胡磊

類比既是一種推理方法（類比推理是一種合情推理），同時(shí)也是一種學(xué)習(xí)方法，盡管由類比推理得出的結(jié)論不一定正確，但由于類比在尋找解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法和途徑上以及發(fā)現(xiàn)科學(xué)奧秘方面更優(yōu)于邏輯推理，特別是它在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力方面有其獨(dú)特的作用.下面重點(diǎn)剖析類比常見題型.

一、概念類比型

例1（2013·澄海區(qū)模擬）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.

（1）第5個(gè)三角形數(shù)是，第n個(gè)“三角形數(shù)”是，第5個(gè)“正方形數(shù)”是，第n個(gè)正方形數(shù)是；

（2）經(jīng)探究我們發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.

例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④，⑤，….

請(qǐng)寫出上面第4個(gè)和第5個(gè)等式；

（3）在（2）中，請(qǐng)?zhí)骄康趎個(gè)等式，并證明你的結(jié)論.

分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上5，即為15，第n個(gè)“三角形數(shù)”等于第（n-1）個(gè)“三角形數(shù)”加上n，即為1+2+3+…+n，計(jì)算即可；第5個(gè)“正方形數(shù)”是52，第n個(gè)正方形數(shù)是n2；

（2）根據(jù)①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4個(gè)等式為第5個(gè)正方形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上第5個(gè)三角形數(shù)，第5個(gè)等式為第6個(gè)正方形數(shù)等于第5個(gè)三角形數(shù)加上第6個(gè)三角形數(shù)；

（3）第n個(gè)等式為第（n+1）個(gè)“正方形數(shù)”等于第n個(gè)“三角形數(shù)”加上第（n+1）個(gè)“三角形數(shù)”.

解析：（1）15，n（n+1）2，25，n2；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）（n+1）2=n（n+1）2+（n+1）（n+2）2，

∵右邊=n2+n2+n2+3n+22

=2n2+4n+22

=n2+2n+1=（n+1）2=左邊，

∴原等式成立.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了整式的混合運(yùn)算及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，首先要觀察出“三角形數(shù)”和“正方形數(shù)”的變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題.

二、方法類比型

例2（2013·焦作模擬）請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足a21+a22=1，那么a1+a2≤2.證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2（a1+a2）x+1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，從而得4（a1+a2）2-8≤0，所以a1+a2≤2.根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a21+a22+…+a2n=1時(shí)，你能得到的結(jié)論為.

分析：由類比推理知識(shí)可構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1，由對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，即可得到結(jié)論.

解析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2=nx2-2（a1+a2+…+an）x+1，

由對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，得a1+a2+…+an≤n.

故答案為：a1+a2+…+an≤n.

點(diǎn)評(píng)：本題先通過(guò)對(duì)已知結(jié)論類比得到結(jié)論的推廣，再通過(guò)觀察已知結(jié)論的證明方法來(lái)對(duì)推廣的結(jié)論進(jìn)行證明.本題既有結(jié)論的推廣類比又包含證明方法的類比，如果類比結(jié)論產(chǎn)生錯(cuò)誤，下面的證明也將產(chǎn)生錯(cuò)誤.所以結(jié)論一定類比正確，再根據(jù)方法類比.

三、性質(zhì)類比型

例3我們知道，在△ABC中，記D、E、F分別為ABC的重心，則有結(jié)論：①；②.

分析：類比推理是由特殊到特殊的推理，本題中是將平面圖形三角形與空間圖形四面體進(jìn)行類比，三角形三邊的中點(diǎn)類比四面體四個(gè)面的重心，三角形中的比例2∶1類比空間圖形中的比例3∶1.

解析：①在△ABC中，三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)，類比到四面體ABCD中，應(yīng)為四個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心連線交于一點(diǎn)，

即AG1、BG2、CG3、DG4交于一點(diǎn).

②在△ABC中，三條中線AD、BE、CF的交點(diǎn)即重心將中線分成2∶1兩部分，類比到四面體ABCD中，應(yīng)為四個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心連線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)將對(duì)應(yīng)線段分成3∶1兩部分；故答案為①AG1、BG2、CG3、DG4交于一點(diǎn)；②此點(diǎn)將對(duì)應(yīng)線段分成3∶1兩部分.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了合情推理的方法之一類比猜想，抓住平面圖形性質(zhì)與相應(yīng)空間圖形性質(zhì)的異同進(jìn)行類比推理，這是解決本題的關(guān)鍵.易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型

概率解題典型錯(cuò)誤類型及根源分析□嚴(yán)曼麗

概率問(wèn)題題型較多，解法靈活，解題過(guò)程中，容易因概念不清、忽視條件、考慮不周等因素而導(dǎo)致思維混亂，從而使得解題失誤.本文就概率問(wèn)題中常見的錯(cuò)誤進(jìn)行成因診斷供參考.

類型一：“非等可能”與“等可能”混同

等可能事件概率：如果一次實(shí)驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能的基本事件發(fā)生的概率都是1n，如果某個(gè)事件A包含其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=mn.

例1（2009江蘇高考）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為.

錯(cuò)解：一次隨機(jī)抽取2根竹竿長(zhǎng)度相差的可能數(shù)值為{0.1，0.2，0.3，0.4}（單位：m），出現(xiàn)的長(zhǎng)度之差等于0.3的只有一個(gè)，故P（A）=14.

錯(cuò)誤分析：僅當(dāng)所述的試驗(yàn)結(jié)果是等可能性時(shí)才成立，而所取數(shù)值0.1，0.2，0.3，0.4不是等可能的，出現(xiàn)長(zhǎng)度相差0.3m有2種情況（2.5，2.8），（2.6，29），而出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差等于0.1有4種情況（2.5，2.6），（2.6，2.7），（2.7，2.8），（2.8，2.9），其它的情況可類推.