模塊所有內容.

臺灣教材中各個知識點編排順序：數(shù)（倍數(shù)、因數(shù)）→一元一次方程→二元一次方程組→函數(shù)與坐標系→一元一次不等式→多項式及其運算→勾股定理→數(shù)列與級數(shù)→幾何圖形及其性質→二次函數(shù)→概率統(tǒng)計.

臺灣教材中簡單的代數(shù)知識在倍數(shù)、因數(shù)、質數(shù)、負數(shù)等概念之前出現(xiàn)，而英國教材中代數(shù)內容均在數(shù)的各種概念之后，臺灣教材把代數(shù)式和方程安排在一起學習，和中國大陸數(shù)學教材的安排模式相似，而英國直接學習方程，幾乎沒有代數(shù)式內容作為前奏和鋪墊.

對于概率統(tǒng)計內容的學習，英國教材和臺灣教材一樣，統(tǒng)計學在前，概率在后，第十一章和第十八章分別學習統(tǒng)計學1和統(tǒng)計學2，到第十九章才開始學習概率，臺灣教材中雖然概率和統(tǒng)計內容在同一章學習，但是安排順序仍然是統(tǒng)計內容在前，概率內容在后，這樣的安排順序和中國大陸大學階段各個版本概率統(tǒng)計教材的知識點安排方式相反.

三角函數(shù)的學習順序：先通過勾股定理學習直角三角形的性質，再通過直角三角形中三邊的不同比例來定義正弦、余弦、正切，接著學習用三角函數(shù)求三角形的邊長，再到平面圖形中的三角函數(shù)、立體幾何圖形中的三角函數(shù)、求任意角大小、特殊角的三角函數(shù)、利用正弦函數(shù)求三角形的面積，用兩章的容量學習三角函數(shù)，難度螺旋式上升.

三、臺灣、英國初中數(shù)學教材知識呈現(xiàn)方式比較

1.英國教材引導—總結型知識呈現(xiàn)結構有利于提高學習效率

英國教材每章知識內容呈現(xiàn)模式基本相同，章首知識導入：列出本章主要內容概要（overview）→列出本章知識點結構圖→列出與本章內容相關的已學知識→通過一個或幾個簡單的問題幫助學生回憶已學相關知識→進入新知識學習.每節(jié)新知識呈現(xiàn)方式也基本相同：本節(jié)主要內容和學習目標列舉→基本概念或基本定理陳述→相應的例題→相應的練習題→下一個基本概念或定理陳述→相應的例題→相應的練習題，如此反復，最多一節(jié)一般不會超過三個基本概念或性質、定理的學習.

臺灣初中數(shù)學教材數(shù)學知識呈現(xiàn)方式和大陸北師大版新數(shù)學教材相似，章首沒有提前為學生展示本章知識引導或學習目標，直接開門見山進入新知識學習，基本結構如下：以一兩個與本節(jié)新知識有關的設問引導學生進入新概念、新定理、新性質的思考→新概念呈現(xiàn)→相應的例題→相應的隨堂練習→下一個新概念或新定理呈現(xiàn)→相應的例題→相應的隨堂練習，如此反復，每節(jié)學習的新概念、新定理或性質相對英國教材而言較多，有時候達到五六個概念、性質或定理，有些相對簡單的概念，不需要經過例題的學習理解，只需要用一道“動腦筋”的簡單思考題來引導學生探究思考后就開始練習；每一節(jié)結束后都有一份測試題，題型一般有選擇題、填空題、計算題、應用題等四種類型，題量在6～8個左右不等.

由此可見，英國數(shù)學教材更加重視學生學習前期的引導，臺灣數(shù)學教材更加重視后期的檢測.相對而言，筆者認為，英國教材更加有利于學生較高效率的學習，尤其是本章知識結構圖和每節(jié)學習目標的展示，有利于學生一開始就一目了然把握本章的知識脈絡和各個知識點之間的邏輯關系.

英國教材代數(shù)1中章首就有這樣的知識結構圖：

同時在第三節(jié)“解線性方程”列出學習目標：

在這一節(jié)你將會學到：

●解未知數(shù)作為分數(shù)分子的方程；

●解帶有括號的方程；

●解等式兩邊都帶未知數(shù)的方程；

●根據(jù)已知信息建立方程并解方程.

同時列出與該章內容相關的已學知識內容：

●基本的代數(shù)語言；

●合并同類項的方法；

●兩項代數(shù)式的乘積2m×3n.

每節(jié)節(jié)首也都列出本節(jié)的學習目標，同時學習目標旁邊也列出本章學習內容的關鍵詞（Key words），例如在代數(shù)1第五章第三節(jié)解線性方程中就列舉出其學習目標和關鍵詞.

學習目標：

●解分數(shù)的分子中含有變量的方程；

●解含有括號需要展開的方程；

●解等式兩邊均含有指數(shù)的方程；

●根據(jù)已知條件建立方程并解這個方程.

同時在學習目標右側列出關鍵詞：括號、兩邊同時進行相同的運算、方程、方程的解、解決問題.

英國教材每章章末還有一個總結或概括（Summary），概括分為兩部分，其一是學習效果分級，其二是應該掌握的知識，例如在線性圖像和方程一章就有這樣的兩部分內容.

對你評級（Grade yourself）：

D.能夠通過描點繪制直線圖像；

C.能夠用點斜式的方法繪制直線；

B.能夠繪制一個方程組兩個方程對應的圖像；

A.能夠根據(jù)通過一些特殊點的相互平行或相互垂直的兩直線確定對應的圖像的方程.

你應該知道的知識（What you should know now）：

●如何繪制直線圖形；

●通過應用方程組兩個方程對應的兩條直線的交點求方程組的解；

●如何利用斜率來求出相互平行和相互垂直的直線的方程.

學生根據(jù)章首的知識結構圖和學習目標，結合每節(jié)的學習目標、關鍵詞，能夠層層有脈絡、步步有指引，有的放矢地學習，按圖索驥，根據(jù)已經給出的知識脈絡學習，同時學生在學習過程中也可以不斷地按照知識結構圖領會本章數(shù)學知識點之間的邏輯關系，復習過程中也能夠按照知識結構圖來組織各個知識點，有利于加深對整體知識內容的理解，能提高學習效率.因此英國教材的知識呈現(xiàn)方式應該比臺灣教材更加有利于學生學習數(shù)學，值得借鑒.

2.英國教材中數(shù)形結合思想貫穿各個知識點

數(shù)形結合思想的合理應用有利于小學和初中等年齡較小、抽象思維能力尚未成熟的學生學習數(shù)學，英國教材中有大量數(shù)形結合思想滲透在數(shù)學知識的學習過程中，例如，在學習一元一次方程時，一開始就學習繪制直線在坐標系內的圖形，讓學生了解直線和一元一次方程之間的對應關系，再學習根據(jù)直線圖形來確定方程，接著學習應用數(shù)形結合方法解二元一次方程組的方法，最后學習平行直線和垂直直線對應的方程的斜率之間的關系并會求這兩種特殊關系的直線對應的直線方程，緊接著繼續(xù)學習二次函數(shù)對應的圖像以及其他函數(shù)的圖像.在學習解不等式時也用數(shù)形結合的方法，一元不等式用數(shù)軸上有方向的箭頭圖形表示不等式范圍，二元不等式采用直角坐標系內的直線上、下方彩色區(qū)域來表示不等式表示的范圍，一方面形象而生動，有利于學生正確理解不等式的實質，另一方面也為今后學習線性規(guī)劃奠定了基礎.數(shù)形結合思想在英國教材中大量使用，但是在臺灣教材中很少看到，解一元一次方程還是用典型的消元法思想，這和我國兩岸傳統(tǒng)的數(shù)學教學思想有關，大陸原來使用的舊大綱教材基本上看不到數(shù)形結合解決問題的內容，新課程標準頒布后出版的各版本新教材有所改觀，有部分內容用數(shù)形結合思想處理，是一個好的開端.

四、例題、習題的結構和配置比較

1.兩種教材均根據(jù)知識點學習需要隨時配置例題和習題

英國和臺灣教材例題、習題配置模式基本相同：新概念呈現(xiàn)→相關例題→相關練習題→下一個新概念→相關例題→相關練習題……，如此反復，直到一節(jié)所有新概念和新性質、新定理學習結束.英國教材中每個新概念、新性質、新定理配置2個左右的例題，臺灣教材中每個新概念、新性質、新定理配置4個左右的例題，但是英國教材例題的解題過程非常詳細，同時配以文字解說，有時甚至增加形象的圖解說明，而臺灣教材中的例題基本上局限于形式化的推理步驟，沒有對解題步驟進行過多的文字解釋說明，臺灣相關練習題稱為“隨堂練習題”，而英國的新概念相關練習題稱為“練習（exercise）”，不同之處是：臺灣教材中每節(jié)都有一個測試卷，稱為“自我評量”，題型有選擇題、填空題、計算題、證明題等，而英國教材中只是每章有一個考試卷，稱為“考試題（examquestions）”，一般都是計算題和證明題，沒有選擇題、填空題這樣的客觀題.

2.兩地教材例題、習題數(shù)量各有特色

總體上看，臺灣教材中每個知識點配置的例題數(shù)量比英國教材多，但是英國教材中習題數(shù)量遠多于臺灣教材，臺灣每節(jié)的“自我評量”，題量在10個以內，英國的“考試題（exam questions）”大題題量一般在10個左右，部分大題包含幾個小題，小題題量在20個左右.以兩種教材均有的“負數(shù)的乘法和除法”一節(jié)為例，英國教材中有4個例題，負數(shù)乘法和除法各有2個例題，而臺灣教材中僅負數(shù)乘法就有9個例題，負數(shù)除法有6個例題，英國教材中復數(shù)乘法和除法的練習題數(shù)量為41個，本章最后“考試題（exam questions）”中沒有關于負數(shù)乘法和除法的習題，而臺灣教材中有關負數(shù)的乘法和除法的練習題有21個，再加上本節(jié)的“自我評量”試卷中包含的5個關于負數(shù)乘法和除法考試題，一共26個練習題，遠遠少于英國教材中相同知識點的練習題.英國教材中習題數(shù)量多的特點恰恰體現(xiàn)了中國數(shù)學教學中經常提到的“精講多練”的理念.

五、結論

1.臺灣和英國教材都很重視知識點之間的結構和邏輯聯(lián)系

在臺灣教材中，各個知識點的安排順序非常重視相關知識點之間的邏輯聯(lián)系.例如，臺灣教材中把學習二元一次方程和二元一次方程組的解法放在同一章中來學習，先學習二元一次函數(shù)及其圖形特征，然后根據(jù)二元一次函數(shù)的圖形特點來學習二元一次方程之間的幾何性質，接著再通過兩個二元一次函數(shù)在坐標系中的圖形之間的關系學習二元一次方程組的解法；英國教材中在利用方程對應的線性函數(shù)圖形交點的方法解二元一次方程組時，也是先學習直線圖形與二元一次方程的對應關系，再學習通過圖形確定二元一次方程，接著學習利用兩個二元一次方程對應的函數(shù)圖像的交點來求二元一次方程組的解，學完線性函數(shù)與它的圖像的對應關系后，再學習二次函數(shù)、雙曲線、三次函數(shù)、不規(guī)則函數(shù)等各類函數(shù)的圖像及其簡單性質，層層推進，難度逐步螺旋上升，前者是后者的基礎，后者是前者的延伸和升華，知識面廣泛而且符合初中學生的學習心理.

2.英國教材比臺灣教材更加“形式化”

從兩地教材知識點呈現(xiàn)方式看，臺灣教材比英國教材中有更多的現(xiàn)實生活和生產情境例題和背景知識來支持相關知識點的學習，而英國教材中很少見到現(xiàn)實情境的例題.例如，臺灣教材中學習坐標系中的點的坐標時，就舉了教室里各位同學座位的縱向和橫向位置符號數(shù)組來說明點的坐標的意義，用投籃時籃球拋出后的軌跡來說明拋物線的幾何意義，學習相似形時，是通過講述古埃及流傳的科學家與哲學家泰利斯（Thales）通過測量自己的影子的長度來度量金字塔的高度的故事來學習的.總體上看，不管是臺灣教材還是英國教材，都比大陸各個版本的數(shù)學新教材更加“形式化”.

3.英國教材比臺灣教材更加體現(xiàn)出“精講多練”的教學思想

從兩種教材中配置的例題和習題的數(shù)量比較看，英國教材更加注重學生對相關問題的練習，英國教材設計出的練習題不但數(shù)量多，而且體現(xiàn)出“變式”訓練思想，各種練習題題型多樣，通過多次習題的訓練不斷強化學生對概念的理解.這種模式值得我國教材在完善過程中思考.

六、對我國教材改革的啟示

1.英國教材引導和總結結構模式有利于學生自學和提高學習效率

英國教材中每章、每節(jié)都有學習目標、關鍵詞等，章末有總結和概括，有利于引導學生自學，同時也有利于學生在學習過程中參照學習目標和概括，掌握各個知識點之間的邏輯關系，加深對各個相關知識點之間基礎和遞進關系的理解，提高學習效率.我國各個版本數(shù)學教材一般均有章末總結和概括，但是缺乏章首、節(jié)首學習目標的列舉和引導，如果能夠學習英國教材模式，增加章首和節(jié)首的引導，應該會有更好的學習效果.

2.教材中生活、生產實際情景與數(shù)學理論知識結合要恰當和適時

英國教材部分章節(jié)結束后有“問題解決（solving problem）”一節(jié)，專門培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，臺灣教材中也有很多數(shù)學與實際問題結合的例子.對照我國大陸地區(qū)各個版本的數(shù)學教材，實際情景與數(shù)學理論結合的程度要遠高于臺灣和英國教材，實際情景的例子也更多，對于初中學生而言，能結合實際問題情境來學習數(shù)學有利于學生對數(shù)學知識的理解，但是要恰當?shù)剡x擇合適的實際問題，不能牽強附會，也不能數(shù)量過多，畢竟，“形式化”是數(shù)學的基本特征之一，不能為情景化而情景化，過猶不及.

3.英國教材中的學習內容知識面寬廣的特點值得借鑒

從英國教材內容看，英國教材中專門有“證明”一章，而且分為代數(shù)證明和幾何證明兩類，三角函數(shù)的學習中，英國教材知識面比較寬泛，不但有平面幾何圖形中的三角函數(shù)，而且也同時學習立體幾何圖形中的三角函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像、正弦定理和余弦定理及其應用等，而且學習數(shù)列及其通項公式，英國教材的做法可以讓學生開闊視野，了解到三角函數(shù)寬廣的使用范圍，讓初中學生從總體上一次性領略三角函數(shù)的各種性質，雖然可能容量過大，但是如果學習方法得當，應該會對數(shù)學功底較扎實、數(shù)學興趣較高的同學有很大幫助，為他們今后的持續(xù)學習奠定寬廣的基礎.

*該文是全國教育科學 “十二五”規(guī)劃2012年度單位資助教育部規(guī)劃課題：“高中數(shù)學教科書整體知識結構國際比較研究（FDB20423）”的成果之一.