劉文

策略1：直接法

當題目給出的是規(guī)范幾何體且已知條件比較集中時，我們就按所給圖像的方位用公式直接計算出體積.

例1 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷文科卷第19題）如圖1，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

難度系數(shù) 0.70

分析 不要將題目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（Ⅰ）問起到明顯的提示作用.解答本題的關鍵在于找到（作出）棱柱的高.

（Ⅰ）證明：取AB的中點為O，連接OC，OA1，A1B.由于CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形.所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C？奐平面OA1C，所以AB⊥A1C.

（Ⅱ）解：由題設可知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以OC=OA1= .又A1C= ，則A1C2=OC2+OA21，所以OA1⊥OC.

由于OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積S△ABC = ，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC ×OA1=3.

小結 這類問題中的幾何體規(guī)范，考生很容易找到底面和高，并且計算常規(guī)，所以通常直接使用公式解答即可.不過需要注意的是，考生要寫清楚計算的理由.另外，本題還可以考慮利用割補法來處理.

策略2：換底法

當按題目所給圖像的方位不便于計算時，我們可選擇條件較集中的面作底面，以便于計算底面積和高.這種方法尤其適用于跟棱錐有關的體積計算問題.

例2 （2013年高考湖南文科卷第17題）如圖2，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動.

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積.

難度系數(shù) 0.75

分析 根據(jù)題目中幾何體的特點，求三棱錐C1-A1B1E的體積我們可以考慮換一個視角，以△A1B1C1為底，這樣處理起來更為簡便、合理.

（Ⅰ）證明：由于E為動點，所以需要證明AD⊥平面CBB1C1.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以BB1⊥平面ABC.由AD？奐平面ABC，可得BB1⊥AD.

又Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中點，所以BC⊥AD.

由BC∩BB1=B及以上所述，可得AD⊥平面CBB1C1.

又C1E？奐平面CBB1C1，所以AD⊥C1E.

（Ⅱ）解：由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，則∠A1C1E=60°.在Rt△A1C1E中，A1E= ；在Rt△A1B1E中，EB1=2.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以EB1是三棱錐E-A1B1C1的高.

由于V三棱錐 =V三棱錐 = ·S ·EB1= ×1×2 = ，所以三棱錐C1-A1B1E的體積為 .

小結 利用換底法，我們能夠從側面迂回地解決一些從正面較難下手的問題，這是數(shù)學中的一種重要思想方法.在利用換底法答題時，我們應該在原圖形中找到一個較容易計算出面積及其對應高的平面來.

策略3：割補法

當題目所給的是非規(guī)范（或條件比較分散的規(guī)范）幾何體時，我們可通過對圖像的割補或體積變換，將其化為與已知條件有直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體，并作體積的加減法.

例3 （2013年高考重慶文科卷第19題）如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD= .

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若側棱PC上的點F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積.

難度系數(shù) 0.75

分析 如果直接求三棱錐P-BDF的體積，底面△BDF的面積和高都不太好求，考慮到條件“PA⊥底面ABCD”，我們可以嘗試“補形”后將其處理成兩個幾何體的體積之差，從而使問題得以解決.

（Ⅰ）證明：由于BC=CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC.

由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，從而BD與平面PAC內的兩條相交直線PA，AC都垂直.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：三棱錐P-BCD的底面BCD的面積S△BCD = BC·CD·sin∠BCD= ×2×2·sin = .

由PA⊥底面ABCD，得V三棱錐 = ·S ·PA= × × 2 = 2.

由PF =7FC，得三棱錐F-BCD的高為 PA，故V三棱錐 = ·S · PA= × × × 2 = .

所以V三棱錐 =V三棱錐 -V三棱錐 =2- = .

小結 本題通過將三棱錐P-BDF拓展補為三棱錐P-BCD，將原問題轉化為三棱錐P-BCD與三棱錐F-BCD的體積之差，然后利用間接法求得最后結果.與分割一樣，有時為了計算方便，我們可將已給的幾何體利用平移、旋轉、延展或對稱等手段，補成易求體積的幾何體（如長方體、正方體、三棱錐等），從而使問題得以解決.（責任編校/周峰）

策略1：直接法

當題目給出的是規(guī)范幾何體且已知條件比較集中時，我們就按所給圖像的方位用公式直接計算出體積.

例1 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷文科卷第19題）如圖1，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

難度系數(shù) 0.70

分析 不要將題目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（Ⅰ）問起到明顯的提示作用.解答本題的關鍵在于找到（作出）棱柱的高.

（Ⅰ）證明：取AB的中點為O，連接OC，OA1，A1B.由于CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形.所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C？奐平面OA1C，所以AB⊥A1C.

（Ⅱ）解：由題設可知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以OC=OA1= .又A1C= ，則A1C2=OC2+OA21，所以OA1⊥OC.

由于OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積S△ABC = ，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC ×OA1=3.

小結 這類問題中的幾何體規(guī)范，考生很容易找到底面和高，并且計算常規(guī)，所以通常直接使用公式解答即可.不過需要注意的是，考生要寫清楚計算的理由.另外，本題還可以考慮利用割補法來處理.

策略2：換底法

當按題目所給圖像的方位不便于計算時，我們可選擇條件較集中的面作底面，以便于計算底面積和高.這種方法尤其適用于跟棱錐有關的體積計算問題.

例2 （2013年高考湖南文科卷第17題）如圖2，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動.

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積.

難度系數(shù) 0.75

分析 根據(jù)題目中幾何體的特點，求三棱錐C1-A1B1E的體積我們可以考慮換一個視角，以△A1B1C1為底，這樣處理起來更為簡便、合理.

（Ⅰ）證明：由于E為動點，所以需要證明AD⊥平面CBB1C1.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以BB1⊥平面ABC.由AD？奐平面ABC，可得BB1⊥AD.

又Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中點，所以BC⊥AD.

由BC∩BB1=B及以上所述，可得AD⊥平面CBB1C1.

又C1E？奐平面CBB1C1，所以AD⊥C1E.

（Ⅱ）解：由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，則∠A1C1E=60°.在Rt△A1C1E中，A1E= ；在Rt△A1B1E中，EB1=2.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以EB1是三棱錐E-A1B1C1的高.

由于V三棱錐 =V三棱錐 = ·S ·EB1= ×1×2 = ，所以三棱錐C1-A1B1E的體積為 .

小結 利用換底法，我們能夠從側面迂回地解決一些從正面較難下手的問題，這是數(shù)學中的一種重要思想方法.在利用換底法答題時，我們應該在原圖形中找到一個較容易計算出面積及其對應高的平面來.

策略3：割補法

當題目所給的是非規(guī)范（或條件比較分散的規(guī)范）幾何體時，我們可通過對圖像的割補或體積變換，將其化為與已知條件有直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體，并作體積的加減法.

例3 （2013年高考重慶文科卷第19題）如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD= .

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若側棱PC上的點F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積.

難度系數(shù) 0.75

分析 如果直接求三棱錐P-BDF的體積，底面△BDF的面積和高都不太好求，考慮到條件“PA⊥底面ABCD”，我們可以嘗試“補形”后將其處理成兩個幾何體的體積之差，從而使問題得以解決.

（Ⅰ）證明：由于BC=CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC.

由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，從而BD與平面PAC內的兩條相交直線PA，AC都垂直.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：三棱錐P-BCD的底面BCD的面積S△BCD = BC·CD·sin∠BCD= ×2×2·sin = .

由PA⊥底面ABCD，得V三棱錐 = ·S ·PA= × × 2 = 2.

由PF =7FC，得三棱錐F-BCD的高為 PA，故V三棱錐 = ·S · PA= × × × 2 = .

所以V三棱錐 =V三棱錐 -V三棱錐 =2- = .

小結 本題通過將三棱錐P-BDF拓展補為三棱錐P-BCD，將原問題轉化為三棱錐P-BCD與三棱錐F-BCD的體積之差，然后利用間接法求得最后結果.與分割一樣，有時為了計算方便，我們可將已給的幾何體利用平移、旋轉、延展或對稱等手段，補成易求體積的幾何體（如長方體、正方體、三棱錐等），從而使問題得以解決.（責任編校/周峰）

策略1：直接法

當題目給出的是規(guī)范幾何體且已知條件比較集中時，我們就按所給圖像的方位用公式直接計算出體積.

例1 （2013年高考全國新課標Ⅰ卷文科卷第19題）如圖1，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

難度系數(shù) 0.70

分析 不要將題目中的斜三棱柱看成直棱柱，好在第（Ⅰ）問起到明顯的提示作用.解答本題的關鍵在于找到（作出）棱柱的高.

（Ⅰ）證明：取AB的中點為O，連接OC，OA1，A1B.由于CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形.所以OA1⊥AB.

由于OC∩OA1 = O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C？奐平面OA1C，所以AB⊥A1C.

（Ⅱ）解：由題設可知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以OC=OA1= .又A1C= ，則A1C2=OC2+OA21，所以OA1⊥OC.

由于OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積S△ABC = ，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC ×OA1=3.

小結 這類問題中的幾何體規(guī)范，考生很容易找到底面和高，并且計算常規(guī)，所以通常直接使用公式解答即可.不過需要注意的是，考生要寫清楚計算的理由.另外，本題還可以考慮利用割補法來處理.

策略2：換底法

當按題目所給圖像的方位不便于計算時，我們可選擇條件較集中的面作底面，以便于計算底面積和高.這種方法尤其適用于跟棱錐有關的體積計算問題.

例2 （2013年高考湖南文科卷第17題）如圖2，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動.

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；

（Ⅱ）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積.

難度系數(shù) 0.75

分析 根據(jù)題目中幾何體的特點，求三棱錐C1-A1B1E的體積我們可以考慮換一個視角，以△A1B1C1為底，這樣處理起來更為簡便、合理.

（Ⅰ）證明：由于E為動點，所以需要證明AD⊥平面CBB1C1.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以BB1⊥平面ABC.由AD？奐平面ABC，可得BB1⊥AD.

又Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中點，所以BC⊥AD.

由BC∩BB1=B及以上所述，可得AD⊥平面CBB1C1.

又C1E？奐平面CBB1C1，所以AD⊥C1E.

（Ⅱ）解：由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，則∠A1C1E=60°.在Rt△A1C1E中，A1E= ；在Rt△A1B1E中，EB1=2.

由于ABC-A1B1C1是直棱柱，所以EB1是三棱錐E-A1B1C1的高.

由于V三棱錐 =V三棱錐 = ·S ·EB1= ×1×2 = ，所以三棱錐C1-A1B1E的體積為 .

小結 利用換底法，我們能夠從側面迂回地解決一些從正面較難下手的問題，這是數(shù)學中的一種重要思想方法.在利用換底法答題時，我們應該在原圖形中找到一個較容易計算出面積及其對應高的平面來.

策略3：割補法

當題目所給的是非規(guī)范（或條件比較分散的規(guī)范）幾何體時，我們可通過對圖像的割補或體積變換，將其化為與已知條件有直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體，并作體積的加減法.

例3 （2013年高考重慶文科卷第19題）如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD= .

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若側棱PC上的點F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積.

難度系數(shù) 0.75

分析 如果直接求三棱錐P-BDF的體積，底面△BDF的面積和高都不太好求，考慮到條件“PA⊥底面ABCD”，我們可以嘗試“補形”后將其處理成兩個幾何體的體積之差，從而使問題得以解決.

（Ⅰ）證明：由于BC=CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC.

由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，從而BD與平面PAC內的兩條相交直線PA，AC都垂直.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：三棱錐P-BCD的底面BCD的面積S△BCD = BC·CD·sin∠BCD= ×2×2·sin = .

由PA⊥底面ABCD，得V三棱錐 = ·S ·PA= × × 2 = 2.

由PF =7FC，得三棱錐F-BCD的高為 PA，故V三棱錐 = ·S · PA= × × × 2 = .

所以V三棱錐 =V三棱錐 -V三棱錐 =2- = .

小結 本題通過將三棱錐P-BDF拓展補為三棱錐P-BCD，將原問題轉化為三棱錐P-BCD與三棱錐F-BCD的體積之差，然后利用間接法求得最后結果.與分割一樣，有時為了計算方便，我們可將已給的幾何體利用平移、旋轉、延展或對稱等手段，補成易求體積的幾何體（如長方體、正方體、三棱錐等），從而使問題得以解決.（責任編校/周峰）