李忠美，李厚樸，邊少鋒，2

1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢430033；2.中國(guó)科學(xué)院 測(cè)量與地球物理研究所，湖北 武漢430077

1 引 言

大地緯度是測(cè)量和地球科學(xué)計(jì)算中最常用的一種緯度，但是在測(cè)量和地圖投影理論推導(dǎo)中，為滿足某種投影性質(zhì)，也常會(huì)用到其他5種輔助緯度（地心緯度、歸化緯度、等距離緯度、等角緯度和等面積緯度）的概念［1－4］。隨著空間技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)在大地測(cè)量及地圖學(xué)中的應(yīng)用和發(fā)展，研究大地緯度及其他5種輔助緯度間的關(guān)系以及它們之間的差異問(wèn)題具有更加重要的實(shí)用價(jià)值。對(duì)于這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究，取得了顯著成果。文獻(xiàn)［4］推算出了大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的關(guān)系以及它們的拉格朗日共軛級(jí)數(shù)展開(kāi)式；文獻(xiàn)［5—11］人工推導(dǎo)出了等角緯度、等面積緯度及等距離緯度展至sin 8B展開(kāi)式；文獻(xiàn)［12—16］借助具有強(qiáng)大數(shù)學(xué)分析功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)［17－19］推算出等面積緯度、等角緯度及等距離緯度的偏心率e的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，發(fā)現(xiàn)和糾正了人工推導(dǎo)的正解公式中某些項(xiàng)的偏差，推導(dǎo)出的系數(shù)具有更高的精確度。

從目前來(lái)看，前人對(duì)這一領(lǐng)域做了很多卓有成效的工作，但是卻鮮有文獻(xiàn)將這幾種常用緯度進(jìn)行系統(tǒng)比較。為豐富對(duì)這一問(wèn)題的研究，使人們對(duì)這幾種常用緯度形成較直觀的認(rèn)識(shí)，本文著重研究了常用緯度間的差異極值問(wèn)題，推導(dǎo)出了常用緯度間差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)差異極值的符號(hào)表達(dá)式，最后以CGCS2000參考橢球［20］為例，對(duì)常用緯度間的差異進(jìn)行了數(shù)值分析和對(duì)比。

2 常用緯度定義

根據(jù)文獻(xiàn)［3］可知，歸化緯度u、地心緯度φ是大地測(cè)量學(xué)中常用緯度，記橢球偏心率為e，則它們關(guān)于大地緯度B的表達(dá)式為

又由文獻(xiàn)［13］可知，等距離緯度ψ、等角緯度φ和等面積緯度?是地圖學(xué)中常用的3種緯度，它們與大地緯度B的關(guān)系式為

式中的系數(shù)如下

3 常用緯度間的差異極值符號(hào)表達(dá)式

由于6種常用緯度相差微小，實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)用到它們的差值表達(dá)式。為了解常用緯度間的差異情況，特別是差異極值點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)差異極值，可基于它們之間的差值表達(dá)式推導(dǎo)出常用緯度間的差異極值符號(hào)表達(dá)式。

3.1 輔助緯度與大地緯度差異極值符號(hào)表達(dá)式

通過(guò)對(duì)輔助緯度與大地緯度的差值表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)，即可推算出輔助緯度與大地緯度差異極值點(diǎn)的解析表達(dá)式。以歸化緯度為例

略去推導(dǎo)過(guò)程，可得歸化緯度與大地緯度差異一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)

將式（5）代入歸化緯度與大地緯度差值表達(dá)式的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，可知二階導(dǎo)數(shù)不為零，即式（5）所示的大地緯度即為所求的差異極值點(diǎn)，將它代入歸化緯度與大地緯度的差值表達(dá)式，即可推算出差異極值

為方便不同的輔助緯度與大地緯度差異極值間的比較，可進(jìn)一步將式（5）、式（6）展開(kāi)成偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式

類似的，對(duì)地心緯度與大地緯度的差值表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)，如式（8）所示

略去推導(dǎo)過(guò)程，可得地心緯度與大地緯度差異一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)對(duì)應(yīng)的大地緯度

類似的，將式（9）、式（10）展開(kāi)為關(guān)于偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式

經(jīng)檢驗(yàn)，式（9）所示的大地緯度為極值點(diǎn)，將其代入地心緯度與大地緯度差值表達(dá)式，即可推算出地心緯度與大地緯度差異的極值

等距離緯度與大地緯度的關(guān)系式為關(guān)于偏心率e冪級(jí)數(shù)形式，可通過(guò)對(duì)它們的差值表達(dá)式求導(dǎo)，并利用迭代法推導(dǎo)出等距離緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的差異極值

即

將cos 2B項(xiàng)作為等式左邊項(xiàng)，其他項(xiàng)移到等式右邊，并對(duì)等式兩端同時(shí)取反三角函數(shù)

由式（13）可以看出，由于地球橢球偏心率很小，在B∈［0，π／2］范圍內(nèi)，若要滿足緯度差值表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)為零，即等式左邊首項(xiàng)近似為零，也就是差異極值點(diǎn)在B＝π／4附近。

將初值B0＝π／4代入式（14）進(jìn)行迭代，經(jīng)過(guò)1次迭代后的結(jié)果為

將B1代入式（14）繼續(xù)進(jìn)行第2次迭代，依此類推，可以發(fā)現(xiàn)第4次迭代結(jié)果與第3次迭代結(jié)果相比，它們擴(kuò)展至e10的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)已不再發(fā)生變化，故迭代終止。略去推導(dǎo)過(guò)程，得差異極值點(diǎn)的符號(hào)表達(dá)式，如式（16）所示

將式（16）代入ψ－B表達(dá)式中，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，可推導(dǎo)出等距離緯度與大地緯度差異的極值，如式（17）所示

由于等角緯度、等面積緯度與大地緯度的關(guān)系式形式復(fù)雜，求導(dǎo)后不便于解算，又由文獻(xiàn)［13］知，它們擴(kuò)展至sin 10B的級(jí)數(shù)展開(kāi)式也已具有相當(dāng)高的精度，等角緯度和等面積緯度的正解展開(kāi)式的精度均優(yōu)于10－8″，故可采用與等距離緯度類似的方法，推導(dǎo)出它們與大地緯度的差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的差異極值符號(hào)表達(dá)式，最后結(jié)果列于表1。

表1 輔助緯度與大地緯度差異極值符號(hào)表達(dá)式Tab.1 The symbolic expressions of difference extrema between auxiliary and geodetic latitudes

由表1可以看出，各輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)均在B＝π／4右側(cè)，且略有不同，各輔助緯度與大地緯度差異極值點(diǎn)按從小到大的順序依次為：歸化緯度、等面積緯度、等距離緯度、等角緯度和地心緯度。輔助緯度中與大地緯度差異極值的絕對(duì)值較大的是地心緯度以及等角緯度，且它們與大地緯度的差異極值十分接近；等距離緯度次之，而歸化緯度與大地緯度的差異極值的絕對(duì)值最小。

3.2 輔助緯度之間差異極值符號(hào)表達(dá)式

為系統(tǒng)地比較各常用緯度之間的差異，除對(duì)輔助緯度與大地緯度間的差異進(jìn)行分析以外，需對(duì)輔助緯度之間的差異進(jìn)行分析。以下分別對(duì)大地測(cè)量中常用的地心緯度與歸化緯度間的差異，地圖學(xué)中常用的等距離緯度、等角緯度以及等面積緯度之間的差異進(jìn)行分析。與推導(dǎo)輔助緯度和大地緯度間差異極值點(diǎn)類似，通過(guò)對(duì)輔助緯度之間的差值表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)（以地心緯度與歸化緯度間為例）

可得

經(jīng)檢驗(yàn)，式（19）中所示大地緯度為地心緯度與歸化緯度差異極值點(diǎn)，將它代入地心緯度與歸化緯度的差值表達(dá)式，推算出兩者的差異極值

為方便不同極值間的比較，將式（19）、式（20）展開(kāi)為關(guān)于偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式，可得差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)極值的級(jí)數(shù)展開(kāi)式

與地心緯度和歸化緯度不同，地圖投影理論中常用的3種緯度關(guān)于大地緯度的函數(shù)形式復(fù)雜，導(dǎo)致它們的差值表達(dá)式不便于求導(dǎo)，因此可借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，將它們間的差值表達(dá)式進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)，并按正弦函數(shù)的倍角形式將展開(kāi)結(jié)果進(jìn)行整理，略去推導(dǎo)過(guò)程，可得（以等面積緯度與等角緯度的差異極值點(diǎn)為例）

式中系數(shù)為

對(duì)式（22）進(jìn)行求導(dǎo)并采用迭代法，即可推算出等面積緯度與等角緯度之間的差異極值點(diǎn)。類似的，可推導(dǎo)出等角緯度、等面積緯度分別與等距離緯度間的差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)極值，最后結(jié)果列于表2。

表2 等角緯度、等面積緯度及等距離緯度間差異極值符號(hào)表達(dá)式Tab.2 The symbolic expressions of difference extrema between conformal，authalic and equidistant latitudes

由表2可以看出，地圖學(xué)中常用的3種緯度間的差異極值點(diǎn)均在B＝π／4右側(cè)，且存在微小差異。結(jié)合表1可知，它們之間差異極值的絕對(duì)值均小于它們與大地緯度差異極值的絕對(duì)值，其中，等距離緯度與等面積緯度間差異極值的絕對(duì)值最小，而等面積緯度與等角緯度差異極值的絕對(duì)值最大。

4 算例分析

由于地球橢球偏心率很小，且不同參考橢球的偏心率非常接近。為使人們對(duì)各緯度的差異在數(shù)值上有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，下面以CGCS2000參考橢球（e＝0.081 819 191 042 8）為例，對(duì)6種常用緯度間的差異進(jìn)行數(shù)值比較與分析。

4.1 輔助緯度與大地緯度的差異極值

為明確了解各輔助緯度與大地緯度的差異情況，可繪制出大地緯度B∈［0°，90°］范圍內(nèi)，各輔助緯度與大地緯度的差異曲線圖，如圖1所示。表3為大地緯度B∈［0°，90°］時(shí)，每隔15°對(duì)應(yīng)的各輔助緯度與大地緯度間的差異。

圖1 輔助緯度與大地緯度的差異曲線圖Fig.1 Chart of differences between auxiliary and geodetic latitudes

表3 輔助緯度與大地緯度的差異Tab.3 Values of differences between auxiliary and geodetic latitudes

由圖1及表3可以看出，各輔助緯度與大地緯度差異的絕對(duì)值先變大后變小，且在大地緯度45°附近處，各輔助緯度與大地緯度的差異出現(xiàn)極值。

根據(jù)已推導(dǎo)出的各輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的差異極值的符號(hào)表達(dá)式，可以計(jì)算出B∈［0°，90°］時(shí)，各輔助緯度與大地緯度間的差異極值，如表4所示。

表4 輔助緯度與大地緯度差異極值Tab.4 Difference extrema between auxiliary and geodetic latitudes

由圖1及表4可以看出，輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)均在B＝45°右側(cè)，在B＝45°05′46″處，地心緯度與大地緯度的差異極值最大，差異絕對(duì)值最大達(dá)到11′32.73″。等距離緯度與大地緯度差異極值的絕對(duì)值次之，為8′39.55″，而歸化緯度與大地緯度的差異最小，它們的差異絕對(duì)最大值為5′46.36″。等角緯度和地心緯度這兩種緯度與大地緯度的差異十分接近，它們與大地緯度的差異曲線近乎重合。

4.2 輔助緯度間的差異極值

為全面分析在CGCS2000參考橢球中常用緯度間的差異極值問(wèn)題，可繪制出大地緯度B∈［0°，90°］時(shí)大地測(cè)量中常用的地心緯度與歸化緯度間差異圖，及地圖學(xué)中常用等角緯度、等面積緯度及等距離緯度這3種緯度間的差異圖，如圖2、圖3所示。

圖2 地心緯度與歸化緯度差異圖Fig.2 Chart of difference between geocentric and reduced latitudes

圖3 等角緯度、等面積緯度、等距離緯度間的差異Fig.3 Chart of differences between conformal，equivalent and equidistant latitudes

表5為大地緯度B∈［0°，90°］時(shí)，每隔15°對(duì)應(yīng)的輔助緯度間的差異。

表5 輔助緯度間的差異Tab.5 Values of differences between auxiliary latitudes

由圖2、圖3及表5可以看出，在B∈［0°，90°］范圍內(nèi)，地心緯度與歸化緯度間差異的絕對(duì)值和等角緯度、等面積緯度與等距離緯度間差異的絕對(duì)值都是先變大后變小，且這4種差異極值均出現(xiàn)在大地緯度45°附近。根據(jù)3.2中已推導(dǎo)出的極值符號(hào)表達(dá)式，可計(jì)算出輔助緯度間差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)差異極值，如表6所示。

表6 輔助緯度間差異極值Tab.6 Difference extrema between auxiliary latitudes

由圖2、圖3及表6可以看出，地心緯度與歸化緯度的差異極值點(diǎn)為B＝45°08′39″，對(duì)應(yīng)差異極值為－5′46.36″；地圖學(xué)中常用的3種緯度間，等距離緯度與等角緯度間差異極值最大，為3′50.47″，而等距離緯度與等面積緯度間差異最小，它們差異的極值為－57.68″。

5 結(jié) 論

本文對(duì)6種常用緯度間的差異進(jìn)行了研究，推導(dǎo)出常用緯度間的差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)極值的符號(hào)表達(dá)式，并以CGCS2000橢球?yàn)槔?，?duì)它們進(jìn)行了數(shù)值分析和對(duì)比，得出如下結(jié)論。

（1）輔助緯度與大地緯度差異的絕對(duì)值隨大地緯度的增大先變大后變小，且在B＝π／4右側(cè)，差異出現(xiàn)極值。其中，等角緯度與大地緯度差異極值的絕對(duì)值最大，極值符號(hào)表達(dá)式的首項(xiàng)為－e2／2；歸化緯度與大地緯度差異極值絕對(duì)值最小，極值符號(hào)表達(dá)式的首項(xiàng)為－e2／4。

（2）地圖學(xué)中常用的3種緯度間，等面積緯度與等角緯度差異極值最大，極值符號(hào)表達(dá)式首項(xiàng)為e2／6；等距離緯度與等面積緯度差異極值最小，極值符號(hào)表達(dá)式首項(xiàng)為－e2／24。

（3）將常用緯度間差異極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)極值表示為符號(hào)形式，并統(tǒng)一展開(kāi)為偏心率e的冪級(jí)數(shù)形式，該表達(dá)式易于比較分析，一定程度上豐富了測(cè)量及地圖學(xué)數(shù)學(xué)分析理論。

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