機器人多模型反演滑?？刂撇呗匝芯?/h1>
2014-01-14 00:43:30姜寅令于顯利
吉林大學學報(信息科學版) 2014年4期
姜寅令，于顯利
(1.東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江大慶163318;2.吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院，長春130026)
0 引言
N關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)具有很強的非線性，所建立的模型通常具有不確定性，是一類自然不穩(wěn)定系統(tǒng)［1，2］。傳統(tǒng)的魯棒控制方法，如滑模變結(jié)構(gòu)控制，由于其較高的抗干擾特性、良好的瞬態(tài)特性受到了廣泛關(guān)注［3-5］，被認為是最具影響力的非線性魯棒控制器之一。然而傳統(tǒng)的魯棒控制和自適應控制都是基于精確模型的控制設計思想，僅能實現(xiàn)對含有較小的或恒定不確定性的系統(tǒng)進行較精確的控制［2］。機器人系統(tǒng)由于工作環(huán)境多變，如陸地環(huán)境、水下環(huán)境、高溫和低溫環(huán)境等，工作環(huán)境的改變對系統(tǒng)模型的影響有時是不可忽視的，加大了其控制難度，因此有必要在滑模變結(jié)構(gòu)控制的基礎(chǔ)上引入多模型控制，以適應機器人工作環(huán)境變化對系統(tǒng)模型產(chǎn)生的影響，達到較好的控制目的。
多模型控制引入了一個監(jiān)控機制，當被控對象發(fā)生大的跳變時，監(jiān)督機構(gòu)能快速識別其變化并做出決策，使控制器能有效控制對象［6］。多模型控制通常設定一個指標函數(shù)(例如誤差信號)，隨時測試該指標函數(shù)的優(yōu)劣，如果指標函數(shù)呈現(xiàn)向不好的方向傾斜，則控制器將會切換到更加合適的模型，以便使控制指標更優(yōu)。因此，如果在不同的工作環(huán)境下，機器人模型可近似獲得，多模型控制是一個獲得較高控制品質(zhì)的途徑。筆者針對機器人工作環(huán)境多變的特點，設計了一種基于反演和滑模相結(jié)合的多模型控制器，并對多模型控制的指標函數(shù)進行了改進。
1 機器人數(shù)學模型
拉格朗日方程得到描述N關(guān)節(jié)的機械人系統(tǒng)的動力學方程［7］
圖1 二自由度機器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Two-link robotic manipulator
其中M(q)為廣義慣性力矩陣，C(q，˙q)為哥氏力和離心力項，G(q)為重力或廣義彈性力，f為干擾或不確定項，y為系統(tǒng)輸出，q=［q1，…，qn］T為 N 個關(guān)節(jié)的端點位置向量。
式(1)所描述的N關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可寫成
其中取關(guān)節(jié)的位置及位置的導數(shù)為狀態(tài)變量x1=q，x2=˙q。
由于N關(guān)節(jié)的機械人系統(tǒng)為自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，控制目標迫使各個關(guān)節(jié)端點位置跟蹤上一個有界的參考輸入信號xd=［x1d，…，xnd］T，其約束條件是qd和q的N-1階導數(shù)存在，廣義慣性力矩陣M(q)為有界、非奇異矩陣。
2 反演滑?？刂破鞯脑O計
反演控制方法是將單變量控制方案應用到多變量控制系統(tǒng)。它首先處理一個變量而假定其他變量可以任意分配;然后，其余的狀態(tài)方程與其他變量也用同樣的方法進行處理，這種處理方法能簡化復雜系統(tǒng)。N關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)可將各關(guān)節(jié)作為一個反演控制的子系統(tǒng)，為每個子系統(tǒng)設計虛擬控制量，使關(guān)節(jié)位置誤差信號為零。反演控制與滑?？刂频慕Y(jié)合可增加系統(tǒng)的魯棒性，增強抗干擾能力。反演控制可認為是一種自適應控制，SMC(Sliding Mode Control)是一種魯棒控制方法，二者的結(jié)合可以發(fā)揮各自的優(yōu)勢。
定理1 考慮被控對象式(2)，若選取反演控制律
則系統(tǒng)漸進跟蹤有界參考信號xd，且系統(tǒng)全局穩(wěn)定。其中k＞0，c＞0，h＞0，ρ＞0。
證明 設關(guān)節(jié)的期望位置為xd，則關(guān)節(jié)的位置誤差和速度誤差分別為
又定義誤差其中α1是x1的估計，反演控制是一種閉環(huán)反饋控制［8，9］，α1是作為系統(tǒng)的控制輸入，因此設計目的是取合適的α1，使e2為零。
定義中間虛擬控制量為α1=ce1，c＞0。
選擇Lyapunov函數(shù)
設計傳統(tǒng)滑模面
利用Lyapunov法證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。選擇Lyapunov函數(shù)
這里F為所有不確定項之和。
為滿足˙V2＜0，取等效控制項
為補償一定干擾，滑?？刂瓶稍黾忧袚Q控制項τvss，該項由系統(tǒng)慣性項、滑模面及符號函數(shù)等構(gòu)成。二關(guān)節(jié)剛性機器人反演滑模控制器設計為
其中τvss=-M-1h(s+ρsgn(s))，h和ρ為正的常數(shù)構(gòu)成的列向量。
所以，定理1得證。
3 多模型控制
多模型控制的機理是時刻檢測系統(tǒng)的性能指標，從而選擇更為適合當前環(huán)境的模型，并產(chǎn)生一個更為合適的控制信號。所以多模型控制可分成檢測部分和控制部分。
1)多模型控制的檢測部分。檢測部分由預先設定好的多個模型和切換機構(gòu)組成。多個模型的建立，一般是依據(jù)被控對象在不同的工作環(huán)境中(如溫度變化、外界擾動等因素)對系統(tǒng)本身的影響有所不同，從而建立了多個適應不同環(huán)境的模型。切換機構(gòu)的作用是決定哪個模型更適合當前的被控對象，從而切換到那個模型上去。目前已有很多方法確定更為適合的當前模型，即切換標準。應用最多的是系統(tǒng)誤差最小法，即系統(tǒng)誤差最小的模型就是當前最優(yōu)模型。
目前已有多種性能指標函數(shù)用作切換標準，筆者結(jié)合文獻［10，11］選擇帶遺忘因子的 PID(Proportion-Integral-Differential)型性能指標，并在此基礎(chǔ)上做一定的改進，增加PID權(quán)值
加上遺忘因子是為了不斷減小老數(shù)據(jù)的權(quán)值，所以，之前的數(shù)據(jù)對結(jié)果的影響將逐漸減少。
2)控制部分?？刂撇糠植捎梅囱莼？刂破?，即式(10)所示的控制器，控制部分整體框圖如圖2所示?？刂破鞑捎胣個獨立的等效控制器ueq1，…，ueqn，每個控制器擁有不同的等效控制τeq的增益γ1，…，γn，且等效控制器的增益γ1，…，γn都是針對預先設計的模型單獨設計。其中輸入信號為關(guān)節(jié)位置信號q及其導數(shù)˙q。滑模面選擇傳統(tǒng)的線性滑模面s=ke1+e2，k＞0。模型1～模型n為預先設計的多關(guān)節(jié)機器人模型，與模型為并列關(guān)系。每個模型的輸出為關(guān)節(jié)位置向量及其導數(shù)向量，分別為q1，˙q1，…，qn，˙qn。當性能指標函數(shù)Ji(t)檢測到某時刻最小的輸出誤差時，系統(tǒng)選擇該誤差所對應的模型。
圖2 機器人多模型控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of multi-model back-stepping sliding mode control
4 仿真實例
采用二關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)作為仿真對象，動態(tài)模型如下［12］
該仿真試驗共采用3個模型，具體系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。圖3為關(guān)節(jié)1、2的軌跡跟蹤圖，從圖3可以看出，即使增加較強的隨機干擾，關(guān)節(jié)也能很快跟蹤設定的軌跡。圖4～圖6分別為3個模型的控制輸入。
表1 二關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 The parameters of two-link robot
表2 控制器參數(shù)表Tab.2 The parameters of controllers
圖3 關(guān)節(jié)1、2的位置跟蹤輸入Fig.3 Desired and actual trajectory for joint 1 and 2
圖4 模型1的控制輸入Fig.4 Input applied to model 1
圖5 模型2的控制輸入Fig.5 Input applied to model 2
圖6 模型3的控制輸入Fig.6 Input applied to model 3
5 結(jié) 語
筆者針對當今機器人控制熱點問題提出了一種機器人多模型反演滑?？刂撇呗?，并對傳統(tǒng)多模型控制的PID型切換指標進行了改進，形成了帶權(quán)值和遺忘因子的PID型切換指標。針對傳統(tǒng)的反演控制中采用先前估計虛擬控制輸入作為當前控制輸入的問題，定義滑模面并得出虛擬控制輸入，從而消除了機器人運動模態(tài)的導數(shù)項，簡化了控制律，并應用Lyapunov定理證明了所提方案的合理性。最后利用二關(guān)節(jié)機器人作為控制對象，仿真驗證了控制方案的有效性。筆者的研究對多自由度機器人控制的推廣應用也有一定的參考價值。
［1］FARZIN PILTAN，SOBHAN SIAMAK，MOHAMMAD AMIN BAIRAMI，et al.Gradient Descent Optimal Chattering Free Sliding Mode Fuzzy Control Design:Lyapunov Approach［J］.International Journal of Advanced Science and Technology，2012(45):73-77.
［2］SOLTANPOUR M R.Sliding Mode Robust Control of Robot Manipulator in the Task Space by Support of Feedback Linearization and BackStepping Control［J］.World Applied Sciences Journal，2009，6(1):70-76.
［3］XIA Yuanqing，F(xiàn)U Mengyin，SHI Peng，et al.Adaptive Backstepping Controller Design for Stochastic Jump Systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2010，54(12):2853-2859.
［4］FARZIN PILTAN，ATEFEH GAVAHIAN，NASRI SULAIMAN，et al.Novel Sliding Mode Controller for Robot Manipulator Using FPGA［J］.Journal of Advanced Science and Engineering Research，2011，1(1):1-22.
［5］王海洋，王江，李紅利，等.基于Termiral滑模的Hindmarsh-Rose神經(jīng)元放電同步控制［J］.吉林大學學報:理學版，2011，49(6):1087-1094.WANG Haiyang，WANG Jiang，LI Hongli，et al.Unidirectional Synchronization for Hindmarsh-Rose Neurons via Terminal Sliding Mode Control［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2011，49(6):1087-1094.
［6］NASSER SADATI，RASOUL GHADAMI.Adaptive Multi-Model Sliding Mode Control of Robotic Manipulators Using Soft Computing［J］.Neurocomputing，2008，71(13/15):2702-2710.
［7］QU Zhihua，DARREN M DAWSON.Robust Tracking Control of Robot Manipulators［M］.New York:IEEE Press，1996.
［8］CHEN Naijian，SONG Fangzhen，LI Guoping，et al.An Adaptive Sliding Mode Backstepping Control for the Mobile Manipulator with Nonholonomic Constraints［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18(10):2885-2899.
［9］王艷全，趙衍輝，楊曉翠，等.神經(jīng)網(wǎng)絡廣義Backstepping預測控制［J］.吉林大學學報:理學版，2010，48(5):828-834.WANG Yanquan，ZHAO Yanhui，YANG Xiaocui，et al.Neural Networks Predictive Control via Generalized Backstepping［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2010，48(5):828-834.
［10］ILYAS EKER.Sliding Mode Control with PID Sliding Surface and Experimental Application to an Electromechanical Plant［J］.ISA Transactions，2006，45(1):109-118.
［11］CHEN CHIH-YANG，LI TZUU-HSENG S，YEH YING-CHIEH.EP-Based Kinematic Control and Adaptive Fuzzy Sliding-Mode Dynamic Control for Wheeled Mobile Robots［J］.Information Sciences，2009，179(1/2):180-195.
［12］CRAIG J J.Introduction to Robotics:Mechanics and Control［M］.［S.l.］:Addison-Wesley Publishing Company，1989.
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0 引言
N關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)具有很強的非線性，所建立的模型通常具有不確定性，是一類自然不穩(wěn)定系統(tǒng)［1，2］。傳統(tǒng)的魯棒控制方法，如滑模變結(jié)構(gòu)控制，由于其較高的抗干擾特性、良好的瞬態(tài)特性受到了廣泛關(guān)注［3-5］，被認為是最具影響力的非線性魯棒控制器之一。然而傳統(tǒng)的魯棒控制和自適應控制都是基于精確模型的控制設計思想，僅能實現(xiàn)對含有較小的或恒定不確定性的系統(tǒng)進行較精確的控制［2］。機器人系統(tǒng)由于工作環(huán)境多變，如陸地環(huán)境、水下環(huán)境、高溫和低溫環(huán)境等，工作環(huán)境的改變對系統(tǒng)模型的影響有時是不可忽視的，加大了其控制難度，因此有必要在滑模變結(jié)構(gòu)控制的基礎(chǔ)上引入多模型控制，以適應機器人工作環(huán)境變化對系統(tǒng)模型產(chǎn)生的影響，達到較好的控制目的。
多模型控制引入了一個監(jiān)控機制，當被控對象發(fā)生大的跳變時，監(jiān)督機構(gòu)能快速識別其變化并做出決策，使控制器能有效控制對象［6］。多模型控制通常設定一個指標函數(shù)(例如誤差信號)，隨時測試該指標函數(shù)的優(yōu)劣，如果指標函數(shù)呈現(xiàn)向不好的方向傾斜，則控制器將會切換到更加合適的模型，以便使控制指標更優(yōu)。因此，如果在不同的工作環(huán)境下，機器人模型可近似獲得，多模型控制是一個獲得較高控制品質(zhì)的途徑。筆者針對機器人工作環(huán)境多變的特點，設計了一種基于反演和滑模相結(jié)合的多模型控制器，并對多模型控制的指標函數(shù)進行了改進。
1 機器人數(shù)學模型
拉格朗日方程得到描述N關(guān)節(jié)的機械人系統(tǒng)的動力學方程［7］
圖1 二自由度機器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Two-link robotic manipulator
其中M(q)為廣義慣性力矩陣，C(q，˙q)為哥氏力和離心力項，G(q)為重力或廣義彈性力，f為干擾或不確定項，y為系統(tǒng)輸出，q=［q1，…，qn］T為 N 個關(guān)節(jié)的端點位置向量。
式(1)所描述的N關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可寫成
其中取關(guān)節(jié)的位置及位置的導數(shù)為狀態(tài)變量x1=q，x2=˙q。
由于N關(guān)節(jié)的機械人系統(tǒng)為自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，控制目標迫使各個關(guān)節(jié)端點位置跟蹤上一個有界的參考輸入信號xd=［x1d，…，xnd］T，其約束條件是qd和q的N-1階導數(shù)存在，廣義慣性力矩陣M(q)為有界、非奇異矩陣。
2 反演滑?？刂破鞯脑O計
反演控制方法是將單變量控制方案應用到多變量控制系統(tǒng)。它首先處理一個變量而假定其他變量可以任意分配;然后，其余的狀態(tài)方程與其他變量也用同樣的方法進行處理，這種處理方法能簡化復雜系統(tǒng)。N關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)可將各關(guān)節(jié)作為一個反演控制的子系統(tǒng)，為每個子系統(tǒng)設計虛擬控制量，使關(guān)節(jié)位置誤差信號為零。反演控制與滑?？刂频慕Y(jié)合可增加系統(tǒng)的魯棒性，增強抗干擾能力。反演控制可認為是一種自適應控制，SMC(Sliding Mode Control)是一種魯棒控制方法，二者的結(jié)合可以發(fā)揮各自的優(yōu)勢。
定理1 考慮被控對象式(2)，若選取反演控制律
則系統(tǒng)漸進跟蹤有界參考信號xd，且系統(tǒng)全局穩(wěn)定。其中k＞0，c＞0，h＞0，ρ＞0。
證明 設關(guān)節(jié)的期望位置為xd，則關(guān)節(jié)的位置誤差和速度誤差分別為
又定義誤差其中α1是x1的估計，反演控制是一種閉環(huán)反饋控制［8，9］，α1是作為系統(tǒng)的控制輸入，因此設計目的是取合適的α1，使e2為零。
定義中間虛擬控制量為α1=ce1，c＞0。
選擇Lyapunov函數(shù)
設計傳統(tǒng)滑模面
利用Lyapunov法證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。選擇Lyapunov函數(shù)
這里F為所有不確定項之和。
為滿足˙V2＜0，取等效控制項
為補償一定干擾，滑?？刂瓶稍黾忧袚Q控制項τvss，該項由系統(tǒng)慣性項、滑模面及符號函數(shù)等構(gòu)成。二關(guān)節(jié)剛性機器人反演滑模控制器設計為
其中τvss=-M-1h(s+ρsgn(s))，h和ρ為正的常數(shù)構(gòu)成的列向量。
所以，定理1得證。
3 多模型控制
多模型控制的機理是時刻檢測系統(tǒng)的性能指標，從而選擇更為適合當前環(huán)境的模型，并產(chǎn)生一個更為合適的控制信號。所以多模型控制可分成檢測部分和控制部分。
1)多模型控制的檢測部分。檢測部分由預先設定好的多個模型和切換機構(gòu)組成。多個模型的建立，一般是依據(jù)被控對象在不同的工作環(huán)境中(如溫度變化、外界擾動等因素)對系統(tǒng)本身的影響有所不同，從而建立了多個適應不同環(huán)境的模型。切換機構(gòu)的作用是決定哪個模型更適合當前的被控對象，從而切換到那個模型上去。目前已有很多方法確定更為適合的當前模型，即切換標準。應用最多的是系統(tǒng)誤差最小法，即系統(tǒng)誤差最小的模型就是當前最優(yōu)模型。
目前已有多種性能指標函數(shù)用作切換標準，筆者結(jié)合文獻［10，11］選擇帶遺忘因子的 PID(Proportion-Integral-Differential)型性能指標，并在此基礎(chǔ)上做一定的改進，增加PID權(quán)值
加上遺忘因子是為了不斷減小老數(shù)據(jù)的權(quán)值，所以，之前的數(shù)據(jù)對結(jié)果的影響將逐漸減少。
2)控制部分?？刂撇糠植捎梅囱莼？刂破?，即式(10)所示的控制器，控制部分整體框圖如圖2所示?？刂破鞑捎胣個獨立的等效控制器ueq1，…，ueqn，每個控制器擁有不同的等效控制τeq的增益γ1，…，γn，且等效控制器的增益γ1，…，γn都是針對預先設計的模型單獨設計。其中輸入信號為關(guān)節(jié)位置信號q及其導數(shù)˙q。滑模面選擇傳統(tǒng)的線性滑模面s=ke1+e2，k＞0。模型1～模型n為預先設計的多關(guān)節(jié)機器人模型，與模型為并列關(guān)系。每個模型的輸出為關(guān)節(jié)位置向量及其導數(shù)向量，分別為q1，˙q1，…，qn，˙qn。當性能指標函數(shù)Ji(t)檢測到某時刻最小的輸出誤差時，系統(tǒng)選擇該誤差所對應的模型。
圖2 機器人多模型控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of multi-model back-stepping sliding mode control
4 仿真實例
采用二關(guān)節(jié)機械手系統(tǒng)作為仿真對象，動態(tài)模型如下［12］
該仿真試驗共采用3個模型，具體系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。圖3為關(guān)節(jié)1、2的軌跡跟蹤圖，從圖3可以看出，即使增加較強的隨機干擾，關(guān)節(jié)也能很快跟蹤設定的軌跡。圖4～圖6分別為3個模型的控制輸入。
表1 二關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 The parameters of two-link robot
表2 控制器參數(shù)表Tab.2 The parameters of controllers
圖3 關(guān)節(jié)1、2的位置跟蹤輸入Fig.3 Desired and actual trajectory for joint 1 and 2
圖4 模型1的控制輸入Fig.4 Input applied to model 1
圖5 模型2的控制輸入Fig.5 Input applied to model 2
圖6 模型3的控制輸入Fig.6 Input applied to model 3
5 結(jié) 語
筆者針對當今機器人控制熱點問題提出了一種機器人多模型反演滑?？刂撇呗?，并對傳統(tǒng)多模型控制的PID型切換指標進行了改進，形成了帶權(quán)值和遺忘因子的PID型切換指標。針對傳統(tǒng)的反演控制中采用先前估計虛擬控制輸入作為當前控制輸入的問題，定義滑模面并得出虛擬控制輸入，從而消除了機器人運動模態(tài)的導數(shù)項，簡化了控制律，并應用Lyapunov定理證明了所提方案的合理性。最后利用二關(guān)節(jié)機器人作為控制對象，仿真驗證了控制方案的有效性。筆者的研究對多自由度機器人控制的推廣應用也有一定的參考價值。
［1］FARZIN PILTAN，SOBHAN SIAMAK，MOHAMMAD AMIN BAIRAMI，et al.Gradient Descent Optimal Chattering Free Sliding Mode Fuzzy Control Design:Lyapunov Approach［J］.International Journal of Advanced Science and Technology，2012(45):73-77.
［2］SOLTANPOUR M R.Sliding Mode Robust Control of Robot Manipulator in the Task Space by Support of Feedback Linearization and BackStepping Control［J］.World Applied Sciences Journal，2009，6(1):70-76.
［3］XIA Yuanqing，F(xiàn)U Mengyin，SHI Peng，et al.Adaptive Backstepping Controller Design for Stochastic Jump Systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2010，54(12):2853-2859.
［4］FARZIN PILTAN，ATEFEH GAVAHIAN，NASRI SULAIMAN，et al.Novel Sliding Mode Controller for Robot Manipulator Using FPGA［J］.Journal of Advanced Science and Engineering Research，2011，1(1):1-22.
［5］王海洋，王江，李紅利，等.基于Termiral滑模的Hindmarsh-Rose神經(jīng)元放電同步控制［J］.吉林大學學報:理學版，2011，49(6):1087-1094.WANG Haiyang，WANG Jiang，LI Hongli，et al.Unidirectional Synchronization for Hindmarsh-Rose Neurons via Terminal Sliding Mode Control［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2011，49(6):1087-1094.
［6］NASSER SADATI，RASOUL GHADAMI.Adaptive Multi-Model Sliding Mode Control of Robotic Manipulators Using Soft Computing［J］.Neurocomputing，2008，71(13/15):2702-2710.
［7］QU Zhihua，DARREN M DAWSON.Robust Tracking Control of Robot Manipulators［M］.New York:IEEE Press，1996.
［8］CHEN Naijian，SONG Fangzhen，LI Guoping，et al.An Adaptive Sliding Mode Backstepping Control for the Mobile Manipulator with Nonholonomic Constraints［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18(10):2885-2899.
［9］王艷全，趙衍輝，楊曉翠，等.神經(jīng)網(wǎng)絡廣義Backstepping預測控制［J］.吉林大學學報:理學版，2010，48(5):828-834.WANG Yanquan，ZHAO Yanhui，YANG Xiaocui，et al.Neural Networks Predictive Control via Generalized Backstepping［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2010，48(5):828-834.
［10］ILYAS EKER.Sliding Mode Control with PID Sliding Surface and Experimental Application to an Electromechanical Plant［J］.ISA Transactions，2006，45(1):109-118.
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