何 珣，姚 俊，張 聲

（湖北省煙草公司武漢市公司物流配送中心，湖北 武漢430068）

平面連桿機構(gòu)是由若干剛性構(gòu)件用低副聯(lián)接而成。其運動設(shè)計方法主要是圖解法、解析法、圖譜法和模型實驗法等。隨著數(shù)值計算方法的發(fā)展和計算機的普及應(yīng)用，解析法已成為各類平面連桿機構(gòu)運動設(shè)計的一種有效方法。Matlab的Simulink是一種即拖即用的方框式模塊化仿真工具箱，只需編制較少的腳本文件或M文件就可實現(xiàn)復(fù)雜的動態(tài)仿真，本文以Simulink來解決連桿運動學(xué)仿真問題，可以方便地觀察到機構(gòu)運動特性的變化。

1 MATLAB和SIMULINK概述

1.1 MATLAB

MATLAB是當今國際上科技領(lǐng)域（尤其是自動控制領(lǐng)域）內(nèi)最具影響力、最有活力的軟件［1－3］。它起源于矩陣運算，并已經(jīng)發(fā)展成為一種高度集成的計算機語言。它提供了強大的科學(xué)運算、靈活的程序設(shè)計流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計、便捷的與其他程序和語言接口的功能，被廣泛應(yīng)用于數(shù)值分析、數(shù)值和符號運算、工程與科學(xué)繪圖、控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真、數(shù)字圖像處理、數(shù)字信號處理、通信系統(tǒng)設(shè)計與仿真、財務(wù)與金融工程等領(lǐng)域，圖1為MATLAB界面，圖2為圖形顯示窗口。

1.2 SIMULINK

SIMULAB使得仿真軟件進入了模型化圖形組態(tài)階段，它不但支持連續(xù)與離散系統(tǒng)以及連續(xù)離散混合系統(tǒng)，也支持線性與非線性系統(tǒng)，還支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)，不同的系統(tǒng)能夠以不同的采樣頻率進行組合，從而可以對較大較復(fù)雜的系統(tǒng)進行仿真。同時SIMULINK還可以和 MATLAB、C／C＋＋等其他軟件進行數(shù)據(jù)傳遞，從而完成更為復(fù)雜的仿真工作。

圖1 MATLAB界面

圖2 圖形窗口

Simulink的每一個模塊實際上都是一個系統(tǒng)，一個典型的Simulink模塊包括輸入、狀態(tài)和輸出三個部分，在Simulink中，模塊都是用矢量來表示這三個部分的，如圖3所示。

圖3 基本模型

在三個部分中，狀態(tài)模塊是最重要的，它決定了系統(tǒng)的輸出，而它的當前值有時前一個時間模塊狀態(tài)的輸入的函數(shù)?，F(xiàn)有的狀態(tài)模塊必須保存前面的狀態(tài)值，并計算當前的狀態(tài)值。

1.3 SIMULINK的仿真過程

1.3.1 初始化階段 主要完成的工作及其步驟如下：1）對模型的參數(shù)評估，得到它們實際計算的值；2）展開模型的各個層次；3）按照更新的次序?qū)δK進行排序；4）確定哪些非顯示化的信號屬性，并檢查每個模塊是否能夠接受連接到它們輸入端的信號；5）確定所有非顯示化的信號采樣時間模塊的采樣時間；6）分配和初始化存儲空間，以便存儲每個模塊的狀態(tài)和當前值的輸出。

1.3.2 模型執(zhí)行階段 對于一般的仿真模型是通過采用數(shù)值積分來進行仿真的，計算數(shù)值積分可以采用以下兩步來進行：1）按照秩序計算每個模塊的積分；2）根據(jù)當前輸入和狀態(tài)來決定狀態(tài)的微分，得到微分矢量，然后把它返回給解法器，以計算下一個采樣點的狀態(tài)矢量。

2 機構(gòu)運動分析的目的和方法

2.1 機構(gòu)運動分析的目的

在機械設(shè)計或?qū)ΜF(xiàn)有機械的工作性能進行分析時，需要對機構(gòu)進行運動分析。同時確定某一構(gòu)件的行程或確定機殼的輪廓，為了避免各構(gòu)件互相碰撞等原因，必須確定機構(gòu)某些點的運動軌跡。這往往要求確定其機構(gòu)構(gòu)件上某些點的速度。而在確定機構(gòu)構(gòu)件上某些點的加速度或機器的動能和功率以及進行機構(gòu)的力的分析時，也都必須先對機構(gòu)進行速度分析。對于高速機械和重型機械，其構(gòu)件的慣性力往往極大，必須先進行機構(gòu)的加速度分析［4］。

2.2 機構(gòu)運動分析的方法

研究平面運動分析的方法有圖解法、解析法和實驗法三種［5－6］。圖解法較形象，但作圖較繁瑣，精度不高，常用的方法有速度瞬心法和相對運動圖解法等；解析法則可得到較高的計算精度，但建立數(shù)學(xué)關(guān)系式時又較復(fù)雜，計算工作量也較大，隨著計算機運用的普及，解析法將得到廣泛的應(yīng)用；實驗法需要專門的儀器設(shè)備。

3 基于SIMULINK工具箱的平面五桿機構(gòu)運動學(xué)仿真

3.1 平面五桿機構(gòu)概述

平面五桿機構(gòu)作為一種最簡單的多自由度機構(gòu)，在機械的創(chuàng)新設(shè)計中得到越來越多的應(yīng)用。五桿機構(gòu)由于具有較多的尺寸參數(shù)、不同的驅(qū)動方式及傳動比，能實現(xiàn)更為豐富的連桿曲線，目前對于五桿機構(gòu)的連桿曲線規(guī)律的研究還不夠深入［7－8］。

五桿機構(gòu)可以分為：雙曲柄五桿機構(gòu)、曲柄搖桿連桿機構(gòu)、雙搖桿連桿機構(gòu)。閉鏈二自由度平面混合驅(qū)動五桿機構(gòu)可實現(xiàn)復(fù)雜運動規(guī)律，是目前應(yīng)用較普遍的一種機構(gòu)，如平面二自由度并聯(lián)機械手和混合輸入型機電系統(tǒng)都采用二自由度平面五桿機構(gòu)。要構(gòu)成此五桿機構(gòu)，各桿桿長之間需滿足一定的關(guān)系［9］：

1）五桿中最短兩桿長度之和小于其余三桿任一桿長，且其與最長桿長度之和小于其余兩桿長度之和，以較長的三桿中任意相鄰兩桿為連桿；

2）五桿中最短的兩桿長度之和大于（或等于）其余三桿任一桿長，最長兩桿相等且相鄰，且二者長度之和大于其余三桿長度之和，以相鄰的最長兩桿為連桿。

3.2 約束方程組的建立

每一根連桿均由一位移矢量來表示（圖4）。取左邊與固定機架相連的基礎(chǔ)支座為坐標原點，兩支座的連線為x軸，垂直于x軸的方向為y軸，建立直角坐標系［10－12］。

圖4 五桿機構(gòu)矢量圖

取固定支架為固定桿件0，順時針一次為連桿1、連桿2、連桿3、連桿4和連桿5，長度分別為L0、L1、L2、L3、L4。規(guī)定連桿角速度為連桿與x軸正向的夾角，如圖4所示分別為θ0、θ1、θ2、θ3和θ4，其中θ0＝0°。這樣對于這一組位移矢量就可以構(gòu)成一個便于正確表達和易于推導(dǎo)的閉環(huán)矢量方程，并且L2的矢端與L3的矢端在同一點，所以L1和L2的矢量和與L0和L3及L4的矢量和是相等的，即：

無論機構(gòu)運動到何種狀態(tài)，只要能夠保證機構(gòu)的幾何裝配條件，這個閉環(huán)矢量方程就一定能夠成立，由于四連桿機構(gòu)具有單一的自由度，因此當任意確定機構(gòu)的某一個節(jié)點轉(zhuǎn)角時，就必然同時限定了其余兩個轉(zhuǎn)角。為了將矢量方程（1）對時間求導(dǎo)數(shù)，首先將矢量方程分解成兩個標量表達式，一個沿著x軸方向分解，一個沿著y軸方向分解，得

將式（2）和式（3）對時間求導(dǎo)數(shù)得：

整理得如下矩陣方程形式

同理可求出C點位移的矩陣方程式

根據(jù)矩陣方程式（6），通過 MATLAB中SIMULINK模塊即可求出ω2和ω3，再對其積分，可求出桿件的角位移θ2和θ3；而對其求微積分，則可求出桿件的角加速度α2和α3。

3.3 編寫M文件程序

為了在Matlab／Simulink中進行運動仿真，需要先編制二個函數(shù)文件，這二個函數(shù)為Simulink仿真模型的核心模塊。其中依據(jù)式（6）編制的five＿bar函數(shù)用于計算連桿及從動桿的角速度等，相應(yīng)的M文件如下：

根據(jù)式（7）編制的position＿C函數(shù)如下：

3.4 建立SIMULINK仿真模型

3.4.1 仿真模型的建立 仿真模型見圖5。

3.4.2 仿真初始條件的確定 仿真時，需先確定雙曲柄機構(gòu)中各桿件的長度（L0、L1、L2、L3和L4）、初始位置（θ1、θ2、θ3和θ4）以及兩個曲柄的轉(zhuǎn)速值 （ω1和ω4）。

將函數(shù)five＿bar嵌入到 Matlab Function模塊中：在四個積分模塊中輸入初始條件，即當θ1和θ4為某一確定值時，求θ2和θ3的確切值。

可利用Auto CAD按尺寸畫出四連桿位置結(jié)構(gòu)圖，調(diào)整標注精度盡量大，對θ1、θ2、θ3和θ4進行標注，再將其轉(zhuǎn)換成弧度值，然后填入積分模塊初始條件中。

3.5 仿真結(jié)果

點擊start進行仿真，將五桿機構(gòu)的原動桿和從動桿的角位移θ1、θ4、θ2和θ3、角速度ω1、ω4、ω2和ω3、角加速度α2和α3分別輸入到Simout和Scope模塊中，即可得到仿真結(jié)果。

3.6 仿真實例分析

如圖4所示：分別取L0＝250mm，L1＝300 mm，L2＝300mm，L3＝400mm，L4＝450mm，θ1＝45°，θ2＝259°，θ3＝204°，θ4＝0°，ω1＝6.28 rad／s，ω4＝3.14rad／s。

曲柄1每1s旋轉(zhuǎn)1周，曲柄2每2s旋轉(zhuǎn)一周。設(shè)仿真時間為4s，使曲柄1旋轉(zhuǎn)4周，而曲柄2旋轉(zhuǎn)8周，以利于觀察仿真結(jié)果。設(shè)置Simulink中第一個常量模塊ω1的值為6.28，設(shè)置第2個常量模塊ω4的值為3.14，設(shè)置第3個常量模塊的值為180／π。

圖5 Simulink仿真模型

從Scope中可查看運動參數(shù)隨時間t變化的波形圖。從工作空間中可查看每一步長的運動數(shù)據(jù)及對應(yīng)的時間。圖6、圖7、圖8分別為連桿1、2、3、4的角位移、角速度、角加速度隨時間變化的波形輸出。Scope模塊圖形輸出見圖6～圖8。

圖6 連桿的角位移

圖7 連桿的角速度

圖8 連桿的角加速度

4 結(jié)論

本文對平面連桿機構(gòu)中的雙曲柄五桿機構(gòu)進行了運動學(xué)仿真，根據(jù)機構(gòu)的尺寸參數(shù)，借助復(fù)數(shù)矢量法建立連桿機構(gòu)連桿運動參數(shù)數(shù)學(xué)模型，列出了所要分析機構(gòu)角速度關(guān)系的閉環(huán)矢量方程后，用Matlab編制M文件，利用 Matlab／Simulink進行連桿機構(gòu)的運動仿真，求出了機構(gòu)在所計時間域內(nèi)連續(xù)運動中各個構(gòu)件的瞬時位置、速度和加速度。它得到的結(jié)果精度高，修改簡單，只需修改個別參數(shù)即可對不同的平面連桿機構(gòu)進行運動學(xué)分析。

SIMULINK仿真是實現(xiàn)機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的重要方法，特別是對于復(fù)雜機構(gòu)系統(tǒng)，這一方法更加顯示出其優(yōu)越性。

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